平行四边形单元达标提高题检测试题

平行四边形单元达标提高题检测试题

一、选择题

1.如图，菱形ABCO中，A3=4,NA5C=120,点E是边A3上一点，占尸在8C

上，下列选项中不正确的是（）

A.若AE+Cr=4,则AAOE且2X3。尸

B.若DF工AD,DE上CD,则痔=26

C.若/。仍=/。/。,则43£：尸的周长最小值为4+26

D.若OE=Z）尸，则ZADE+N尸OC=60"

2.如图，菱形A8CO中，AC交8。于点。，。后_1,8。于点£：,连接。E,若

ZBCD=50°,则NOE。的度数是（）

3.如图，在AABC中，BF平分NABC,过A点作AF_LBF,垂足为F并延长交BC于点G,

D为AB中点，连接DF延长交AC于点E。若AB=12,BC=20,则线段EF的长为（）

4.E1ABCD中，ZA=60°,点E、F分别在边AD、DC上，DE=DF,且NEBF=60°.若AE=2,

5.如图，正方形ABCD的边长为2a,点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点

A、D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D、C重合），点E与点F

的运动速度相同.BE与AF相交于点G,H为BF中点，则有下列结论：①NBGF是定值；

②BF平分NCBE：③当E运动到AD中点时，GH=Y^Q；④当QAGB=（n+2）〃时，S联形

2

A.①③B.①②③C.①③④D.①④

6.如图，已知A48C中，Z4Cfi=90°,AC=BC=2,将直角边4c绕4点逆时针旋转至AC,连

接8C,£为8。的中点，连接CE,则CE的最大值为（）.

D.与+1

7.如图，在平行四边形4BC。中，ZC=120°,A£>=4,AB=2,点E是折线

BC-CO—D4上的一个动点（不与A、8重合）.则△ABE的面积的最大值是（）

A.苧B.1C.3&D.26

8.如图，矩形ABC。中，。为AC中点，过点。的直线分别与AB,CD交于点、E,

F,连接B/交AC于点M,连接DE,BO.若N8B=6O，FO=FC,则下列结

论：

①阳_LOC,OM=CM；

②EOB=CMB；

③四边形E3FD是菱形；

®MB:OE=3:2.

其中正确结论的个数是（）

9.如图，将边长为8cm的正方形48CD折叠，使点D落在8c边的中点£处，点4落在点

F处,折痕为MN,则折痕M/V的长是（）

K56cmB.5逐cmC.4逐叩D-4石cm

10.如图，一个四边形花坛ABCD,被两条线段MN,EF分成四个部分，分别种上红、黄、

紫、白四种花卉，种植面积依次是Si、S2、S3、S4,若MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,则有

A.Si=S4B.Si+S4=S2+S3C,Si+S3=S2+S4D.Si•S4=S2•S3

二、填空题

11.如图，在等边ABC和等边OEF中，尸。在直线AC上，BC=3DE=3,连接

BD,BE,则BD+BE的最小值是.

12.如图，在矩形48co中，AD=y[2AB,N840的平分线交8c于点E,D〃J_AE于点

H,连接8H并延长交CD于点F,连接DE交8F于点O,下列结论：①N4ED=NCED；

（2）OE=OD,③BH=HF：@BC-CF=2HE；⑤AB=HF,其中正确的有.

13.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB.F是AD的中点，作CEJ_AB,垂足E在线段

AB上，连接EF、CF,则下列结论：⑴NDCF+豆ND=90'；⑵NAEF+NECF=90°：

⑶SBEC=2SCEF；（4）若NB=80。，则NAEF=50。.其中一定成立的是（把所有正确结

论的字号都填在横线上）.

14.如图，在平行四边形ABC。，A0=248,F是4。的中点，作C£_LAB,垂足E在线段A8

上，连接小、CF,则下列结论：®ZaCD=2ZDCF：②EF=CF；③SMDF=SO④NDFE=

3NAEF,一定成立的是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

15.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和

正方形ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论：①BG=CE；

②BG_LCE；③AM是4AEG的中线；④NEAM=NABC.其中正确的是.

16.如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=8,AC=6,以8c为一边作正方形8DEC设

正方形的对称中心为。，连接4。则4。=.

B

,o

DE

17.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6.延长BC到点E,使

CE=2,连接。E,动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CO—D4向终

点A运动，设点P的运动时间为I秒，当f的值为秒时，A4BP和AOCE全等.

18.在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段

AB的中点.点D、匚分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DC=AB=10.以D匚为边在第

三象限内作正方形DGFE,则线段MG长度的最大值为.

19.如图，在ABC中，。是A8上任意一点，E是BC的中点，过C作CfV/AB,交DE的

延长线于F,连8F,CD,若47汨=30°,ZABC=45°,BC=20.则

DF=.

20.如图，长方形ABCD中，AD=26,AB=12,点。是BC的中点，点尸在边

上运动，当V8PQ是以。尸为腰的等腰三角形时，AP的长为,

三、解答题

21.如图，在RtABC中，NB=90。，AC=60cm,ZA=60\点D从点C出发沿CA方向

以4cm/s的速度向点A匀速运动.同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B

匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间

是ts(0<t<15).过点D作DF_LBC于点F,连接DE,EF.

(1)求证：AE=DF；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

22.如图，在平行四边形ABCD中，AB1AC,对角线AC,BD相交于点。，将直线AC绕点

0顺时针旋转一个角度a(0。〈心90。)，分别交线段BC,AD于点E,F,连接BF.

(1)如图1,在旋转的过程中，求证：OE=OF；

(2)如图2,当旋转至90。时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；

(3)若AB=1,BC=逐，且BF=DF,求旋转角度a的大小.

23.在矩形A8CO中，连结AC,点E从点8出发，以每秒1个单位的速度沿着3fA

的路径运动，运动时间为/(秒).以砥为边在矩形ABC。的内部作正方形

(1)如图，当A8CO为正方形且点〃在A48C的内部，连结求证:

AH=CHx

(2)经过点E且把矩形ABC。面积平分的直线有条；

(3)当AB=9,8C=12时，若直线A”将矩形A6CO的面积分成1：3两部分，求，的

值.

24.如图1,已知四边形488是正方形，E是对角线8D上的一点，连接A£,CE.

图1图2

(1)求证：AE=CE；

(2)如图2,点P是边8上的一点，且PE_L8D"tE连接8P,。为8P的中点，连接

E0.若NP8c=30。，求NPOE的度数；

(3)在(2)的条件下，若OE=&,求CE的长.

25.如图所示，四边形ABCO是正方形，M是48延长线上一点.直角三角尺的一条直

角边经过点。，且直角顶点E在A8边上滑动(点E不与点48重合)，另一直角边与

/CBM的平分线BF相交于点F.

(1)求证：ZADE=^FEM'f

(2)如图(1),当点E在A5边的中点位置时，猜想。£与EF的数量关系，并证明你的猜想;

⑶如图(2),当点E在A8边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时OE与E尸有怎样的数

量关系，并证明你的猜想.

26.已知正方形A8CQ与正方形(点C、E、F、G按顺时针排列)，是的中点，连接，.

（1）如图1,点E在上，点在的延长线上，

求证：DM=ME,DMl.ME

简析：由是的中点，AD〃EF,不妨延长EM交AD于点N,从而构造出一对全等的三角

形，即且.由全等三角形性质，易证ADNE是三角形，进而得出结论.

（2）如图2,在。。的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立，请证明你的结

论；若不成立，请说明理由.

（3）当AB=5,CE=3时，正方形的顶点C、E、F、G按顺时针排列.若点E在直线CD上，

则DM=;若点E在直线BC上，则DM=.

27.如图，四边形ABC。为正方形.在边AO上取一点E,连接8E,使乙4破=60。.

（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点8、。为圆心，8c长为半径作弧交正

方形内部于点丁，连接87并延长交边AO于点E,则乙4EB=60。；

（2）在前面的条件下，取班:中点M,过点M的直线分别交边A3、CD于点、P、Q.

①当PQJL3E时，求证：BP=2AP；

②当PQ=3E时，延长鹿，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由.

28.在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC,将AB绕点A逆时针旋

转90。至点D,D点恰好落在NF上，连接BD,AC与BD交于点E,连接CD,

（1）如图1,求证：△AMCgZ\AND：

⑵如图1,若DF=JL求AE的长；

⑶如图2,将ACDF绕点D顺时针旋转a（0<a<90），点CF的对应点分别为G、

AG

连接AK、BC；,点G是BC；的中点，连接AG,试探索二一1是否为定值，若是定值，则求

出该值；若不是，请说明理由.

29.如图，在长方形48CD中，AB=CD=6cm,8c=10cm,点P从点8出发，以2cm/秒的

速度沿8c向点C运动，设点P的运动时间为t秒：

(1)PC=cm.(用t的代数式表示)

(2)当t为何值时，△ABPg△DCP?

(3)当点P从点8开始运动，同时，点。从点C出发，以vcm/秒的速度沿C。向点。运

动，是否存在这样v的值，使得AABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存

30.在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE,以BE为边，在

BE的下方作正方形BEFG,并连接AG.

(1)如图1,当点E与点D重合时，AG=;

(2)如图2,当点E在线段CD上时，DE=2,求AG的长；

备用图

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

A.正确，只要证明ADE^8OF即可；

B.正确，只要证明。尸_L8C,进而得到ED尸是等边三角形，进而得到结论；

C.正确，只要证明DBE=。。尸得出。后厂是等边三角形，因为BE厂的周长为

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=^+EF,所以等边三角形£>E厂的边长

最小时，BEF的周长最小，只要求出QE尸的边长最小值即可；

D.错误，当EFAC时，DE=DF,由此即可判断.

【详解】

A正确，理由如下：

四边形ABCD是平行四边形，ZABC=\20Q

AD=DC=BC=AB=4,ZABD=NDBC=60°,

408、8£>C都是等边三角形，

/.AD=BD,ZDAE=ZDBF=60°,

AE+CF=4,BF+CF=4,

AE=BF,

又AD=BD,4DAE=/DBF,

ADE=BDF.

B正确，理由如下：

DFLAD.ADBC,

..DF1BC,

Q5C是等边三角形，

...NBDF=30°,DF=—CD=2百，

2

同理NBDE=30°,DE=2百，

.•.DE=DF,NEDF=60。,

E。尸是等边三角形，

：.EF=DE=2y/3.

C正确，理由如下：

ZDBE=4DCF、ZDEB=NDFC,DB=DC,

..DBE=DCF,

..DE=DF,/BDE=4CDF,BE=CF,

:./EDF=/BDC=&）。,

OE77是等边三角形，

3E尸的周长为：

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EFf

...等边三角形£＞七/边长最小时，的周长最小，

・••当。石_LAB时，DE最小为26，

BEb的周长最小值为4+2^.

D错误，当EFAC时，DE=DF,此时NAOE+NFOC时变化的不是定值，故错误.

故选D.

【点睛】

本题主要考查全等的判定的同时，结合等边三角形的性质，涉及到最值问题，仔细分析图

形，明确图形中的全等三角形是解决问题的关键.

2.C

解析：C

【解析】

【分析】

根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=BE=OD,根据菱形性质可得

ZDBE=^ABC=65\从而得到NOEB度数，再依据NOED=90°-NOE3即可.

2

【详解】

解：•・•四边形A8CO是菱形，/BCD=50°，

「0为BD中点，Z.DBE=—Z.ABC=65.

2

DE1BC,

.•.在RtABDE中，OE=BE=OD,

；./OEB=4OBE=6S.

ZOED=90°-65°=25°.

故选；C.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形

转化为三角形.

3.C

解析：C

【解析】

【分析】

由直角三角形的性质可求得DF=BD=1AB,由角平分线的定义可证得DE〃BC,利用三

2

角形中位线定理可求得DE的长，则可求得EF的长.

【详解】

解:・・・AF_LBF,D为AB的中点,

1

.*.DF=DB=-AB=6,

2

AZDBF=ZDFB,

TBF平分NABC,

AZDBF=ZCBF,

/.ZDFB=ZCBF,

，DE〃BC,

・・・DE为aABC的中位线，

1

.*.DE=-BC=10,

2

AEF=DE-DF=10-6=4,

故选：C.

【点睹】

本题考查直角二角形斜边卜的中线的性质,用平分线的性质.等腰二角形的判定与性质.

三角形中位线定理.根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得^DBF为等腰三

角形，通过角平分线的性质和等角对等边可得DF//BC,即DE为aABC的中位线，从而计

算出DE,继而求出EF.

4.A

解析：A

【解析】

【分析】

由DE=DF,AE=2,FC=3可知AB-BC=1,过点E作EM_LAB于M,根据30°角所对的直

角等于斜边的一半可得AM=1,进而得出BM=BC,将△BEM顺时针旋转120。得

△BEN,连接FN,可证△BEFgZ\BFN,即可得出EF=FN,过点N作NG_LDC交DC的

延长线于点G,利用勾股定理即可求出答案.

【详解】

解：过点E作EM_LAB于M,

在Rb^AEM中，ZA=6O°,

/.zAEM=30°,

1

/.AM=—AE=1»

2

・・・ME=G，

又・・・DE=DF,AE=2,FC=3,

.♦.DC-AD=1,BPAB-BC=1,

将ZkBEM顺时针旋转120°WABEN,连接FN,则CN=EM=JLBE=BN,

­.ZEBF=6O°,ZEBN=12O°,

.\zNBF=60°,

AzEBF=Z.NBF

又•••BE=BN,BF=BF,

•••△BEF三ABFN,

・・・EF=FN,

过点N作NG1DC交DC的延长线于点G,

VzGCN=180o-60°-90o=30°,

,\NG=-NC=—

22

故答案为旧.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，合理添加辅助线是解题关

键.

5.A

解析：A

【解析】

【分析】

根据题意很容易证得△BAEg^ADF,即可得到AF=BE,利用正方形内曲为90。，得出

AF_LDE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.

④根据△BAEgZ\ADF,即可得到S时形GEDF=S.，即可求解.

【详解】

①证明：：£在八D边上（不与A.D重合），点F在DC边上（不与D.C重合）.

又丁点E.F分别同时从A.D出发以相同的速度运动，

：.AE=DFf

•・•四边形A8CD是正方形，

・•・AB=DA^BAE=^D=90,

在△川£和"OF中，

AE=DE

«NBAE=NADF=90

AB=AD,

：.^BAE^^ADF(SAS),

.\Z1=Z2,

VN2+N3=90

AZl+Z3=90

即ZAGB=90

NBGF=90,

NBGF是定值；正确.

②无法判断NG8”与NCB尸的大小，BF平分NCBE；错误.

③当E运动到AD中点时，

点、F运动到CD中点，

CF=-CD=a,

2

BF=>jBC2+CF2=亚a,

6仁二28/二好。,正确.

22

④"AE丝ZkADR

则S四边形GEDF=SABG,

当C"GB=(/+2)4时，

AG+GB=Ra,

(AG+GB)2=AG22AG-GB+GB2=6a\

AG2+BG2=AB2=4a2,

二.2AGGB=2a2,

11-

S=-AGGB=-a2,

/Ai/RJOC22

S网边形GEDF=Hd2,故S内成形GEDF=_7a2,错误.

26

故选A.

【点睛】

考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理

是解题的关键.

6.B

解析：B

【分析】

取AB的中点M,连接CM,EM,当CE=CM^EM时,CE的值最大,根据旋转的性质得到

AC=AC=2,由三角形的中位线的性质得到=根据勾股定理得到

AB=2y/2,即可得到结论.

【详解】

取AB的中点M,连接CM,EM,：.当CE=CM+EM时，CE的值最人.

;将直角边4c绕4点逆时针旋转至4。，「.AC=4C=2.

E为BC'的中点，.

2

,/ZACB=90°,AC=BC=2,：.48=272，.,CM=-AB=y(2,CE=CM+EM=y]2+\•

故选B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线

是解题的关键.

7.D

解析：D

【分析】

分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD

上时，AABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，4ABE的面积最大，根据三

角形的面积公式可得结论.

【详解】

解：分三种情况：

①当点E在BC上时，E与C重合时，4ABE的面积最大，如图1,

•••四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,

AZC+ZB=180°,

VZC=120°,

.*.ZB=60o,

Rt^ABF中，ZBAF=30°,

/.BF=yAB=l,AF=G

，此时4ABE的最大面积为：Jx4x石=2百；

②当E在CD上时，如图2,此时，A^ABE的面积=!S，ABCD=!X4XJJ=26；

22

③当E在AD上时，E与D重合时，4ABE的面积最大，此时，4ABE的面积=2石，

综上，4ABE的面积的最大值是26；

故选：D.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题.

8.C

解析：C

【分析】

①证明△OBC是等边三角形，即可得OB=BC,由FO=FC,即可得FB垂直平分OC,①正

确；②由FB垂直平分OC,根据轴对称的性质可得4FCB合△FOB,根据全等三角形的性质

可得NBCF=ZBOF=90°,再证明△F0醛△EOA,所以FO=EO,即可得0B垂直平分EF,所

以40B心△OBE,即4EOB合△FCB,②错误；③证明四边形DEBF是平行四边形，再由

0B垂直平分EF,根据线段垂直平分线的性质可得BE=BF，即可得平行四边形DEBF为菱

形，③正确；④由OBa△EOB些△FCB得/1=N2=Z3=30°,在RtAOBE中，可得OE

=2^1OB,在RtAOBM中，可得即可得BM：OE=3：2,④正确.

32

【详解】

①•・•矩形ABCD中，O为AC中点，

OB=OC,

•••ZCOB=60°,

J.△OBC是等边三角形，

OB=BC,

FO=FC,

FB垂直平分OC,

FB±OC,0M=CM；

①正确；

②•••FB垂直平分OC,

根据轴对称的性质可得^FCB杷△FOB,

：.ZBCF=ZBOF=90°,即OB_LEF,

1--OA=OC,ZFOC=ZEOA,ZDCO=ZBAO,

/.△F0C2△EOA,

FO=EO,

・••OB垂直平分EF,

」.△OBF^△OBE,

」.△EOB合△FCB,

②错误；

③:△FOC^△EOA,

FC=AE,

•「矩形ABCD,

CD=AB,CDIIAB,

DFIIEB,DF=EB,

・•・四边形DEBF是平行四边形，

OB垂直平分EF,

：.BE=BF,

，平行四边形DEBF为菱形；

③正确；

④由OB卷△EOB些△FCB得N1=N2=Z3=30°,

DC

在RtAOBE中，0E=—OB,

3

在R3OBM中，BM=—OB,

2

：.BM：0E=—OB：=—0B=3：2.

23

④正确；

所以其中正确结论的个数为3个：

故选C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线

的性质、菱形的判定及锐角三角函数，是一道综合性较强的题目，解决问题的关键是会综

合运用所学的知识分析解决问题.

9.D

解析：D

【分析】

连接DE,因为点。是中点，所以CE等于4,根据勾股定理可以求出DE的长，过点M作

MG_LCD于点G,则由题意可知MG=8C=CD,证明可以得到。£=MN,

即可解决本题.

【详解】

由题意，在Rt/SOCE中，CE=4cm,CD=8cm,

由勾股定理得：DE=y/cE2+CD2=\/42+82=4>/5cm.

过点M作MGA.CD于点G,则由题意可知MG=BC=CD.

连接DE,交MG于点/.

由折叠可知，DE_LM/V,AZNMG+MIE=90°,

VZD/G+ZEDC=90°,ZMIE=ZDIG(对顶角相等)，

/.ZNMG=ZEDC.

在△MA/G与中，

'/NMG=ZEDC

<MG=CD

NMGN=NDCE=9。。

：./\MNG^^DEC(ASA).

/.MN=DE=4布cm.

故选。.

【点睹】

本题主要考查了正方形的性质、折叠以及全等三角形，能够合理的作出辅助线并找出全等

的条件是解决本题的关键.

10.D

解析：D

【分析】

由于在四边形中，MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,因此MN、EF把一个平行四边形分割成四

个小平行四边形.可设MN到DC的距离为hi,MN到AB的距离为hz,根据AB=CD,

DE=AF,EC=FB及平行四边形的面积公式即可得出答案.

【详解】

解：•.•MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,

，四边形ABCD,四边形ADEF,四边形BCEF,红、紫、黄、白四边形都为平行四边形，

，AB=CD,DE=AF,EC=BF.

设MN到DC的距离为hi,MN到AB的距离为h2,

贝IJS尸DE・hi,S2=AF・h2,S3=EC・hi,S4=FB-h2,

因为DE,hi,FB,h2的关系不确定，所以Si与S4的关系无法确定，故A错误；

Si+S4=DE-hi+FB-h2=AF*hi+FB*h2,S2+S3=AF•h2+EC•hi=AF•h2+FB•h।,故B错误；

Si+S3=CD*hl,S2+S4=AB*h2,又AB=CD,而hi不一定与hz相等,故C错误；

Si,S4=DE*hl*FB*h2=AF*hi*FB*h2iS2•S3=AF*h2*EC*hi=AF*h2*FB*hi,所以Si•$4=S2•$3,

故D正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定与性质，注意掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与

该边上的高的积.即S=a・h.其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边

的距离，即对应的高.

二、填空题

11.V37

【分析】

如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接TW,

DW,过点W作WK_LBC交BC的延长线于K.证明BE=DT,BD=DW,把问题转化为求

DT+DW的最小值.

【详解】

解：如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接

TW,DW,过点W作WK_LBC交BC的延长线于K.

VAABC,ZXDEF都是等边三角形,BC=3DE=3,

ABC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60°,

ADE//TC.

VDE=BT=1,

，四边形DEBT是平行四边形，

.\BE=DT,

ABD+BE=BD+AD,

VB,W关于直线AC对称，

/.CB=CW=3,ZACW=ZACB=60°,DB=DW,

ZWCK=60°,

VWK1CK,

/.ZK=90°,ZCWK=30°,

13r-3J3

，CK=—CW=—，WK=j3CK=12^,

22、2

—311

.*.TK=l+3+—=一,

22

：.y\N=^TK2+WK2=1ly+苧=5/37>

DB+BE=DB+DT=DW+DT>TW,

/.BD+BE>737，

・・・BD+BE的最小值为相，

故答案为而.

【点睛】

本题考查轴对称•最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

12.©©③④

【分析】

①根据角平分线的定义可得NB4£=/ME=45°,可得出△八8E是等腰直角三角形，根据等

腰直角三角形的性质可得命=近八8,从而得到AE=AD,然后利用“角角边”证明△ABE

和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求

出NAOE=N4ED=67.5°,根据平角等于1800求出NCED=67.5°,从而判断出①正确；

②求出N4HB=67.5°,ZDHO=ZODH=22.5°,然后根据等角对等边可得OE=OD=OH,判断

出②正确；

③求出NE8H=NOHD=22.5°,N八E8=/HDF=45°,然后利用“角边角”证明△8EH和

△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得8H=HF,判断出③正确；

④根据全等三角形对应边相等可得OF=H£,然后根据HE3E-4”=8C-8,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判断出④正确；

⑤判断出a八8H不是等边三角形，从而得到48W8H,BPAB^HF,得到⑤错误.

【详解】

;在矩形A8C。中，A£平分NBA。，ZB/4E=ZD4E=45°,J.△ABE是等腰直角三角形，

：.AE=yf2AB.

,:AD=®AB,：.AE=AD.

ZBAE=ZDAE

在aABE和△AHO中，V•ZABE=ZAHD=90°,A^ABE^/\AHD(AAS),

AE=AD

：.BE=DH,：,AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED=—(180°-45°)=67.5°,

2

AZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,：・NAED=/CED,故①正确；

VZAHB=^(180°-45°)=67.5°,/OHE=NAHB(对顶角相等)，

ZOHE=ZAED,：,OE=OH.

VZDOH=90°-67.50=22.5°,ZODH=67.5°-45°=22.5",：.ZDOH=ZODH,

；.OH=OD,：.OE=OD=OH,故②正确；

VZEBH=90°-67.5°=22.5°,：.ZEBH=ZOHD.

NEBH=NOHD

在△BEH和中，V<BE=DH,：.^BEH^AHDF(ASA),：.BH=HF,

NAEB=NHDF

HE=DF,故③正确；

由上述①、②、③可得CD=8E、DF=EH=CE,CF=CD-DF,：.BC-CF=(CD+HE)-(CD-

HE)=2HE,所以④正确；

;AB=AH,N84E=45°,，△48H不是等边三角形，.\AB^BH,/.AB^HF,故⑤错

误；

综上所述：结论正确的是①©③④.

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定

与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角

形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点.

13.⑴(2)⑷

【分析】

由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出⑴正确：

由ASA证明△AEFgZ^DMF,得出EF=MF,ZAEF=ZM,由直角三角形斜边上的中线性质得

出CF=；EM=EF,由等腰三角形的性质得出NFEC=NECF,得出(2)正确；

证出S^FC=SMFM,由MC>BE,得出SABECV2s标©得出⑶错误；

由平行线的性质和互余两角的关系得出⑷正确；即可得出结论.

【详解】

(1);F是AD的中点，

，AF=FD,

•・•在nABCD中，AD=2AB,

,-.AF=FD=CD=AB,

AZDFC=ZDCF,

VADZ^BC,

AZDFC=ZFCB,ZBCD+ZD=180\

.*.ZDCF=ZBCF,

1

AZDCF=-ZBCD,

・・・NDCF+；ND=90。，故⑴正确;

•・•四边形ABCD是平行四边形,

AAB/7CD,

/.ZA=ZMDF,

OF为AD中点，

/.AF=FD,

在4AEF和△DMF中，

NA=NFDM

<AF=DF,

NAFE=NDFM

.,.△AEF^ADMF(ASA),

/.EF=MF,ZAEF=ZM,

VCE1AB,

/.ZAEC=90°,

/.ZAEC=ZECD=90°,

VFM=EF,

1

ACF=—EM=EF,

2

AZFEC=ZECF,

/.ZAEF+ZECF=ZAEF+ZFEC=ZAEC=90°,故(2)正确；

(3)VEF=FM,

SAEFC=SziCFM，

VMC>BE,

*,»SABEC<2SAEFC>故⑶错误；

(4)VZB=80°,

.,.ZBCE=900-80o=10°,

TAB"CD,

.•.ZBCD=180o-80°=100°,

1

/.ZBCF=—ZBCD=50°,

2

ANFEC=NECF=500-10°=40°,

:.ZAEF=90o-40°=50°,故⑷正确.

故答案为：⑴⑵⑷.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性

质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明

△AEF^ADMF是解题关键.

14.(D@④

【分析】

①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断：

②延长EF,交CD延长线于点M,首先根据平行四边形的性质证明zM所=△7)氏M,得

出厂£==进而得出NECO=NAEC=90。，从而利用直角三角形斜

边中线的性质即可判断；

③由尸E=MF,得出5VMe=Svc从而可判断正误；

④设NFEC=X,利用三角形内角和定理分别表示出NDFE和/4EF,从而判断正误.

【详解】

①•・,点F是AD的中点，

・•・AF=FD.

;在平行四边形ABCD中，40=248,

..AD"BC,AF=FD=CD,

/.Z.DFC=4FCB,/DFC=NDCF,

/FCB=/DCF,

AZBCD=2ZDCF,故①正确；

②延长EF,交CD延长线于点M,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

..AB//CD,

:.ZA=ZMDF,

•••点F是AD的中点,

:.AF=FD.

NA=2FDM

在AEb和M中，MF=DF

NAFE=/DFM

:./\AEF^/\DFM(ASA)

:.FE=MF,NAEF=NM.

CELAB,

/.ZAhC=90°,

/.ZECD=ZAEC=90°,

;.CF=LEM=EF,故②正确;

2

③♦;FE=MF,

••SvEFC=S\JCFM•

S&CFM=S&CDF+S&MDF

••S&CDFV,△EFC，故③错误；

④设ZFEC=X,则NOT?=x,

:.ZDCF=ZDFC=9(r-x,

:.ZEFC=\^T-2xt

.-.Z£TO=9(F-X+18(F-2X=27(F-3A-.

QZ4£F=90°-x,

:.ZDFE=3ZAEF,故④正确；

综上所述，正确的有①(g)④，

故答案为：①②④.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这

些性质和定理是解题的关键.

15.①©③④

【分析】

根据正方形的性质和SAS可证明A48G0△4EC,然后根据全等三角形的性质即可判断①；

设8G、CE相交于点N,AC、8G相交于点K,如图1,根据全等三角形对应角相等可得

ZACE=ZAGB,然后根据三角形的内角和定理可得NCA/G=NCAG=90。，于是可判断②；

过点E作EP_LH4的延长线于P,过点G作GQ_LAM于。如图2,根据余角的性质即可判

断④；利用AAS即可证明△48H也可得EP=AH,同理可证GQ=4H,从而得到EP

=GQ,再利用AAS可证明△EPMg^GQM,可得EM=GM,从而可判断③，于是可得答

案.

【详解】

解：ABDEfUACFG+,AB=AE,AC=AG,ZBAE=ZCAG=9Q\

：.ZBAE+ZBAC=ZCAG+ZBAC,

即NC4E=N84G,

/.AABG^AAEC(SAS),

：,BG=CE,故①正确；

设8G、CE相交于点N,AC、8G相交于点K,如图1,

BHC

图1

,:△ABGgAAEC,

ZACE=ZAGB,

丁/AKG=NNKC,

：,ZCNG=ZCAG=90°,

：.BG1CE,故②正确；

过点E作£P_LHA的延长线于P,过点G作GQJ_4M于。如图2,

BHC

图2

•••AH_L8C,

ZABH+ZBAH=90°,

•・・/8AE=90°,

：.ZEAP+ZBAH=9QQ,

；.NABH=NEAP,即NE4M=N48C,故④正确；

VZAHB=ZP=90°,AB=AE,

:.△ABHWAEAP(AAS),

:・EP=AH,

同理可得GQ=AH,

:・EP=GQ,

;在和△GQM中，

ZP=ZM2G=90°

<ZEMP=ZGMQ,

EP=GQ

.••△EPMg/XGQM(AAS),

：.EM=GM,

是△4£G的中线，故③正确.

综上所述，①②③④结论都正确.

故答案为：①②③④.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线

构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键.

16.7夜；

【分析】

连接AO、BO、CO,过。作FO_LAO,交AB的延长线于F,判定△AOCgaFOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,进而得到AF=8+6=14,ZFAO=45°,根据AO=AFxcos45°进行计

算即可.

【详解】

解：连接A。、BO、CO,过。作FO_LAO,交AB的延长线于F,

VO是正方形DBCE的对称中心，

ABO=CO,ZBOC=90°,

VFO1AO,

AZAOF=90°,

AZBOC=ZAOF,

即ZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

/.ZAOC=ZFBO,

VZBAC=90°,

工在四边形ABOC中，ZACO+ZABO=180°,

VZFBO+ZABO=180°,

AZACO=ZFBO,

在△AOC和△FOB中，

NAOC=/FOB

，AO=FO,

NACO=NFBO

AAAOC^AFOB(ASA),

.\AO=FO,FB=FC=6,

AAF=8+6=14,ZFAO=ZOFA=45%

.\AO=AFxcos450=14x2L_=7&.

故答案为7

【点睛】

本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.本题的关键是通过作辅助线来构建

全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算.

17.1或7.

【分析】

存在2种情况满足条件，一种是点P在BC上，只需要BP=CE即可得全等；另一种是点P

在AD上，只需要AP=CE即可得全等

【详解】

设点P的运动时间为Z秒，

当点尸在线段BC上时，则8P=2八

;四边形A8CD为长方形，

:・AB=CD,NB=NDCE=90°,

此时有&48尸名AOCE,

:・BP=CE,即2/=2,解得，=1：

当点尸在线段A。上时，则3C+CO+OP=2f,

VAB=4,AD=6t

:,BC=6,CD=4,

：.AP=（BC4-CD+ZM）-（BC-FCD+DP）=6+4+6-2r=16-2r,

/.AP=\6-2t,

此时有\ABP^\CDE,

/.AP=CE,BP16-2r=2,解得，=7；

综上可知当，为1秒或7秒时，AA3P和ACOE全等.

故答案为：1或7.

【点睛】

本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到

一条直角边相等即可

18.10+56

【分析】

取DE的中点N,连结ON、NG、0M.根据勾股定理可得NG=5方.在点M与G之间总

有MGWMO+ON+NG（如图1）,M、0、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）.可得

线段MG的最大值.

【详解】

如图1,取DE的中点N,连结ON、NG、OM.

1

A0M=-AB=5.

2

同理0N=5.

;正方形DGFE,N为DE中点，DE=10,

・•・/VG=VDA^2+ZX；2=7102+52=5X/5•

在点M与G之间总有MGWMO+ON+NG（如图1）,

如图2,由于NDNG的大小为定值，只要NDON=!NDNG,且M、N关于点0中心对称时,

2

\［、0、N、G四点共线，此时等号成立,

・•・线段MG取最大值10+5不.

故答案为：10+5逐.

【点睛】

此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、0、N、G四点

共线，则线段MG长度的最大是解题关键.

19.4

【分析】

证明CF〃DB,CF=DB,可得四边形CDBF是平行四边形，作EM_LDB于点M,解直