苏科版数学八年级上册期中考试重难点题型（举一反三）（解析版）

八年级数学上册期中考试重难点题型【举一反三】

【苏科版】

【知识点a全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.

【知识点2］全等三角形的判定

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边''或"SAS”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角''或"ASA”。

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边''或"AAS”

三边对应相等的三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”

斜边、直角边公理斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或

“HL”）

【知识点3】轴对称的概念

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，

那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，

这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点

【知识点4】轴对称图形的概念

把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，

1

那么成这个图形是轴对称图形，这条直线式对称轴

【知识点5】垂直平分线

垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

【知识点6】轴对称性质：

1、成轴对称的两个图形全等

2、如歌两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

3、成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称

4、成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上

【知识点7】线段的对称性

1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴

2、线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等

3、到线段两端距离相等的点在垂直平分线上

【知识点8】角的对称性

1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴

2、角平分线上的点到角的两边距离相等

3、到角的两边距离相等的点在角平分线上

【知识点9】等腰三角形的性质

1、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴

2、等边对等角

3、三线合一

【知识点10］等腰三角形判定

1、两边相等的三角形是等边三角形

2、等边对等角

直角三角形斜边上中线等于斜边一半

【知识点11】等边三角形判定及性质

1、三条边相等的三角形是等边三角形

2、等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴

3、等边三角形每个角都等于60。

（补充）等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形

2

【知识点12］等腰梯形性质

1、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴

2、等腰梯形在同一底上的两个角相等

3、等腰梯形对角线相等

【知识点13］等腰梯形判定

1.、两腰相等的梯形是等腰梯形

2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形

【知识点14］勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a2+b2=c2

【知识点151勾股定理逆定理

如果一个三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形

【知识点16］勾股数

满足a?+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数

【考点1全等三角形的判定】

【例1】(2018秋•利津县期中)如图，AB//CD,BC//AD,AB=CD,AE=CF,其中全等三角形的对数是

()

A.4B.3C.2D.1

【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可.

【答案】,：AB//CD,BC//AD,

：.NBAC=ZACD,NDAC=ZACB.

在aABC和△CD4中

，ZBAC=ZACD

,AC=CA.

ZDAC=ZACB

AAABC^ACDA(ASA),

3

：.AD=BC,AB=CD.

在△ABE和△(7£)/中

'AB=CD

•NBAE=/DCF，

AE=CF

：./\ABE^/\CDF(SAS),

：.BE=DF.

"：AE=CF,

：.AE+EF=CE+EF,

：.AF^CE,

在△A。尸和△CBE中

'BE=DF

<AD=BC，

AF=CE

/.△ADF^ACBE(555),

即3对全等三角形，

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确根据定理进行推理是解此

题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有S4S,ASA,A4S,SSS,②全等三角形的对应边相等，对

应角相等.

【变式1-1](2018秋•思明区校级期中)如图，已知，ZCAB^ZDAE,AC=AD,增加下列条件：①AB

=AE；②BC=EO；③NC=/D；④NB=NE；⑤N1=N2.其中能使△4BCZ/V1E。的条件有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据已有的条件NCA8=ND4E,AC=AD,利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可.

【答案】解：'：ZCAB=ZDAE,AC=AD,

①加上条件可利用SAS定理证明△ABC也△4EZ)：

②加上BC=ED不能证明△4BC丝△4ED；

4

③加上NC=NO可利用ASA证明△A8C咨A4E力；

④加上N2=NE可利用A4s证明△ABC丝△AEZ）：

⑤加上/1=/2不能证明△力8c四△4E。；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.

AAS,HL.

注意：A4A、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角

对应相等时，角必须是两边的夹角.

【变式1-2]（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯■-Z\ABC的是（）

A.AB=6,BC=5,NA=50°B.48=5,BC=6,AC=13

C.ZA=50°,ZB=80°,AB=8D.ZA=40°,ZB=50°,NC=90°

【分析】根据全等三角形的判定方法可知只有C能画出唯一三角形.

【答案】解：A、已知A3、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项错误；

B、"：AB+BC=5+6=\\<AC,

.•.不能画出△A8C;

故本选项错误；

C、已知两角和夹边，能画出唯一△ABC,故本选项正确；

D、根据N4=40°,NB=50°,ZC=90°不能画出唯一三角形，故本选项错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法：一般三角形全等的判定方法有SS5、SAS、ASA、AAS,熟

练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

【变式1-3]（2018秋•东台市期中）如图，给出下列四组条件：

①AB=DE,BC=EF,AC=DF；

②AB=DE,BC=EF,NB=NE；

③NB=NE,/C=NF,BC=EF；

©AB=DE,AC=DF,NB=NE.

其中，能使△ABC会的条件共有（）

5

D

A.1组B.2组C.3组D.4组

【分析】根据全等三角形判定的条件，可得答案.

【答案】解：®AB=DE,BC=EF,AC=DF；

②AB=DE,BC=EF,NB=NE；

③NB=NE,/C=NF,BC=EF；

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定是解题关键.

【考点2等腰三角形中的分类讨论思想】

【例2】（2018春•邺城县期末）等腰三角形的周长为15am其中一边长为3cm则该等腰三角形的腰长为

（）

A.3cmB.6cmC.3cmBJC6cmD.8C/H

【分析】此题要分情况考虑：3cm是底或3cm是腰.根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边

关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形.

【答案】解：当3cm是底时，则腰长是（15-3）+2=6（cm）,此时能够组成三角形；

当3c”是腰时，则底是15-3X2=9（CTM）,此时3+3<9,不能组成三角形，应舍去.

故选:B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到

两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的

关键.

【变式2-1］（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为

40°,则此等腰三角形的顶角是（）

A.50°B.130°C.50°或140°D.50°或130°

【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来

讨论.

【答案】解：当为锐角时，如图：

6

A

VZADE=40°,NAED=90°,

ZX=50°,

当为钝角时，如图：

，顶角/BAC=180°-50°=130°.

故选：D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关犍.

【变式2-2］（2018秋•绥棱县期末）已知一个等腰三角形底边的长为5c加，一腰上的中线把其周长分成的

两部分的差为3c加，则腰长为（）

A.2cmB.8cmC.2。*或8c，wD.10cm

【分析】作出图形，根据三角形的中线的定义可得AD=CD,然后求出两三角形的周长的差等于腰长与

底边的差，然后分情况讨论求解即可.

【答案】解：如图，•••2。是△ABC的中线，

：.AD=CD,

.•.两三角形的周长的差等于腰长与底边的差，

BC=5cm,

；.4B-5=3或5-A8=3,

解得A8=8或AB=2,

7

若48=8,则三角形的三边分别为8。〃、8cm、5cm,

能组成三角形，

若A8=2,则三角形的三边分别为2c，〃、2cm5cm,

V2+2=4<5,

不能组成三角形，

综上所述，三角形的腰长为8cm.

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系

判断是否能组成三角形.

【变式2-3】（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，

则其顶角等于（）

A.30°B.30°或150°

C.120°或150°D.30°或120°或150°

【分析】题中没有指明等腰三角形一腰上的高是哪边长的一半，故应该分三种情况进行分析，从而不难

求解.

【答案】解：①如图，,AD=^ABf

2

••・N8=30°,

*：AC=BC,

：.ZCAB=30°,

AZ/1CB=180°-30°-30°=120°.

②如图，VZADB=9Q°,AD=LAC,

2

：.ZACD=30°,

VAC=BC,

：.ZCAB=ZB=\50,180°-30°=150°.

8

③如图，:NADB=90。,AD=1-BC,

.../8=30°,

'：AB=BC,

：.ZCAB=ZC=J5°,

.•./8=30°.

故选：D.

【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用.

【考点3勾股定理与折叠】

【例3】（2019•云阳县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=\,BC=2,将其折叠使AB落在对角线

AC上，得到折痕AE,那么BE的长度为（）

近Tc遍TD遍T

2'2,2

a

【分析】根据对称性可知：BE=FE,ZAFE=ZABE=90,又NC=NC,所以△CE『s/sc4B,根据

相似的性质可得出：巫=煦，BE=EF=^XAB,在△A8C中，由勾股定理可求得AC的值，AB=1,

ABACAC

CE=2-BE,将这些值代入该式求出BE的值.

【答案】解：设BE的长为x,贝i]BE=FE=x、CE=2-x

9

=22=

在RtzXABC中，ACJAB+BC

VZC=ZC,/AFE=/A8E=90°

...△CEFs△CAB（两对对应角相等的两三角形相似）

•••EFCE一

AB_AC_

；.FE=x=丝XAB=^^X1,x=y5Tl

ACV52

.♦.8E=x=立二一,

2

故选：c.

【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键.

【变式3-1］（2018春•江夏区期中）如图，矩形ABC。中，AB=5,AD=4,M是边CQ上一点，将△ACM

沿直线AM对折，得△AMW,连BN,若DM=I,则△A8N的面积是（）

A.136B,112C.些D.150

15171517

【分析】延长交AB延长线于点2，由矩形的性质得出NOM4=/MAQ,由折叠性质得出/DM4=

ZAMQ,AN=A£>=4,MN=MD=\,得出NMAQ=/AMQ,证出MQ=AQ,设NQ=x,PIOAQ=MQ

=l+x,证出/ANQ=90°,在RtZ\AN。中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=7.5,4。=8.5,即

可求出△A8N的面积.

【答案】解：延长交A8延长线于点°,如图1所示：

:四边形ABCD是矩形，

：.AB//DC,

：.ZDMA=ZMAQ,

由折叠性质得：XANMWXADM,

J.ZDMA^ZAMQ,AN=AD=4,MN=MD=T,

：.ZMAQ=ZAMQ,

：.MQ=AQ,

10

设NQ=x,则AQ=MQ=\+x,

VZANM=90°,

・・・N4VQ=9(T,

在Rt^ANQ中，由勾股定理得：AQ1=AN2+NQ1,

：.(x+1)2=42+X2,

解得：x=7.5,

，NQ=7.5,AQ=8.5,

•・・A3=5,AQ=8.5,

：

-'-S^NAB=—S^NAQ=—X—AN-NQ=1^-X_LX4X7.5=1^L

1717217217

【点睛】本题考查了折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性

质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键.

【变式3-2］如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将AABE沿AE折叠，使点8

A.旦B.段C.至D.经

5555

【分析】连接BF,根据三角形的面积公式求出BH,得到BF,根据直角三角形的判定得到N8FC=90

。，根据勾股定理求出答案.

【答案】解:连接8凡

：BC=6,点E为BC的中点,

：.BE=3,

又•；AB=4,

11

AA£=VAB2+BE2=5,

由折叠知，BFLAE（对应点的连线必垂直于对称轴）

.XH=AB><BE=12

AE-T，

贝lj8尸=21,

5

,:FE=BE=EC,

ZBFC=90°,

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠

前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

【变式3-3］如图，△ABC中，NBAC=90°,AB=3,AC=4,点。是BC的中点，将△AB。沿AO翻折

A.2B."C."D.工

435

【分析】如图连接BE交A。于0,作AH_L8c于，.首先证明AO垂直平分线段BE,&BCE是直角三

角形，求出8C、BE,在RtZXBCE中，利用勾股定理即可解决问题.

【答案】解：如图连接BE交AC于0,作AH_L8c于H.

在RtZ\48C中，VAC=4,AB=3,

•*«BC~J32+42-5,

,:CD=DB,

：.AD=DC=DB=^-,

2

12

•：L>BC'AH=^AB'AC,

22

：.AH=H,

5

\'AE=AB,

...点A在BE的垂直平分线上.

'：DE=DB=DC,

...点。在BE的垂直平分线上，ABCE是直角三角形,

垂直平分线段BE,

L-AD>80=—­HD'AH,

22

：.0B=12-,

5

BE=20B=丝,

5

在R5CE中,£C=^BC2_BE2=/52_(^.)2=1

Vo□

【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用

面积法求高，属于中考常考题型.

【考点4轴对称中的最值问题】

【例4】（2018秋•吴江区期中）如图，/AO8=45°,点P是乙4OB内的定点，且OP=1,若点M、N分

别是射线。4、。8上异于点。的动点，则△PMN周长的最小值是（）

A.B.C.2D.1.5

13

【分析】设点P关于0A的对称点为C,关于。8的对称点为。，当点M、N在线段CO上时，4PMN

的周长最小，再依据勾股定理，即可得到△PMN周长的最小值.

【答案】解：如图，分别作点P关于。4、08的对称点C、D,连接C£>,分别交0A、08于点M、N,

连接。C、OD、PM,PN.

:点P关于0A的对称点为C,关于0B的对称点为D,

：.PM=CM,OP=OC,ZCOA^ZPOA；

,:点、P关于0B的对称点为D,

：.PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,

；.0C=00=8=1,NCOD=NCOA+NPOA+NPOB+ND0B=2NPOA+2NP0B=2NAOB=90°,

...△C。。是等腰直角三角形，

,8={CC|2+D02=M.

丛PMN的周长的最小值=/?用+加%+产%=。〃+加%+。％与6'£>=加，

故选：A.

【点睛】此题主要考查最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键.凡是涉及最短距离的

问题，--般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

【变式4-1］（2018秋•如皋市期中）如图，在Rt&4BC中，/ACB=90°,AC=6,8c=8,AB=10,AD

是NBAC的平分线.若尸，0分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

AR

14

A.2.4B.4.8C.4D.5

【分析】过点C作交AB于点M,交AD于点P,过点P作PQLAC于点Q,由AD是NB4C

的平分线.得出PQ=PM,这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出再运用S^BC

=LwCM=L4c・8C,得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

22

【答案】解：如图，过点C作CMLAB交A8于点M,交4。于点P,过点P作尸Q_L4c于点Q,

是N8AC的平分线.

：.PQ=PM,这时PC+尸。有最小值，即CM的长度，

：AC=6,A8=10,ZACB=90°,8c=8,

'.，S^ABC=—AB'CM=LAC^C,

22

.•.CM=AC"B'C=_gj,

AB5

B|1PC+PQ的最小值为丝.

5

故选:B.

【点睛】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点尸和Q的位置.

【变式4-2]（2018秋•大连期中）如图，点P是/AOB内任意一点，OP=4,点C和点。分别是射线04

和射线OB上的动点，△PCQ周长的最小值是4,则NAO8的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【分析】分别作点P关于04、OB的对称点F、E,连接FE,分别交OA、OB于点C、D,连接OE、

OF、PC、PD、CD,依据轴对称的性质，即可得到OE=OF=EF,即△OEF是等边三角形，进而得出

ZAOB=30°.

15

【答案】解：分别作点P关于。4、。8的对称点F、E,连接FE,分别交OA、OB于点C、。,此时PD+PC+CD

的值最小，连接OE、OF、PC、PD、CD,如图所示：

:点P关于0A的对称点为F,关于0B的对称点为E,

：.PC=FC,OP=OF,ZFOA=ZPOA；

:点P关于OB的对称点为E,

:.PD=ED,OP=OE,NEOB=NPOB,

：.OE^OP=OF,ZAOB=1-ZCOD,

2

'：/\PCD周长的最小值是4,

：.PD+PC+CD=4,

：.DE+CF+CD=4,

即EF=4=0P,

：.OE=OF=EF,即△0£：尸是等边三角形,

：.ZEOF=60°,

.•.乙4。8=30°,

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，

证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.

【变式4-3］（2018•营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4,NA8C=60°,80平分/ABC,交AC

于点O,M,N分别是BO,8c上的动点，则CM+MN的最小值是（）

A

BC

16

A.V3B.2C.2V3D.4

【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的

最小值.

【答案】解：如图，在8A上截取

因为/ABC的平分线交AC于点D,

所以NEBM=NNBM,

在△8ME与△8MN中，

'BE=BN

，ZEBM=ZNBM

BK=BM

所以△8MEZZX8MN（SAS）,

所以用E=MN.

所以CM+MN=CM+ME》CE.

因为CM+MN有最小值.

当CE是点C到直线AB的距离时，即C到直线A8的垂线段时，CE取最小值为：4Xsin60°=2M.

故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称的应用.易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，

把CM+MN进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错

误.规律与趋势：构造法是初中解题中常用的•种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点.

【考点5线段垂直平分线的应用】

【例5】（2018•太仓市模拟）如图，在钝角△ABC中，已知NA为钝角，边A3、4c的垂直平分线分别交

BC于点。、E,若吕炉+）二。^2,则NA的度数为°.

17

【分析】连接。A、EA,根据线段垂直平分线的性质得到D4=O8,EA=EC,得到ZEAC

=/C,根据勾股定理的逆定理得到/ZME=90°,根据三角形内角和定理计算即可.

【答案】解：连接D4、EA,

•.•边48、AC的垂直平分线分别交8c于点。、E,

：.DA=DB,EA=EC,

；.NDAB=NB,NEAC=NC,

'：BD1+CE1=DE1,

：.AD1+AEi=DE1,

：.ZDAE=90°,

.,.2ZB+2ZC+90"=180°,

；.NB+NC=45°,

.*.ZBAC=135°.

故答案为：135.

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相

等是解题的关键.

【变式5-1］（2018春•叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB=AC,NB4c为钝角，BC=6,AB,4c的

垂直平分线分别交BC于点。、E,连接A。、AE,那么△AOE的周长为.

【分析】根据垂直平分线性质得AE=EC,所以△ADE周长=8C.

【答案】解：..飞从AC的垂直平分线分别交8c于。、E,

：.AD=BD,AE=CE,

/.L^ADE=^D+DE+AE=BD+DE+CE=BC=6.

故答案为：6

18

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是根据垂直平分线性质得AO=8/）,AE=EC.

【变式5-2]（2018秋•江都区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交A8于A/、N,

ZACB=118°,则/MCN的度数为.

MNB

【分析】据三角形内角和定理求出NA+N8；根据等腰三角形性质得/ACM+NBCN的度数，然后求解.

【答案】解：：/ACB=118°,

ZA+ZB=62°.

"：AM=CM,BN=CN,

：.ZA^ZACM,NB=NBCN,

：.NACM+NBCN=62°.

：.ZMCN=ZACB-（NACM+NBCN）=118°-62°=56°.

故答案为：56°.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质、三角形内角和定理等知识点，渗透了整体求值的思想方法，

难度不大.

【变式5-3]（2018秋•丰县期中）如图，/A4c的平分线与BC的垂直平分线相交于£>,过。作OELAB

于E,作£>F_LAC于F,若CO=5,。尸=4,则BE=.

【分析】根据中垂线、角平分线的性质来证明,然后根据全等三角形的对应

边相等推知8E=CF.再利用勾股定理求解可得.

【答案】解：如图，连接

19

A

E

DJ、

•.•点。在BC的垂直平分线上，

：.DB=DC；

：。在N54C的平分线上，DELAB,DFVAC,

:.DE=DF；

,:NDFC=NDEB=90°,（已知），

.'.RtADCF^RtADBE（HL）,

；.CF=BE（全等三角形的对应边相等）.

"：CD=5,DF=4,

BE=CF=JCD2-DF2=F52-42=3,

故答案为：3.

【点睛】本题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质.解答此

题时是通过作辅助线BD构建全等三角形△OCF丝△OE8（4Z.）来证明全等三角形的对应线段CF=BE.

【考点6复杂的尺规作图】

【例6】（2018秋•六合区期中）在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角.在八年级第二

章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出.下面请各位同学开动脑筋，只用

直尺和圆规完成下列作图.

己知：如图，射线。A.

求作：NA08,使得NAOB在射线OA的上方，且NAO8=45°（保留作图痕迹，不写作法）

•-----------------------------------

0A

【分析】反向延长OA到点O,过点O作直线D4的垂直平分线OC,再作/AOC的平分线即可得.

【答案】解：如图所示，/AO8即为所作.

20

【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握过直线上一点作己知直线的垂线和角平分线

的尺规作图.

【变式6-1](2018秋•泗洪县期中)己知：如图，在△A8C中，4CCAB且/C=2/8

(1)用直尺和圆规作出一条过点4的直线1,使得点C关于直线的对称点落在边AB上(不写作法，保

留作图痕迹)

(2)设(1)中直线/与边BC的交点为。，请写出线段A&AC、CO之间的数量关系并说明理由.

【分析】(1)点C关于直线的对称点落在边AB上，则该直线为N84C的角平分线：

(2)依据SAS判定△ACD丝△4£：£>,即可得到QE=CD,NAED=NC=2NB,再根据三角形外角性质，

即可得到乙4ED=/8+NBDE,进而得出即可得到8E=OE=C。，依据4B=AE+8E,即

可得至ljAB=AC+CD.

(2)线段AB、AC、CD之间的数量关系为：AB=AC+CD.

理由：由题可得，AE=AC,ZCAD^ZEAD,AD^AD,

：./\ACD^AAED(SAS),

21

：.DE=CD,NAED=NC=2NB,

XVNAED=/B+NBDE,

:.NB=NBDE,

：.BE=DE=CD,

5L'：AB=AE+BE,

：.AB=AC+CD.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何

图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性

质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

【变式6-2]（2018秋•丹阳市期中）如图，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5.

备用图

（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P,使aPBC为等腰三角形.要求：①保留作图痕迹；②若

点P有多解，则应作出所有的点P,并在图中依次标注尸1、P2、23、…；

（2）根据（1）求刑的长（所有可能的值）

【分析】（1）以C点为圆心，C3为半径画弧交直线48于％,以3点为圆心，BC为半径画弧交直线

AB于尸2,打，作BC的垂直平分线交直线于R；

（2）先利用勾股定理的逆定理证明△48C为直角三角形，N84C=90°,当。8=（78时一，利用等腰三

角形的性质得到AP1=A8=3；当BP2=8尸3=8C=5时，易得AP2=AB+BP2=8；AP3=BP3-AB=2；

当尸4C=RB时，设4P4=x,则尸4C=P48=X+3,利用勾股定理得到）+42=（x+3）2,解方程即可.

【答案】解：（1）如图，点外、P2、2、24为所作；

(2)'：AB=3,AC=4,BC=5.

22

:.AB2+AC1=BC2,

.♦.△ABC为直角三角形，ZBAC=90Q,

当CPi=C8时，

'：CA±BPi，

.".APi—AB—3；

当BPa=BP3=BC=5时，

4尸2=人8+8。2=3+5=8；

AP3=BP3-AB^5-3=2；

当P4c=尸4台时，

设AP4=X，则P4C=P48=X+3,

在中，A-2+42=(X+3)2,解得、=工，

6

即AP4——.

6

综上所述，AP的值可能为2、3、8、工.

6

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几

何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本

性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了等腰三角形的判定与性质.

【变式6-3](2018•惠山区二模)如图，已知AABC(ACVABVBC),请用直尺(不带刻度)和圆规，按

下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：

(1)在边BC上确定一点P,使得以+PC=BC；

(2)作出一个△£>EF,使得：①△OEF是直角三角形；②△£>£：厂的周长等于边BC的长.

【分析】(I)作A8的垂直平分线，交BC于点P,则点P即为所求；

(2)在8c上取点C,过点。作BC的垂线，在垂线上取点E使。E=OB,连接EC,作EC的垂直平分

线交BC于点F；则RtADEF即为所求.

【答案】解：(1)如图，作A8的垂直平分线，交8c于点P,则点P即为所求；

23

(2)如图，①在BC上取点。，过点。作BC的垂线，②在垂线上取点E使QE=Z)B,连接EC,③作

EC的垂直平分线交BC于点F；

...RtZ\£>E尸即为所求.

【点睛】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的

基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

【考点7与直角三角形性质的有关综合】

【例7】(2018秋•泗洪县期中)如图，在四边形ABC。中，AD//BC,DELBC,垂足为点E,连接AC交

OE于点F,点G为AF的中点，ZACD^2ZACB.

(1)说明DC=DG；

【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质可得OG=AG,根据等腰三角形的性质可得/G4C

=ZGDA,根据三角形外角的性质可得/CGO=2NGA。，再根据平行线的性质和等量关系可得/AC/)

=ZCGD,根据等腰三角形的性质可得CQ=OG；

(2)根据勾股定理即可求解.

【答案】(1)证明：•.,OELBC,

:.NDEB=90°,

,.,AD//BC,

：.ZADE+ZDEB^\S00,

ZADE=90°,

；G为AF的中点，

：.DG=AG,

24

：.ZDAF=ZADG,

：.2DGC=ZDAF+ZADG^2ZDAC,

\'AD//BC,

，ZACB=ADAC,

'：ZACD=2ZACB,

:./DGC=/DCA,

：.DC=DG；

(2)解：；在RtZ\OEC中，NDEC=90°,DG=DC=1,CE=4,

...由勾股定理得：D£=^72_42=V33.

【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，直角三角形的性质的应用，解此题的关键

是求出力G=OC,注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

【变式7-1](2018秋•海州区校级期中)如图，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜边BC的中点，

E、F分别是AB、AC边上的点，S.DELDF.

(1)请说明：DE=DF；

(2)请说明：BE2+Cf2=EF2；

R(3)若BE=6,CF=8,求△OEF的面积(直接写结果).

B

ApC

【分析】(1)连接A。，根据等腰直角三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出/B=/C=NBAO

=ZDAC=45°,AD=BD,求出NBOE=NAOF,根据ASA证△8OE乌△AQF即可；

(2)根据44S证△ADE丝△CDF,推出AE=CF,根据勾股定理求出即可：

(3)求出EF长，根据勾股定理求出OE和。凡根据三角形的面积公式求出即可.

【答案】(1)证明：连接AD,

25

B

•••等腰直角三角形ABC,

.•./C=N8=45°,

为BC的中点,

：.AD±BC,AD=BD=DC,A。平分NBAC,

.•./CAC=N&4D=45°=NB,ZADC=90°,

'：DELDF,

.♦.NEO尸=90°,

AZADF+ZFDC=90°,NFDC+NBDE=90°,

/.NBDE=^ADF,

在△/?£)£和△A。尸中

fZB=ZDAF

-BD=AD，

ZBDE=ZADF

:.△BDEQADF,

：.DE=DF.

(2)证明：；△BOE好△A。凡

：.BE=AF,

'：ZEDF=ZADC=90°,

ZEDA+ZADF^ZADF+ZFDC=90°,

:.NEDA=NFDC,

在△人£)£：和△CDF中

'/EDA=/FDC

•ZEAD=ZC，

DE=DF

/\ADE^/\CDF,

26

：.CF=AE,

r.E产=AK+A产=BK+C尸，

即BE1+CF2=EF2.

(3)解：E尸usF+ckulOO,

：.EF=W,

根据勾股定理DE=DF=5近，

△QEF的面积是工OEXOF=LX5〃X5M=25.

22

答：△£)£尸的面积是25.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线性质等

知识点的应用，关键是①小题构造三角形凡证4BOE和△4。尸全等，②小题求出CF=4E,目比

较典型，但有点难度.

【变式7-2](2018秋•高邮市期中)如图，AQ是△ABC的高，CE是aABC的中线.

(1)若40=12,80=16,求DE；

(2)已知点尸是中线CE的中点，连接OF,若乙4EC=57°,NDFE=90°,求NBCE的度数.

【分析】(1)根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论；

(2)由£>E=OC得到NOEC=NOCE,由DE=BE得到NB=/EDB,由此根据外角的性质来求NBCE

的度数.

【答案】解：(1)'CADLBC,

.•.乙4。8=90°,

/MB=VAD2+BD2=20,

是中线，

是斜边48上的中线，

：.DE=kAB=\O-,

2

(2)\'DF±CF,/是CF的中点,

27

：.DE=DC,

：.4DEC=NDCE,

二NEDB=NDEC+NDCE=2NBCE,

,:DE=BE,

：.ZB=ZEDB,

：./B=2NBCE,

:.NAEC=3NBCE=57°,则N8CE=19°.

【点睛】本题考查了勾股定理，也考查了直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握勾股定理是解题的关

键.

【变式7-3](2018秋•太仓市期末)如图，在△ABC中，CF_LAB于凡BE_L4c于E,历为BC的中点，

BC=10.

(1)若NA2C=50°,ZACB=60c,求/EMF的度数：

(2)若EF=4,求AME尸的面积.

【分析】(1)根据直角三角形的性质得到根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算;

(2)作/于M根据直角三角形的性质得到根=工8。=5,根据等腰三角形的性质、三角形面

2

积公式计算.

【答案】解：(1)：CF_L48,M为BC的中点，

：.BM=FM,

VZABC=50°,

AZMFB=ZMBF^50°,

...N8MF=180°-2X50°=80°,

同理，NCME-180°-2X60°=60°,

：.ZEMF^\8QQ-N8W-/CME=40°；

(2)作MNLEF于N,

28

'：CF±AR,M为BC的中点，

.♦.MF是RtZSBFC斜边上的中线，

.L。8c=5,

2

同理可得，ME=5,

...△EFM是等腰三角形，

；EF=4,

：.F