《三角函数的积化和差与和差化积》教学设计

《三角函数的积化和差与和差化积》教学设计一、教材分析1、教材版本：人教B版2、所属册数：必修43、章节：第三章三角恒等变换，3.3三角函数的积化和差与和差化积4、教材内容的地位与作用这部分内容是在学生已经学习了三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等知识的基础上进行的。积化和差与和差化积公式是三角函数恒等变换中的重要公式，它们在三角函数的化简、求值、证明以及解决实际问题（如物理学中的振动合成与分解等）中有着广泛的应用。这些公式的推导过程有助于培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力，让学生进一步体会三角函数之间的内在联系。二、学情分析1、知识基础学生已经掌握了两角和与差的三角函数公式，这为学习积化和差与和差化积公式奠定了基础。但对于公式的灵活运用以及在复杂问题中的转化，学生可能还存在一定的困难。2、能力基础高中学生已经具备了一定的逻辑推理能力和运算能力，但在三角函数这种抽象概念较多的知识学习中，部分学生可能会出现理解不透彻、运算错误等问题。3、心理特点这个阶段的学生对新知识充满好奇心，但在遇到困难时可能会产生畏难情绪。教师在教学过程中要注重引导，激发学生的学习兴趣，帮助学生克服困难。三、教学目标1、知识与技能目标让学生理解积化和差与和差化积公式的推导过程，能够熟练背诵这两组公式。学生能够运用积化和差与和差化积公式进行三角函数的化简、求值和证明。2、过程与方法目标通过公式的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。让学生在解决问题的过程中，学会观察、分析、类比、转化等数学方法。3、情感态度与价值观目标感受数学公式的简洁美和对称美，激发学生对数学的热爱之情。在小组合作学习中，培养学生的团队合作精神和交流能力。四、教学重难点1、教学重点积化和差与和差化积公式的推导和记忆。运用公式进行三角函数的化简、求值和证明。2、教学难点公式的推导过程中所涉及的代换思想和数学方法。在具体问题中如何正确选择和运用公式。五、教学方法1、讲授法对于公式的推导、概念的讲解等内容，采用讲授法，能够使学生快速准确地获取知识。2、讨论法在公式的应用和一些典型例题的解决过程中，组织学生进行小组讨论，让学生各抒己见，共同探讨解题思路和方法，培养学生的合作意识和思维能力。3、练习法通过课堂练习，让学生及时巩固所学知识，发现自己在学习过程中存在的问题，提高解题能力。六、教学过程（一）导入新课（5分钟）1、复习两角和与差的三角函数公式老师：“同学们，咱们之前学习了两角和与差的三角函数公式，谁能给老师背一背呀？”找学生回答，如\(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB\)，\(\sin(AB)=\sinA\cosB\cosA\sinB\)等公式。2、引出新课老师：“同学们，这些公式都很有用。今天呢，我们要在这些公式的基础上学习新的内容，那就是三角函数的积化和差与和差化积。大家想啊，如果能把三角函数的乘积形式转化为和差形式，或者把和差形式转化为乘积形式，那在解决很多数学问题的时候就会方便很多呢。就像我们生活中，有时候把东西换个样子，就更容易处理了，数学也是这样。”（二）公式推导（15分钟）1、积化和差公式的推导首先，我们来看积化和差公式。我们知道\(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB\)和\(\sin(AB)=\sinA\cosB\cosA\sinB\)。把这两个式子相加，得到\(\sin(A+B)+\sin(AB)=2\sinA\cosB\)，那么\(\sinA\cosB=\frac{1}{2}\sin(A+B)+\sin(AB)\)。同理，通过\(\cos(A+B)=\cosA\cosB\sinA\sinB\)和\(\cos(AB)=\cosA\cosB+\sinA\sinB\)，经过类似的相加或相减运算，可以推导出其他的积化和差公式。在推导过程中，老师要详细地写出每一步的推导过程，并且解释清楚为什么要这样做，让学生理解这种代换和转化的思想。2、和差化积公式的推导对于和差化积公式，我们可以设\(A+B=\alpha\)，\(AB=\beta\)，那么\(A=\frac{\alpha+\beta}{2}\)，\(B=\frac{\alpha\beta}{2}\)。把\(A\)和\(B\)代入到两角和与差的三角函数公式中，经过化简就可以得到和差化积公式。例如，把\(A\)和\(B\)代入\(\sinA+\sinB\)，利用两角和与差的正弦公式进行化简，得到\(\sinA+\sinB=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{AB}{2}\)。在推导过程中，引导学生注意这种换元的思想，以及如何通过已知公式推导出新的公式。（三）公式记忆（5分钟）1、口诀记忆老师：“同学们，这两组公式看起来有点复杂，但是我们可以用口诀来帮助记忆。积化和差公式可以记为‘正余余正，正加正减；余余正正，余加负余减’。和差化积公式可以记为‘帅+帅=帅哥，帅帅=哥帅，哥+哥=哥哥，哥哥=负嫂嫂’。这里的‘帅’代表正弦，‘哥’代表余弦。大家多读几遍口诀，然后试着自己推导一下公式，看看能不能记住。”2、练习记忆给学生两分钟时间，让学生自己在心里默记公式，然后老师在黑板上出几道简单的公式填空，如\(\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha\beta)\)，挖掉一部分让学生填写，检查学生的记忆情况。（四）公式应用（20分钟）1、化简求值例1：化简\(\sin50^{\circ}\cos10^{\circ}\cos50^{\circ}\sin10^{\circ}\)。老师：“同学们，看到这个式子，我们首先想到什么呀？对，两角差的正弦公式。那这里我们能不能用积化和差公式来做呢？大家可以试着做一下。”学生动手做，老师巡视指导。然后找学生上台板演，过程如下：根据积化和差公式\(\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha\beta)\)，这里\(\alpha=50^{\circ}\)，\(\beta=10^{\circ}\)，所以原式\(=\sin(50^{\circ}10^{\circ})=\sin40^{\circ}\)。例2：已知\(\sin\alpha+\sin\beta=\frac{1}{2}\)，\(\cos\alpha+\cos\beta=\frac{1}{3}\)，求\(\cos(\alpha\beta)\)的值。老师：“这道题看起来有点难，我们要想办法把已知条件和要求的式子联系起来。大家可以先把\(\sin\alpha+\sin\beta\)和\(\cos\alpha+\cos\beta\)利用和差化积公式进行变形，然后再想办法求出\(\cos(\alpha\beta)\)。”组织学生小组讨论，然后每个小组派代表发言，分享解题思路。思路：由和差化积公式\(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha\beta}{2}\)，\(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha\beta}{2}\)。已知\(\sin\alpha+\sin\beta=\frac{1}{2}\)，\(\cos\alpha+\cos\beta=\frac{1}{3}\)，则\(\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha\beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha\beta}{2}}=\tan\frac{\alpha+\beta}{2}\)。先求出\(\tan\frac{\alpha+\beta}{2}\)的值，再根据\(\cos(\alpha\beta)=\frac{1\tan^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}}{1+\tan^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}}\)求出\(\cos(\alpha\beta)\)的值。2、证明题例3：证明\(\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}{\tan\frac{\alpha\beta}{2}}\)。老师：“证明题呢，我们要从左边推到右边或者从右边推到左边。大家可以先观察一下式子的特点，看看怎么利用和差化积公式来进行证明。”学生思考，然后老师引导学生利用和差化积公式\(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha\beta}{2}\)，\(\sin\alpha\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha\beta}{2}\)进行证明。证明过程：左边\(=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}=\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha\beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha\beta}{2}}=\frac{\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}{\tan\frac{\alpha\beta}{2}}\)等于右边。（五）课堂练习（15分钟）1、布置练习题目化简：\(\cos37^{\circ}\sin23^{\circ}+\sin37^{\circ}\cos23^{\circ}\)。已知\(\sinA\sinB=\frac{1}{3}\)，\(\cosA+\cosB=\frac{1}{2}\)，求\(\sin(A+B)\)的值。证明：\(\cos\alpha\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha\beta}{2}\)。2、学生练习学生独立完成练习，老师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。对于共性问题，老师可以在全班进行讲解。（六）课堂小结（5分钟）1、知识总结老师：“同学们，今天我们学习了三角函数的积化和差与和差化积公式。谁能来说一说这两组公式是怎么推导的呀？”找学生回答公式的推导过程，然后老师进行补充和完善。老师：“那我们在运用这些公式的时候要注意什么呢？”引导学生总结在化简、求值、证明过程中如何正确选择和运用公式。2、方法总结老师：“在今天的学习过程中，我们用到了很多数学方法，像代换、转化、类比等方法，这些方法在我们以后的数学学习中也非常重要，大家要学会灵活运用。”（七）布置作业（5分钟）1