2025高考数学二轮复习-函数与不等式301-310-专项训练【含答案】

四、动态直线，区域三角【例1】若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则的取值范围是.【答案】【解析】表示恒过点斜率为的直线，且表示直线下方区域，知【例2】若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数取值范围是.【答案】【解析】表示直线下方区域，易知五、动点投影，最值范围【例1】已知点满足，（为坐标原点）的最大值为.【答案】【解析】令，易知故所求最大值为.【评注】本题涉及向量投影问题：在上的投影为.在上的投影为【例2】已知在平面直角坐标系中动点满足不等式则的最大值为.【答案】4【解析】由题意知又故,故本例转化为在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值问题，可作出可行域，如图所示，显然在点处为最优解，则有即，.六、距离最值，构建模型【例1】设点满足则点到直线及直线的距离之和的最大值是.【答案】【解析】设距离之和为，则目标函数为如图，可知【例2】已知方程的三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线、一抛物线的离心率,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】令由得即所以，故选D【例3】如果点在平面区内，点在曲线上，记的最小值为，若则的取值范围是.【答案】【解析】由得交,点,由题意得，解得.【例4】已知定义在上的函数是增函数，且函数的图象关于点成中心对称，若满足不等式，当时，则的取值范围是.【答案】【解析】易知为奇函数,且单调递增,则等价于【例5】已知直线与线段相交求的最小值.【解析】由于直线与线段相交,故或而是原点到以上不等式组表示的区域内的点的距离，故,所以的最小值为.【评注】本题用到了以下定理：若已知点，和不过点的直线：,且直线和交于点则.【例6】已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】【解析】不等式即为,当时式即为即，又时取等号),时取等号所以;当时式为即,又当时取等号),当时取等号所以,综上,得故选.【评注】考点为不等式恒成立问题，首先将转化为，由于涉及分段函数的问题，要遵循分段处理原则,分别对的两种不同情况进行讨论,针对每种情况,根据的取值范围,利用极端原理,求出对应的的取值范围.第十二章抽象函数,特值显形所谓抽象函数是指问题中只给出函数的特征，而没有具体的函数，需要同学们通过所给的函数特征，洞察函数的重要性质，方法往往是先通过特定取值，猜想函数的奇偶性和单调性,再用定义法给予证明，最后利用函数性质解决—些具体问题。一、有关单调性的问题【例1】已知定义在上的函数满足条件:=1\*GB3①对定义域上任意，都有；=2\*GB3②当时.（1）求证：;（2）求证：在上单调递增.【解析】（1）令得令则即.（2）设则故考虑,所以即在上单调递增.【例2】设是定义在上的奇函数，且对任意，当时,都有.（1）若，试比较与的大小；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)因为所以由题意得所以又是定义在上的奇函数，所以即,（2）由(1)知在上是单调递增函数，又得,故所以.令所以,而即.【评注】这类不等式一般有两种形式：（1）用定义证明函数的单调性；（2）利用单调性的有关性质解抽象不等式.请记住一个充要条件:已知在定义域内单调递增（递减)，任取定义域内两个自变量则或的充要条件是或.目的是转化为自变量之间的大小关系.【例3】已知函数对任意的都有并且当时，.(1)求证：在上是增函数；(2)若，解不等式.【解析】(1)设且则,而故是增函数.(2)即则原不等式即,因为是增函数,所以,解得.【变式训练】已知定义在上,且且当时（1）求证：当时,；（2）求证：在上单调递减.【例4】已知的定义域为，对任意实数，有且当时,.(1)求的函数值，并证明当时；(2)求证：在上单调递减，并列举出一个满足(1)(2)条件的函数；(3)设若求的取值范围.【解析】(1)令则,令则故.（2）设则,故在上单调递减.举例如（3）故，故，所以，则.所以即.【例5】设是定义在上的增函数,且对一切满足.(1)求的值；(2)若解不等式.【解析】（1）令则即(2)所以.又在上是增函数，则有，则即即得.故所求不等式解集为.二、有关奇偶性的问题【例1】设是定义在上的函数，对任意，有，且.(1)求证(2)求证：为偶函数.【解析】（1）令则又所以(2)令即得,因为所以,即,因此为偶函数.【例2】已知函数的定义域关于原点对称，，且.求证：是奇函数.【解析】令得，同理令得,故得到所以是奇函数.【评注】这类问题应抓住与的关系，通过已知条件中的等式进行变量赋值.【例3】已知在上有定义，，且对，有.（1）求证在(-1,1)上为奇函数；（2）对数列，有,求；（3）在(2)的条件下，求证.【解析】（1），得，则，令则，故即,所以为奇函数.(2)故即是以为首项,2为公比的等比数列，所以.（3）而所以.【例4】已知定义在上的函数满足:对任意都有，当时,有.(1)判定在上的奇偶性,并给出理由；（2）判定在上的单调性,并给出理由；（3）求证：.【解析】（1）令，得令得即,所以在(-1,1)上是奇函数.(2)设则,由得.因为时所以从而在(-1,0)上是单调减函数.(3)故又且,故,从而.【例5】已知是定义在上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足关系式.（1）求的值；（2）判断的奇偶性,并证明你的结论；（3）若，，求数列的前项和；（4）若求证.【解析】（1）在中，令得；令得得(2)则,故为奇函数.（3）从规律中进行探究,进而提出猜想.猜测于是我们很容易想到用数学归纳法证明.（i）当时成立；(ii)假设当时成立,那么当时，仍然成立.综上可知,对任意成立，从而

，故所以(4)由数学归纳法可证故即