平行四边形单元 易错题测试基础卷试卷

平行四边形单元易错题测试基础卷试卷

一、选择题

1.如图，在正方形A8CD中，CE=MN,ZMCE=35°,那么NANM等于（）

2.如图，在平行四边形A3CD中，N3CO=3（）°,3C=6,CO=6j§,E是A0边上的

中点，尸是A3边上的一动点，将AA£尸沿EF所在直线翻折得到AA'EE,连接AC,则

AC的最小值为（）

3.如图，菱形A88中，AB=4,NA8C=120,点E是边AB上一点，占尸在8C

上，下列选项中不正确的是（）

A.若AE+b=4,则AADE且

B.若DF上AD,DE上CD,则E/=26

C.若NDEB=/DEC,则以郎的周长最小值为4+2百

D.若DE=DF，则ZAOE+NFDC=60°

4.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上，将ABCD沿

直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边

形CFHE是菱形：②EC平分NDCH；③线段BF的取值范围为3WBFW4；④当点H与点A

重合时，EF=2行.其中正确的结论是（）

A.①②③④B.①④C.①②④D.①③④

5.如图，A3CD的对角线AC、BD交于点O,AE平分/胡。交8。于点E，且

ZADC=60°,AB=^BC,连接0E.下列结论：①AE=C£；

②sAB«>=AB-AC；③50即=5»碓；@OE^^BC,成立的个数有（）

6.如图，直线/上有三个正方形。，b,C,若a,C的面积分别为6和14,则匕的面积

A.8B.18C.20D.26

7.如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长

为20,BD为24,则四边形ABCD的面积为（）

8.线段AB上有一动点C（不与A,B重合），分别以AC,BC为边向上作等边△ACM和等

边ABCN,点D是MN的中点，连结AD,BD,在点C的运动过程中，有下列结论：

①4ABD可能为直角三角形；②4ABD可能为等腰三角形；③aCMN可能为等边三角形；

④若AB=6,则AD+BD的最小值为3疗.其中正确的是（）

N

D

A.②③B.①②③④C.①③④D.②③④

9.如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（8,0）,点P从点0出发以1个单位长度/秒

的速度沿y轴正半轴方向运动，同时，点。从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿X轴

负半轴方向运动，设点P、。运动的时间为t（0＜，＜8）秒.以P。为斜边，向第一象限内作

等腰RtA/VJQ,连接08.下列四个说法：

①OP+OQ=8；②B点坐标为（4,4）；③四边形尸例2。的面积为16；④PQ＞QB.其中

正确的说法个数有（）

10.如图，矩形ABCD中，AB=10,AD=4,点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，

以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG,同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒

2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为3贝代的值为（）

14

D.—

33

二、填空题

11.在平行四边形ABCD中，NA=30°,AO=2ji,8D=2,则平行四边形ABCD的面积

等于.

12.如图，某景区湖中有一段"九曲桥"连接湖岸A,B两点，"九曲桥"的每一段与AC平行

或BD平行，若AB=100m,NA=/B=60。，则此“九曲桥”的总长度为.

D

13.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中,

AB=3,,AC=2,则BO的长为

14.如图，在正方形ABCD中，点瓦E将对角线AC三等分，且AC=6.点P在正方

形的边上，则满足庄+尸尸=5的点P的个数是个.

15.如图,长方形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm点E是BC边上一点，连接AE并将

△AEB沿AE折叠,得到△AEB，，以C,E,B，为顶点的三角形是直角三角形时,BE的长为

cm.

16.如图，在菱形A8CO中，AB的垂直平分线所交对角线AC于点尸，垂足为点

£，若/CDF=k。,则ND4B的度数为.

17.菱形。BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(26，0),NDOB=

60°,点P是对角线。C上一个动点，E(0,-1),则EP十BP的最小值为

18.如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E,若NCBF=20。，则

ZAED等于_度.

19.如图，点£、F分别在平行四边形ABCD边BC和A。上（E、F都不与两端点重合），

连结AE、DE、8F、CF,其中AE和BF交于点G,DE和CF交于点H.令一=〃，

BC

EC

—=m.若机=〃，则图中有.个平行四边形（不添加别的辅助线）；若

BC

m+n=X,且四边形ABC。的面积为28,则四边形FGEH的面积为.

20.在菱形ABC。中，M是AD的中点，48=4,N是对角线AC上一动点，△0〃可的周长

最小是2+2百，则BD的长为.

三、解答题

21.已知，四边形4BCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点。重

合），AB=AE,过点8作DE的垂线交DE所在直线于F,连接CF.

提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重

合.用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：_；

（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：

情况1:当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；

情况2：当点E是正方形A8CD外部一点（如图③）时.

在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如

果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请

说明理由；

拓展问题：

（3）连接AF,用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：

22.如图，在四边形ABCO中，AB//DC,AB=4D，对角线AC,BD交于点。，

AC平分㈤。，过点C作CELAB交的延长线于点E,连接0E.

（1）求证：四边形ABC。是菱形；

（2）若A£=5,0E=3,求线段CE的长.

23.如图1所示，把一个含45。角的直角三角板ECF和一个正方形A8CD摆放在一起，使三

角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E,F分别在正方形的边CB,CD上，连接AE、

AF.

⑴求证：AE=AF-,

⑵取AF的中点M,EF的中点N,连接MD,MN.则MD,MN的数量关系是,

MD、MN的位置关系是

(3)将图2中的直角三角板ECF,绕点C旋转180。，如图3所示，其他条件不变，则⑵中的

两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.

24.在矩形ABCD中，AE_LBD于点E,点P是边AD上一点，PF_LBD于点F,PA=PF.

(1)试判断四边形AGFP的形状，并说明理由.

(2)若AB=1,BC=2,求四边形AGFP的周长.

25.如图，四边形0ABe中，BC//AO,A(4,0),8(3,4),C(0,4).点M从。出

发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从8同时出发，以每秒1个单位长度的速度

向C运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x

轴于点P，连结AC交NP于Q,连结MQ.

(1)当t为何值时，四边形BMWP为平行四边形？

(2)设四边形BNR4的面积为y,求y与t之间的函数关系式.

(3)是否存在点使得aAQ/W为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，

请说明理由.

26.如图，在平行四边形A8CD中，㈤。的平分线交8C于点E，交0c的延长线于

F,以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG.

（1）求证：四边形ECFG是菱形；

（2）连结30、CG,若NABC=120°,则ABOG是等边三角形吗？为什么？

（3）若NABC=90°，AB=10,AD=24，M是EF的中点，求DW的长.

27.如图①，已知正方形ABCD中，E,F分别是边AD,CD上的点（点E,F不与端点重

合），且AE=DF,BE,AF交于点P,过点C作CHLBE交BE于点H.

（1）求证：AF〃CH;

（2）若AB=26,AE=2,试求线段PH的长；

CP

（3）如图②，连结CP并延长交AD于点Q,若点H是BP的中点，试求质的值.

28.已知在平行四边形A8C。中，AB力BC,将ABC沿直线AC翻折，点5落在点

尽处，与CE相交于点0,联结。E.

（1）如图1,求证：AC/IDE；

（2）如图2,如果/B=90°,AB=£，BC=46>求O4C的面积；

(3)如果/B=30°,AB=26当AED是直角三角形时，求3c的长.

图1图2备用图

29.如图，在正方形ABC。中，点E、厂是正方形内两点，BE//DF，EF上BE，为

探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

图1

(1)在图1中，连接8。，且BE=DF

①^证：EF与BZ)互相平分；

魅证：(BE+DFf+EF?=2AB\

(2)在图2中，当BE羊DF，其它条件不变时，(8E+OF)2+Ep2=2AB?是否成

立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

图2

(3)在图3中，当AB=4，NDPB=135°,03P+2PO=4^B时，求PO之长.

B

图3

30.如图1,在正方形ABCD中，E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA上的点,

HA=EB=FC=GD,连接EG,FH,交点为O.

图1图2图3

(1)如图2,连接EF,FG,GH,HE,试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；

(2)将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一

个四边形.若正方形ABCD的边长为3cm,HA=EB=FC=GD=lcm,则图3中阴影部分的面积

为__cm2.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.C

解析：c

【分析】

过B作BF〃/WN交AD于F,则/AFB=/4VM,根据正方形的性质得出乙A=/£BC=

90°,AB=BC,AD//BC,推出四边形BFNM是平行四边形，得出8F=MN=CE,证

RtABC£,推出N4FB=NECB即可.

【详解】

过B作BF〃MN交AD于F,

则NAFB=NAN/W,

•.•四边形ABCD是正方形，

；./A=NEBC=90°,AB=BC,AD//BC,

：.FN//BM,BF//MN,

：.四边形BFNM是平行四边形，

BF=MN,

•：CE=MN,

：.CE=BF,

在RtA/lBF和RtABCE中

BF=CE

AB=BC

：.RtA48F^RtA8C£(HL),

ZABF^ZMCE=35°,

：.ZANM=ZAFB=SS",

故选：C.

【点睛】

本题考查了直角三角形全等的判定即性质，还涉及正方形的性质以及平行四边形的判定与

性质，构造全等三角形是解题关键.

2.C

解析：C

【分析】

如图，先作辅助线，首先根据垂直条件，求出线段ME、DE长度，然后运用勾股定理求出

DE的长度，再根据翻折的性质，当折线E4',AC与线段CE重合时，线段长度最

短，可以求出最小值.

【详解】

如图，连接EC,过点E作EMLCD交CD的延长线于点M.

四边形ABCD是平行四边形，

:.ADBC,AD=BC=6,

E为AD的中点，ZBCD^30°,

.•.£)E=E4=3,ZMDE=/BCD=30。,

又EM±CD,

：.ME=-DE=-,OM=述，

222

:.CM=CD+DM^6y/3+—=^^~.

22

根据勾股定理得：

CE=\IME?+CM2=j1|j+1^1=3A/19.

根据翻折的性质，可得E4'=E4=3,

当折线E4'，AC与线段CE重合时，线段AC长度最短，此时A'C=3j历—3.

【点睛】

本题是平行四边形翻折问题，主要考查直角三角形勾股定理，根据题意作出辅助线是解题

的关键.

3.D

解析：D

【分析】

A.正确，只要证明ADE合即可；

B.正确，只要证明。进而得到团尸是等边三角形，进而得到结论；

C.正确，只要证明DBE=0c尸得出DE厂是等边三角形，因为3ER的周长为

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,所以等边三角形。石尸的边长

最小时，巫尸的周长最小，只要求出£)所的边长最小值即可；

D.错误，当EFAC时，DE=DF，由此即可判断.

【详解】

A正确，理由如下：

四边形ABCD是平行四边形，ZABC=\20°

AD=DC=BC=AB=4,ZABD=NDBC=60°,

ADB、BDC都是等边三角形，

AD=BD,ZDAE=/DBF=60°,

AE+CF=4,BF+CF=4,

：.AE=BF,

又AD=BD,ZDAE=ZDBF,

：.ADE^BDF.

B正确，理由如下：

DFLAD,ADBC,

:.DFrBC,

DBC是等边三角形,

NBDF=30°,DF=-CD=2百，

2

同理NBDE=30°,DE=26，

:.DE=DF,ZEDF=a)°,

：.瓦邛是等边三角形，

/.EF=DE=2G.

C正确，理由如下：

NDBE=NDCF/DEB=NDFC,DB=DC,

DBE三DCF,

DE=DF,ZBDE=/CDF,BE=CF,

:.NEDF=NBDC=60。,

DEF是等边三角形，

班户的周长为：

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,

二等边三角形。瓦'边长最小时，B石厂的周长最小，

.♦.当。“，回时，DE最小为2百，

B石厂的周长最小值为4+2石.

D错误，当EFAC时、DE=DF，此时NADE+NEDC时变化的不是定值，故错误.

故选D.

【点睛】

本题主要考查全等的判定的同时，结合等边三角形的性质，涉及到最值问题，仔细分析图

形，明确图形中的全等三角形是解决问题的关键.

4.D

解析：D

【分析】

①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH,然后根据邻边相等

的平行四边形是菱形证明即可判断出①正确；

②根据菱形的对角线平分一组对角可得NBCH=NECH,然后求出只有NDCE=30°时EC平分

ZDCH,即可判断出②错误；

③点H与点A重合时，设BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的

最小值，点G与点D重合时，CF=CD,求出BF=4,然后写出BF的取值范围，即可判断出

③正确；

④过点F作FM_LAD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,即可判断出④正

确.

【详解】

①：FH与CG,EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，

；.FH〃CG,EHZ/CF,

二四边形CFHE是平行四边形，

由翻折的性质得,CF=FH,

四边形CFHE是菱形，故①正确；

②..•四边形CFHE是菱形，

AZBCH=ZECH,

只有NDCE=30°时EC平分/DCH,故②错误；

③点H与点A重合时，设BF=x,则AF=FC=8-x,

在RtZXABF中，AB2+BF2=AF2,BP42+x2=(8-x)2,

解得x=3,

点G与点D重合时，CF=CD=4,

，BF=4,

二线段BF的取值范围为3WBFW4,故③正确;

④如图，过点F作FM_LAD于M,

由勾股定理得，EF=尸2+ME?=2以，故④正确；

综上所述，结论正确的有①③④，

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点是解题关键.

5.C

解析：c

【分析】

由OABCD中，NADC=60°,易得^ABE是等边三角形，又由AB=，BC,证得

2

ZCAD=30°；继而证得AC_LAB,AE=CE,可判断①；由AC_LAB,则②S°ABCD=AB・AC；可得

0E是三角形的中位线，则OE=；AB,则③%^=25小理；证得④OE=：BC.

【详解】

解：:四边形ABCD是平行四边形，

AZABC=ZADC=60a,ZBAD=120°,

VAE平分/BAD,

AZBAE=ZEAD=60°

•••△ABE是等边三角形，

AAE=AB=BE,ZBAE=60°,

VAB=—BC,

2

1

AAE=—BC,

2

.\ZBAC=90°,

AZACE=ZCAE=30°,

AAE=CE,故①正确；

VAC1AB,

**•SLABCD=AB*AC,故②正确，

・・•点。是AC中点，点E是BC中点，

.\0E=—AB,

2

•*-SMBE=2SMOE'故③错误；

VOE是中位线，

.\OE=—AB=-BC,故④正确.

24

...正确的选项有①②④，共3个；

故选：C.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质.注意

证得4ABE是等边三角形，0E是AABC的中位线是关键.

6.C

解析：C

【分析】

由题意根据全等三角形的判定与性质，结合勾股定理和正方形的面积公式进行分析计算.

【详解】

解：•.)、b、c都为正方形，a,C的面积分别为6和14,

.*.AC=CE,AB2=6,DE2=14,ZACF=90°,

•••ZBAC+ZBCA=90°,NBCA+ZDCE=90°,

/.ABACZDCE,

在A5C和△CDE中，

ZABC=ZCDE

<ABAC=ZDCE,

AC=CE

：.ABC=CDE(AAS),

.*.BC=DE,BC2=DE2=14,

由勾股定理可知AC2=AB2+BC2，

的面积为AC?=6+14=20.

故选：C.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理和正方形的性质，全等三角形的判定是结

合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰

当的判定条件.

7.C

解析：C

【分析】

根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC_LBD,AO=OC,EO=OF,再求出BO=OD,证明

四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE,根据菱形的对角线互相平分

求出0E,然后利用勾股定理列式求出A。，再求出AC,最后根据四边形的面积等于对角线

乘积的一半列式计算即可得解.

【详解】

•.•四边形AECF是菱形，

AACIBD,AO=OC,EO=OF,

又•.•点E、F为线段BD的两个三等分点，

，BE=FD,

.*.BO=OD,

VAO=OC,

四边形ABCD为平行四边形，

VAC1BD,

四边形ABCD为菱形；

•・•四边形AECF为菱形，且周长为20,

；.AE=5,

：BD=24,点E、F为线段BD的两个三等分点，

11

；.EF=8,OE=-EF=-X8=4,

22

由勾股定理得，AO=7AE2-OE2=A/52-42=3，

，AC=2AO=2x3=6,

.11

..S四边形ABCD=-BD・AC=-x24x6=72；

22

故选：c.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理

以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键.

8.D

解析：D

【分析】

根据题意并结合图形，我们可以得出当C为AB的中点时，可判断所给结论正确与否.

【详解】

解：

当C为AB中点时，有图如下，

ACM与BCN为等边三角形，

：C为AB中点，

,AM=AC=MC=NC=BC=NB,MD=ND,

^MCN=60°

/.NCMN=/CNM=60°

CMN为等边三角形，③正确；

•••/AMD=4ND=120°

AMDsBND

.,.AD=BD,AABD此时为等腰三角形，②正确;

当C为AB中点时，AD+BD值最小，

为MN的中点，

；.CD为MN的垂直平分线，

AMD=-AB,VAB=6,

VAD=BD

，AD+BD=3j7,④正确；

若AABD可能为直角三角形，则NADB=90°,

.•.CD为AB的垂直平分线

二NADC=45。

/.AC=CD,与所求结论不符，①错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理及性质，弄清题意，画

出当C为AB中点时的图形是解题的关键.

9.B

解析：B

【分析】

根据题意，有OP=AQ,即可得到OP+OQ=Q4=8,①正确；当f=4时，0P=0Q=4,

此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4,即点B坐标为（4,4）,②正确；

四边形PBQO的面积为：4x4=16,在P、Q运动过程面积没有发生变化，故③正确；由

正方形PBQO的性质，则此时对角线PQ=OB,故④错误；即可得到答案.

【详解】

解：根据题意，点P与点Q同时以1个单位长度/秒的速度运动，

.".OP=AQ,

：0Q+AQ=0A=8,

；.0Q+0P=8,①正确；

由题意，点P与点Q运动时，点B的位置没有变化，四边形PBQO的面积没有变化，

当/=4时，如图：

贝ljAQ=OP=4,

；.0Q=8-4=4,

...点B的坐标为：（4,4）,②正确；

此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4,

二四边形PBQO的面积为：4x4=16,③正确；

•.•四边形PBQO是正方形，

，PQ=OB,

即当r=4时，PQ=OB,故④错误；

正确的有：①②③，共三个；

故选择：B.

【点睛】

本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键

是根据点P、Q的运动情况，进行讨论分析来解题.

10.D

解析:D

【分析】

过点F作FHJ_CD,交直线CD于点Q,则NEHF=90。，易证NADE=/EHF,由正方形的性质

得出NAEF=90°,AE=EF,证得NAED=NEFH,由AAS证得AADEg/XEHF得出AD=EH=4,则

t+2t=4+10,即可得出结果.

【详解】

过点F作FHJ_CD,交直线CD于点Q,则NEHF=90°,如图所示:

•..四边形ABCD为矩形，

AZADE=90°,

，NADE=NEHF,

;在正方形AEFG中,ZAEF=90°,AE=EF,

ZAED+ZHEF=90",

VZHEF+ZEFH=90°,

AZAED=ZEFH,

SAADE和AEHF中，

ZADE=ZEHF

<NAED=NEFH,

AE=EF

.".△ADE^AEHF(AAS),

；.AD=EH=4,

由题意得：t+2t=4+10,

14

解得：t=二"，

3

故选D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方

形与矩形的性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键.

二、填空题

11.4/或26

【分析】

分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边

形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：过。作。E_L他于E，

在RtAAD£中,ZA=30°,AD=2。

:.DE=-AD=y/3,AE=—AD=3,

22

在RtZ\BD£中,BD=2,

BE=y/BD2-DE2=J矛-(厨=1，

：.AB=4,

二平行四边形ABC£>的面积=A8DE=4X73=4>/3，

如图2,

AB=2,

:・平行四边形ABC£>的面积=A8D£=2X^=2A/3，

图3

在RtAABE中，设AE=x,贝IJOE=2&—x，

n

ZA=30°,BE=—x，

3

在中，60=2,

.-.22=(^X)2+(2>/3-X)2,

：.x=6，x=2百(不合题意舍去)，

:.BE=1,

，平行四边形ABC。的面积=A。BE=\x2拒=26，

如图4,

B

当AD_L8。时，平行四边形ABC。的面积=AO80=46，

故答案为：4石或2百.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性

质，根据题意作出图形是解题的关键.

12.200m

【分析】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M,则四边形EDHF,

四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形，4ABC是等边三角形，由此即可解决问题.

【详解】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M

E

由题意可知，四边形EDHF,四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形

•；NA=/B=60°

•••Z£=18()一ZA—ZB=60

••.△ABC是等边三角形

；.ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

二“九曲桥"的总长度是AE+EB=2AB=200m

故答案为:200m.

【点睛】

本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行

四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解.

13.4加

【分析】

首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形，连接AC和BD,过A点分别作DC

和BC的垂线，垂足分别为F和E,通过证明4ADF合△ABC来证明四边形ABCD为菱形，

从而得到AC与BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD长度.

【详解】

解：连接AC和BD,其交点为。，过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E,

ABIICD,ADIIBC,

四边形ABCD为平行四边形，

ZADF=ZABE,

•••两纸条宽度相同，

AF=AE,

'NADF=NABE

<ZAFD=NAEB=90°

AF=AE

ADF2△ABE,

AD=AB,

•••四边形ABCD为菱形，

AC与BD相互垂直平分，

•••BD二2\IAB2-AO2=4V2

故本题答案为：472

【点睛】

本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定

要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.

14.8个

【分析】

作点F关于BC的对称点M,连接FM交BC于点N,连接EM,交BC于点H,可得点H到

点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解.

【详解】

如图，作点F关于BC的对称点M,连接FM交BC于点N,连接EM,交BC于点H,

:点E,F将对角线AC三等分，且AC=6,

.".EC=4,FC=2=AE,

:点M与点F关于BC对称，

；.CF=CM=2,/ACB=NBCM=45",

AZACM=90°,

，EM=VEC2+CM2=742+22=2^，

则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为2君＜5,

在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF=4+2=6,

...点P在CH上时，2j^〈PE+PFW6,

在点H左侧，当点P与点B重合时，

VFN1BC,NABC=90。，

；.FN〃AB,

.".△CFN^ACAB,

•_F_N___C__N___C__F___1

■'AB-CB-CA-3(

：AB=BC=十AC=372，

FN=；AB=y/2,

CN=；BC=&,

；.BN=BC—CN=20,

BF=7FN2+BN2=V2+8=VIO，

VAB=BC,CF=AE,ZBAE=ZBCF,

.,.△ABE^ACBF(SAS),

；.BE=BF=JIU,

.,.PE+PF=2V10，

.•.点P在BH上时，2逐〈PE+PFV2厢，

在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=5,

同理在线段AB,AD,CD上都存在两个点使PE+PF=5.

即共有8个点P满足PE+PF=5,

故答案为8.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H,使点H到点E和点F的距

离之和最小是本题的关键.

15.3或6

【详解】

・•.△ABE是等腰直角三角形，

BE=AB=6cm；

②NEB£=90°时，如图2,

由翻折的性质NAB，E=NB=90°,

:.A、B\C在同一直线上，

AB'=AB,BE=B'E,

由勾股定理得，AC=ylAB2+BC2=762+82=1°cm,

B'C=10-6=4cm,

设BE=B'E=x,则EC=8-x,

在RtABZEC中，BT^BT^EC2,

即x2+42=(8-x)2,

解得x=3,

即BE=3cm,

综上所述，BE的长为3或6cm.

故答案为3或6.

16.102°

【分析】

根据菱形的性质求出/DAB=2/DAC,AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF,利用

三角形内角和定理可以求得3/CAD+/CDF=180。，从而得到/DAB的度数.

【详解】

连接BD,BF,

•.•四边形ABCD是菱形,

；.AD=CD,

.\ZDAC=ZDCA.

；EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,

；.AF=BF,BF=DF,

；.AF=DF,

.,.ZFAD=ZFDA,

AZDAC+ZFDA+ZDCA+ZCDF=180",即3ZDAC+ZCDF=180°,

ZCDF=27°,

.".3ZDAC+27°=180°,则NDAC=51°,

，NDAB=2NDAC=102°.

故答案为：102。.

【点睛】

本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有

一定的难度，解答本题时注意先先连接BD,BF,这是解答本题的突破口.

17.V19

【分析】

先根据菱形的性质可得OC垂直平分BD,从而可得DP=BP，再根据两点之间线段最短

可得EP+3P的最小值为DE,然后利用等边三角形的判定与性质求出点D的坐标，最后

利用两点之间的距离公式即可得.

【详解】

如图，连接BP、DP、EP、DE、BD,过点D作QA_LOB于点A,

5(273,0),

08=26，

四边形ABCD是菱形，

.•.。。垂直平分80，0B=0D=26

点P是对角线OC上的点，

:.DP=BP，

:.EP+BP=EP+DP，

由两点之间线段最短可知，EP+DP的最小值为DE,即EP+3P的最小值为DE,

OB=OD,ADOB=60°,

是等边三角形，

DA1OB,

：.0A=；0B=6,AD=y/OD2-OA2=7(273)2-(V3)2=3>

£)(73,3),

又£(0,-1),

DE=J(6-0)2+(3+1)2=V19，

即EP+BP的最小值为V19，

故答案为：M.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据

两点之间线段最短得出EP+BP的最小值为DE是解题关键.

18.65

【分析】

先由正方形的性质得到NABF的角度，从而得到NAEB的大小，再证4AEB^aAED,得到

ZAED的大小

【详解】

:四边形ABCD是正方形

/.ZACB=ZACD=ZBAC=ZCAD=45",ZABC=90°,AB=AD

：/FBC=20°,.,.ABF=70°

.•.在AABE中，ZAEB=65°

在aABE与AADE中

'AB=AD

<NBAE=NEAD=45°

AE=AE

AAABE^AADE

ZAED=ZAEB=65°

故答案为：65°

【点睛】

本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出

ZAEB的大小.

19.7

【分析】

①若加=〃，则AF=£C,先根据平行四边形的性质得出=再根据平

行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边

形的性质与判定得出四边形ABEF、四边形CDFE都是平行四边形，从而可得

+

S垄FG=[=4SCDFE，再根据ABEFSCDFE=28和

S四边形/「GE”=S&EFG+S&EFH=WSABEF+WSCOFE即可得1出答案'

【详解】

四边形ABCD是平行四边形

AD//BC,AD=BC

AFEC

----=n,=m.m=n

BCBC

AF=EC

：.AD-AF=BC-EC，即止

..•四边形AECF、四边形BEDF都是平行四边形

AE//CF,BF//DE

•••四边形EGFH是平行四边形

综上，图中共有4个平行四边形

如图,连接EF

AFEC,

----=n,-------m,m+ri-I

BCBC

：.AF+EC=BC^AD

AF+DF=AD

：.EC=DF

/.AF=BE

二四边形ABEF、四边形CDFE都是平行四边形

一SAKFG=WSfliEF'SAEP5r=WSCDFE

ABEF+SCDFE=28

S四边形FGEH=S怔FG+SAEFH=WSABEF+WSCDFE

='(S.BEF+Sa)FE)

=—x28=7

4

故答案为：4；7.

D

BEc

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键.

20.4

【分析】

根据题意，当B、N、M三点在同一条直线时，△DMN的周长最小为：BM+DM=2+2jL

由DM=；AO=2,贝|JBM=2百，利用勾股定理的逆定理，得到NAMB=90°,则得到

△ABD为等边三角形，即可得到BD的长度.

【详解】

解：如图：连接BD,BM,则AC垂直平分BD,则BN=DN,

D

当B、N、M三点在同一条直线时，ZXDMN的周长最小为：BM+DM=2+26，

VAD=AB=4,M是AD的中点，

.".AM=DM=-A£>=2,

2

；.BM=25

AM2+BM2=22+（2百1=16=AB2,

.,.△ABM是直角三角形，即NAMB=90°；

VBM是AABD的中线，

••.△ABD是等边三角形，

BD=AB=AD=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，以及三线合一定

理.解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到4ABD是等边三角形.

三、解答题

21.（1）DE=^CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF+CF=

y/2DF^\AF-CF\=y/2DF

【分析】

（1）易证ABCD是等腰直角三角形，得出DB=0CB,即可得出结果；

（2）情况1：过点C作CG_LCF,交DF于G,设BC交DF于P,由ASA证得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,则AGCF是等腰直角三角形，FG=0CF,连接BE,

设NCDG=a,则/CBF=a,/DEA=NADE=90°-a,求出/DAE=2a,则NEAB=90°-2a,

ZBEA=ZABE=—（180--ZEAB）=45°+a,ZCBE=45°-a,推出/FBE=45°,得出ABEF是等腰

2

直角三角形，则EF=BF,推出EF=DG,DE=FG,得出DE=8CF；

情况2：过点C作CGJ_CF交DF延长线于G,连接BE,设CD交BF于P,由ASA证得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,则AGCF是等腰直角三角形，得FG=&CF,设

ZCDG=a,则NCBF=a,证明ABEF是等腰直角三角形，得出EF=BF,推出DE=FG,得出

DE=V2CF；

（3）①当F在BC的右侧时，作HD_LDF交FA延长线于H,由（2）得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS证得4ABF畛ZSAEF,得出NEFA=NBFA=工NBFE=45°,则AHDF是等腰

2

直角三角形，得HF=0DF,DH=DF,VZHDF=ZADC=90°,由SAS证得△HDA^ZXFDC,得

CF=HA,即可得出AF+CF=0DF；

②当F在AB的下方时，作DH_LDE,交FC延长线于H,在DF上取点N,使CN=CD,连接

BN,证明ABFN是等腰直角三角形，得BF=NF,由SSS证得ZkCNF岭△CBF,得

ZNFC=ZBFC=^-ZBFD=45°,则ADFH是等腰直角三角形，得FH=0DF,DF=DH,由SAS

证得AADF四△CDH,得出CH=AF,即可得出AF+CF=J^DF：

③当F在DC的上方时，连接BE,作HD_LDF,交AF于H,由（2）得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS证得AABF丝Z\AEF,得NEFA=NBFA=工/BFE=45°,则AblDF是等腰直

2

角三角形，得出HF=&DF,DH=DF,由SAS证得AADC丝ZXHDF,得出AH=CF,即可得出

AF-CF=V2DF；

④当F在AD左侧时，作HDJ_DF交AF的延长线于H,连接BE,设AD交BF于P,证明

△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF,由SSS证得AABF丝Z^AEF,得

ZEFA=ZBFA=—ZBFE=45°,贝lJ/DFH=NEFA=45。，AHDF是等腰直角三角形，得DH=DF,

2

HF=CDF,由SAS证得△HDAgZXFDC,得出AF=CF,即可得出CF-AF=QDF.

【详解】

解：（1）•.•四边形ABCD是正方形，

；.CD=CB,ZBCD=90°,

.二△BCD是等腰直角三角形，

.\DB=V2CB,

当点E、F与点B重合时，则DE=J^CF,

故答案为：DE=J^CF；

（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由

如下：

情况1：：四边形ABCD是正方形，

CD=CB=AD=AB=AE,ZBCD=ZDAB=ZABC=90°,

过点C作