小学奥数被7、11、13整除的性质专题讲义

被7、11、13整除性质专题讲义一、核心知识点.1.三位分节法（通用方法）

操作步骤：

(1).将数从右向左每三位分一节，末节不足三位时补零

(2).交替加减各节数值（奇数节加，偶数节减）

(3).若结果能被7/11/13整除，则原数也能被整除

原理：基于7×11×13=1001的特性.2.单独判定技巧

7的判定：

(1).末位截断：末位×2，用剩余数减去这个积

(2).重复操作直到容易判断（如得到7、0或负数）11的判定：

(1).计算奇数位数字和与偶数位数字和的差

(2).若差是11的倍数（含0），则原数可被11整除.13的判定：

(1).末位截断：末位×4，用剩余数加上这个积

(2).重复操作直到容易判断.3.1001特性

7×11×13=1001→若数可被1001整除，则必能被7、11、13同时整除二、典型例题.例题1:判断37135能否被7整除.解析：（截断法）

3713－5×2=3713－10=3703

370－3×2=370－6=364

36－4×2=28→28÷7=4

∴能被7整除.例题2:验证123456789能否被11整除.解析：（奇偶位差法）

奇数位和：9+7+5+3+1=25

偶数位和：8+6+4+2=20

差：25－20=5→非11倍数

∴不能被11整除.例题3:判断1001能否被13整除.解析：（1001特性）

1001=7×11×13→可直接被13整除.例题4：用三位分节法判断31415926能否被7整除.解析：

分节：031'415'926

计算：031－415+926=542

542÷7≈77.43→不能被7整除例题5：求使4__56能被7整除的空格数字.解析：当__=2时：4256

425－6×2=413→41－3×2=35→35÷7=5

当__=9时：4956

495－6×2=483→48－3×2=42→42÷7=6

∴填2或9.例题6：证明任意连续六个相同数字组成的数必被7、11、13整除.解析：设数为aaaaaa（如111111），分节为111'111

计算：111－111=0→0能被7、11、13整除.例题7：判断987654321能否被13整除.解析：（三位分节法）

分节：987'654'321

计算：987－654+321=654

654÷13≈50.3→不能被13整除例题8：求能同时被7和11整除的最小三位数.解析：

7×11=77→77的倍数

最小三位数为154（77×2）.例题9：用截断法判断864192能否被13整除

解析：

86419+2×4=86419+8=86427

8642+7×4=8642+28=8670

867+0×4=867→867÷13=66.69

∴不能被13整除.例题10：设数A=3717171，问A能否被11整除.解析：（奇偶位差法）

奇数位和：1+1+1+3=6

偶数位和：7+7+7=21

差：21－6=15→非11倍数

∴不能整除.三、强化练习.习题1：判断666666能否被7整除.习题2：用三位分节法验证999999能被13整除.习题3：求使23_4能被11整除的空格数字.习题4：找出能被7整除的最大三位数.习题5：判断3141592653589793能否被11整除.习题6：用截断法验证1001能被7整除.习题7：求同时被7和13整除的最小四位数.习题8：设数N=abcabc，证明N必被7、11、13整除.习题9：判断2468013579能否被13整除.习题10：求满足3_2_能被7和11整除的四位数.习题11：用三位分节法判断20240601能否被7整除.习题12：判断777777777能被13整除吗?习题13：用截断法验证105105能否被7整除.习题14：求一个被7除余1且被11整除的最小两位数.习题15：用奇偶位差法判断101010101能否被11整除.习题16：使三位数2_8成为13的倍数，求空格数字.习题17：判断123456789101112能否被1001整除.习题18：用截断法验证142856能被7整除.

被7、11、13整除性质专题讲义解析版一、核心知识点.1.三位分节法（通用方法）

操作步骤：

(1).将数从右向左每三位分一节，末节不足三位时补零

(2).交替加减各节数值（奇数节加，偶数节减）

(3).若结果能被7/11/13整除，则原数也能被整除

原理：基于7×11×13=1001的特性.2.单独判定技巧

7的判定：

(1).末位截断：末位×2，用剩余数减去这个积

(2).重复操作直到容易判断（如得到7、0或负数）11的判定：

(1).计算奇数位数字和与偶数位数字和的差

(2).若差是11的倍数（含0），则原数可被11整除.13的判定：

(1).末位截断：末位×4，用剩余数加上这个积

(2).重复操作直到容易判断.3.1001特性

7×11×13=1001→若数可被1001整除，则必能被7、11、13同时整除二、典型例题.例题1:判断37135能否被7整除.解析：（截断法）

3713－5×2=3713－10=3703

370－3×2=370－6=364

36－4×2=28→28÷7=4

∴能被7整除.例题2:验证123456789能否被11整除.解析：（奇偶位差法）

奇数位和：9+7+5+3+1=25

偶数位和：8+6+4+2=20

差：25－20=5→非11倍数

∴不能被11整除.例题3:判断1001能否被13整除.解析：（1001特性）

1001=7×11×13→可直接被13整除.例题4：用三位分节法判断31415926能否被7整除.解析：

分节：031'415'926

计算：031－415+926=542

542÷7≈77.43→不能被7整除例题5：求使4__56能被7整除的空格数字.解析：当__=2时：4256

425－6×2=413→41－3×2=35→35÷7=5

当__=9时：4956

495－6×2=483→48－3×2=42→42÷7=6

∴填2或9.例题6：证明任意连续六个相同数字组成的数必被7、11、13整除.解析：设数为aaaaaa（如111111），分节为111'111

计算：111－111=0→0能被7、11、13整除.例题7：判断987654321能否被13整除.解析：（三位分节法）

分节：987'654'321

计算：987－654+321=654

654÷13≈50.3→不能被13整除例题8：求能同时被7和11整除的最小三位数.解析：

7×11=77→77的倍数

最小三位数为154（77×2）.例题9：用截断法判断864192能否被13整除

解析：

86419+2×4=86419+8=86427

8642+7×4=8642+28=8670

867+0×4=867→867÷13=66.69

∴不能被13整除.例题10：设数A=3717171，问A能否被11整除.解析：（奇偶位差法）

奇数位和：1+1+1+3=6

偶数位和：7+7+7=21

差：21－6=15→非11倍数

∴不能整除.三、强化练习.习题1：判断666666能否被7整除.解析：

66666－6×2=66666－12=66654

6665－4×2=6665－8=6657

665－7×2=665－14=651

65－1×2=63→63÷7=9

∴能整除.习题2：用三位分节法验证999999能被13整除.解析：

分节：999'999

计算：999－999=0→0能被13整除.习题3：求使23_4能被11整除的空格数字.解析：

奇数位和：4+3=7

偶数位和：_+2

差：|7－(_+2)|是11倍数

解得_=5（7－7=0）.习题4：找出能被7整除的最大三位数.解析：

999÷7≈142.71→7×142=994.习题5：判断3141592653589793能否被11整除.解析：（快速法）

奇数位和：3+9+5+5+9+4+1=32

偶数位和：7+8+3+8+6+1+3=36

差：32－36=－4→不能整除.习题6：用截断法验证1001能被7整除.解析：

100－1×2=98→98÷7=14.习题7：求同时被7和13整除的最小四位数.解析：

7×13=91→91×11=1001.习题8：设数N=abcabc，证明N必被7、11、13整除.解析：

abcabc=abc×1001→1001=7×11×13.习题9：判断2468013579能否被13整除.解析：（分节法）

分节：2'468'013'579→补零为002'468'013'579

计算：002－468+013－579=－1032

1032÷13不能整除.习题10：求满足3_2_能被7和11整除的四位数.解析：

设数为3a2b

被11整除：奇数位和(3+2)=5，偶数位和(a+b)→|5－(a+b)|是11倍数，所以|5－(a+b)|=0或11

情况1：a+b=5

被7整除：末位b，前段3a2→300＋10a＋2－2b是7倍数，即3a-2b+1是7的倍数，即3a-2(5-a)+1是7的倍数，5a-9是7的倍数，5a-2是7的倍数，无解.

情况2：a+b=16

被7整除：末位b，前段3a2→300＋10a＋2－2b是7倍数，即3a-2b+1是7的倍数，即3a-2(16-a)+1是7的倍数，5a-31是7的倍数，5a＋4是7的倍数，a=2或9.

a=2时，b=14，不满足

a=9时，b=7，满足

最终解：3927.习题11：用三位分节法判断20240601能否被7整除.解析：

分节：020'240'601

计算：020－240+601=381

381÷7≈54.43→不能整除.习题12：判断777777777能被13整除吗?解析：（三位分节法）

分节：777'777'777

计算：777－777+777=777

777÷13=59.769→不能整除.习题13：用截断法验证105105能否被7整除.解析：

10510－5×2=10500

1050－0×2=1050

105－0×2=105→105÷7=15

∴能整除.习题14：求一个被7除余1且被11整除的最小两位数.解析：

设数N=11k，且11k≡1mod7

计算11kmod7等价于4k≡1mod7→k=2（4×2=8≡1）

∴N=11×2=22→22÷7=3余1

正确答案：22.习题15：用奇偶位差法判断101010101能否被11整除.解析：

奇数位和：1+1+1+1+1=5

偶数位和：0+0+0+0=0

差5－0=5→不能整除.习题16：使三位数2_8成为13的倍数，求空格数字.解析：

方法一：截断法

末位8×4=32，前段2_+32需被13整除

即2_+32=(20+_)+32=52+_

需52+_≡0mod13→52≡0mod13→_=0

答案：