2025高考数学二轮复习-拉档提分数列211-220-专项训练【含答案】

2/2···，累加得，所以例3【拓展提升】【提示】4.商式可积，递推累乘例4【变式训练】1.【解析】.故.2.【解析】，故3.【答案】例4.【拓展提升】1.【答案】【解析】由已知得用此式减去已知式得当时，，即又，所以，将以上个式子相乘，得【评注】把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法)求解.2.【解析】,，得.二、一阶递归，通项探求例1【拓展提升】【答案】【解析】两边平方得令，则，即①②②-①得故，进而得，即，所以从而令，即则即，.解得，即的最大值为.三、二阶递归，通项探求例1【变式训练】【解析】解法1：待定系数——叠加法由，得，且.则数列是以为首项，为公比的等比的等比数列，把代入，得：把以上各式相加，得所以.解法2：特征根法数列的特征方程是不妨设两根为，，则.又，于是得故.2.【解析】（1）因为，所以，所以，因为，，所以是以为首项，2为公比的等比数列.（2）由，得.例1.【拓展提升】【解析】（1）解法1：由韦达定理知:，，所以，整理得.令，则所以是公比为的等比数列，数列的首项为所以，即所以①当时，，变为.整理得.所以数列是公差为1的等差数列，其首项为.所以，于是数列的通项公式为.②当时，整理得所以，数列是公比为的等比数列，其首项为，所以，于是数列的通项公式为.解法2：由韦达定理知:，，所以，，特征方程的两个根为.①当时，通项，由，，得解得.故.②当时，通项，由，，得解得，.故.（2）若，，则，此时.由第（1）问的结果得，数列的通项公式为，所以的前项和为，，以上两式相减，整理得，所以.四、一次分式递归，通项探求例1【变式训练】【解析】（1）由，得，则.又由得，即，故是以1为首项，为公差的等差数列，所以，所以.（2）当时，，，因为，所以，.从而，即.五、二次整式递归，通项探求例2【拓展提升】1.【解析】由已知得累加得.又，则，即是单调递增数列，则，故的整数部分为2.2.【解析】，，，（由题意可知取正号），，.因此是公差为2的等差数列，即，从而可得六、二次分式递归，通项探求例1【变式训练】【解析】由得，（合分比定理）令，则，，，所以.则，.所以.九、三角函数数列例2【变式训练】【解析】由于，故，，，故，，两式相减得故.第二章数列求和，十大技巧一、利用公式求和例2【变式训练】【答案】【解析】.例7【拓展提升】【解析】（1）因为，，，由题意得，解得，所以.（2）.当为偶数时，.当为奇数时，，所以（或）二、错位相减求和例3【变式训练】1.【答案】2.【答案】例4【变式训练】【解析】由题意得，所以，所以.记.①②①+②得，因为，所以.所以.故当时，对任意自然数都有.三、通项裂项求和例1【变式训练】【答案】B.四、倒序相加求和例2【变式训练】1.【解析】设①将①式右边反序得②又因为，，所以①+②得.故.2.【答案】例2.【拓展提升】【答案】.五、奇偶分类求和例1【变式训练】1.【答案】2.【答案】A例2【变式训练】【答案】（1），（2）例5【变式训练】【答案】1830.【解析】当时，，当时，，则，故，所以【评注】本题中，.六、分组双重求和例1.【变式训练】【解析】设，由等比数列的性质得若，则，由对数的运算性质得，故.七、通项分析求和例1【变式训练】【答案】八、分拆重组求和例1【变式训练】【答案】例2【变式训练】【解析】九、绝对值项求和例1【变式训练】【解析】（1）当时，；当时，，故.（2）由可知当时.当时，.当时，.当时.所以例1【拓展提升】【答案】十、三角数列求和例1【变式训练】【答案】C【解析】易知的最小正周期是14，且有，，因此，；结合周期性可知中为零的个数是，所以正数的个数是86，故选，例2【拓展提升】1.【解析】（1）类比例题我们可以得到，所以，由换元法得：（2）.利用错位相减法可得.2.【答案】【解析】因此.第四章和式放缩，奇彩异放二、数列和式之裂项放缩例5【拓展提升】【解析】所以.例9【变式训练】1.【解析】2.【解析】例18【拓展提升】则，所以就有2.【解析】由于，因此，于是对任意的正整数，有：，即.3.【解析】（1）由于.于是，原命题得证.（2）裂项放缩：由于于是，原命题得证.等比放缩：注意到当时，有，于是有原式原命题得证.三、数列和式之放缩裂项例3【变式训练】【解析】因为，所以由.(只将其中一个变成，进行部分放缩），得$，于是.例9【拓展提升】【解析】（1）由，得由于是正项数列，所以.当时，所以又，则，所以综上，数列的通项，.（2）由于，则当时，有.所以，当时，又时，所以，对于任意的，都有.四、数列和式之单调放缩例2【变式训练】【答案】2009.【解析】设，显然单调递减，则由的最大值，可得.例3.【变式训练】【解析】（1）设则所以单调递增，即是递增数列.（2）由，得，整理得，，累加得要证原不等式成立，只需证：时，显然成立：时，左边所以原不等式成立.例3【拓展提升】【解析】（1）因为对任意的，点均在函数（且均为常数）的图象上，所以得.当时，；当时，又因为为等比数列，所以，公比为，.（2）当时，，则，所以.下面用数学归纳法证明不等式成立.①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立；②假设当时不等式成立，即成立.则当时，左边所以当时，不等式也成立由①②可得原不等式成立.另解：设，则，所以单调递增，由可得原不等式成立.五、不求通项之裂项放缩例1【变式训练】由，得，则由，知，.累加得.综上知成立.例5【变式训练】【解析】由，得，则所以又所以.得则即，则所以，所以.综上知待证不等式成立.例6【变式训练】【解析】由题意知，则.所以数列是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）可知，所以代入得所以，从而有例11【变式训练】1.【解析】（1）当时，，得，当时，，所以，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，即当时，，，所以，所以显然时也成立，故.（2）由题意知，对，只需要恒成立.记，当时，.当时数列递增；当时数列递减.易知或2时有是小项.综上得.2.【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得，所以，由，得：，从而公比，所以.（2）由（1）知，所以又，所以对任意，等价于.因为在时单调递增，所以所以，即.即的取值范围为.九、数列和式之函数放缩例2【变式训练】【解析】（1）由得，所以.（2）令，由得累加即得，即（3），即证明.证法1：用数学归纳法证明.当时，显然成立；假设当时，则当时，下面证明即证明即证明，显然成立，综上可知原不等式成立.证法2：，即证明:，即证明，即证明，显然成立.累加得即成立，所以原不等式成立.十三、数列和式之放缩等比例1【变式训练】【提示】.例7【变式训练】【解析】（前两项不放缩）例8【拓展提升】【解析】用数学归纳法证明.当时显然成立；假设当时成立，即，则当时，.成立.故成立.利用上述部分放缩的结论即用来放缩通项，可得则，所以，所以.【评注】证明时用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩；证明不等式就直接使用了部分放缩的结论第五章通项放缩，配凑调整四、取倒裂项，累加消项例2【拓展提升】1.【解析】注意到，为了保证奇数列中最大，令，则数列的递推公式为，可以用两个思路研究思路1：利用迭代函数法研究数列的单调性变化考虑函数，图象如下:因为，且，即，结合图象知，即，由函数的图象关于直线对称知只需，则为数列的奇数项中的最大项，所以.思路2：直接利用不动点法求出通项