高考数学主干知识总复习课件20

第六节双曲线【知识梳理】1.双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离_____________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的_____,两焦点间的距离叫做_____.之差的绝对值焦点焦距(2)集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.①当_________时,M点的轨迹是双曲线;②当_________时,M点的轨迹是两条射线;③当_________时,M点不存在.2a<|F1F2|2a=|F1F2|2a>|F1F2|2.双曲线的标准方程与几何性质图形标准方程________(a>0,b>0)_________(a>0,b>0)性质范围________________________对称性对称轴:_______对称中心:_____对称轴:_______对称中心:_____顶点顶点坐标:A1_______,A2______顶点坐标:A1_______,A2______渐近线y=_______

y=______

x≥a或x≤-ay≤-a或y≥a坐标轴原点坐标轴原点(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)性质离心率e=__,e∈________

实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=___;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=___;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c间的关系c2=_____(c>a>0,c>b>0)(1,+∞)2a2ba2+b2【特别提醒】1.渐近线与离心率=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为=2.若P为双曲线上一点,F为其对应焦点,则|PF|≥c-a.3.区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.【小题快练】链接教材练一练1.(选修1-1P54习题2.2A组T1改编)双曲线上的点P到点(5,0)的距离是6,则点P的坐标是

.【解析】根据双曲线方程可知c==5.所以焦点为F2(5,0),F1(-5,0).设P(x,y),由两点间距离公式:|PF2|==6,①所以点P在双曲线右支上,|PF1|=,因为|PF1|-|PF2|=2a=8,所以=2a+6=14,所以(x+5)2+y2=196,②①②联立得x=8.代入原式可得y=±3.所以点P坐标为(8,±3).答案:(8,±3)2.(选修1-1P53练习T3改编)以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为

.【解析】设要求的双曲线方程为(a>0,b>0),由椭圆,得焦点为(±1,0),顶点为(±2,0).所以双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以双曲线标准方程为x2-=1.答案:x2-=1感悟考题试一试3.(2015·安徽高考)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是()【解析】选A.由双曲线的渐近线方程的公式可知选项A的渐近线方程为y=±2x.4.(2015·湖南高考)若双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()【解析】选D.因为双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e=5.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=,则该双曲线的标准方程为

.【解析】根据双曲线渐近线方程为y=可设双曲线的方程为-y2=m,把(4,)代入-y2=m,得m=1.答案:-y2=1考向一双曲线的定义及其应用【典例1】(1)(2016·淄博模拟)设双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形,则e2=()(2)(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C左支上一点,当△APF周长最小时,该三角形的面积为

.【解题导引】(1)利用双曲线的定义及等腰直角三角形的性质可得|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,|BF1|=|AF2|+|BF2|,再利用等腰直角三角形的性质、勾股定理即可得出.(2)利用双曲线的定义以及两点之间线段最短即可求出△APF周长的最小值,进而求出三角形的面积.【规范解答】(1)选C.如图所示,因为|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,|BF1|=|AF2|+|BF2|,所以|AF2|=2a,|AF1|=4a.所以|BF1|=2a,所以|BF2|=2a-2a.因为|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2,所以(2c)2=(2a)2+(2a-2a)2,所以e2=5-2.(2)由已知a=1,b=2,c=3,所以F(3,0),F′(-3,0),又所以|AF|==15,△APF周长l=|PA|+|PF|+|AF|,又|PF|-|PF′|=2,所以|PF|=|PF′|+2,所以l=|PA|+|PF′|+2+15≥|AF′|+17=32,当且仅当A,P,F′三点共线时,

△APF周长最小,如图所示.设P(x,y),直线AF′的方程为=1,联立得消去x得y2+36y-96=0,解得y=-8(舍)或y=2,则P(x,2).因为S△APF=S△AF′F-S△PF′F=×6×6-×6×2=12.答案:12【规律方法】“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.(2)技巧:经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1||PF2|的联系.提醒:利用双曲线的定义解决问题,要注意三点:(1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|.(3)焦点所在坐标轴的位置.【变式训练】已知点F1(-3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为()【解析】选B.由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支,设其方程为=1(x>0,a>0,b>0),由题设知c=3,a=2,b2=9-4=5,所以点P的轨迹方程为=1(x>0).【加固训练】1.(2016·阳泉模拟)已知点F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8【解析】选B.由题意知a=1,b=1,c=,所以|F1F2|=2,在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=8,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,①由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,②①-②得|PF1||PF2|=4.2.如果双曲线=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的左焦点的距离是()A.4B.12C.4或12 D.不确定【解析】选C.由双曲线方程,得a=2,c=4.根据双曲线的定义|PF1|-|PF2|=±2a,则|PF1|=|PF2|±2a=8±4,所以|PF1|=4或12,经检验二者都符合题意.3.点P是双曲线=1(a>0,b>0)右支上一点,点F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心M的横坐标是()A.a B.bC.c D.a+b-c【解析】选A.如图,内切圆圆心M到各边的距离分别为MA,MB,MC,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质则有:|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|,所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以△PF1F2的内切圆圆心M的横坐标为a.考向二双曲线的标准方程及性质【考情快递】

命题方向命题视角与双曲线有关的范围问题考查利用双曲线方程或性质解决参数长度等的范围与双曲线的离心率、渐近线相关的问题考查运用条件求离心率或渐近线的问题及范围【考题例析】命题方向1:与双曲线有关的范围问题【典例2】(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()【解题导引】直接利用向量的数量积列出并解不等式,即可求出y0的取值范围.【规范解答】选A.因为F1(-,0),F2(,0),=1,所以<0,即3y02-1<0,解得-<y0<

.【母题变式】1.若本例中的条件“<0”改为“=0”,试求△MF1F2的面积.【解析】由题意知:F1(-,0),F2(,0),=1,所以=3y02-1=0,解得:y0=±,又因为|F1F2|=2,所以△MF1F2的面积==1,即△MF1F2的面积为1.2.若本例中的条件“<0”去掉,试求的范围.【解析】由题意知:F1(-,0),F2(,0),=1,所以又因为x02≥2,所以-4≥-1,即≥-1.命题方向2:与双曲线的离心率、渐近线相关的问题【典例3】(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()A.B.2C.D.(2)(2015·天津高考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()【解题导引】(1)依据已知条件,想办法得出关于a,c的等式,解方程即可得出离心率的值.(2)可由已知条件,得出关于a,b的两个方程,解方程组即可得出a,b的值,进而得出双曲线方程.【规范解答】(1)选D.设双曲线方程为=1(a>0,b>0),如图所示,|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,在Rt△BMN中,|BN|=a,|MN|=a,故点M的坐标为M(2a,a),代入双曲线方程得a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,所以e=.(2)选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知又因为c==2,所以有a=1,b=,故双曲线的方程为x2-=1.【技法感悟】1.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.2.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e=是一个比值,故只需根据条件得到关于a,b,c的一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,然后变形成关于e的关系式,并且需注意e>1.(2)求双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线的方法是令=0,即得两渐近线方程=0.(3)与双曲线=1共渐近线的方程可设为=λ(λ≠0).(4)若渐近线的方程为y=±x,则可设双曲线方程为=λ(λ≠0).【题组通关】1.(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线=1(a>0)的离心率为2,则a=()

【解析】选D.由双曲线的离心率可得=2,解得a=1.2.(2016·莱芜模拟)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()【解析】选A.因为有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,所以直线A1B1和A2B2关于x轴对称,并且直线A1B1和A2B2与x轴的夹角为30°,双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°,否则不满足题意.可得>tan30°,即所以e>同样的,当≤tan60°,即≤3时,所以e≤2.所以双曲线的离心率的范围是3.(2016·济宁模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过圆E:x2+y2-8x-6y+16=0的圆心,则双曲线C的离心率等于

.【解析】由圆心E(4,3)在直线bx-ay=0上得4b-3a=0,故9a2=16b2=16(c2-a2),即25a2=16c2⇒e=答案:4.(2016·烟台模拟)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为

.【解析】由题可知A1(-1,0),F2(2,0).设P(x,y)(x≥1),则=(-1-x,-y),=(2-x,-y),=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.因为x≥1,函数f(x)=4x2-x-5的图象的对称轴为x=,所以当x=1时,取得最小值-2.答案:-2考向三双曲线的综合问题【典例4】(1)已知椭圆=1(a>0)与双曲线=1有相同的焦点,则a的值为()(2)(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为

.【解题导引】(1)依据椭圆、双曲线的焦点坐标相同,即可确定a的值;(2)利用点到直线的距离公式直接求解即可.【规范解答】(1)选C.因为椭圆=1(a>0)与双曲线=1有相同的焦点(±,0),则有a2-9=7,所以a=4.(2)设P(x,y)(x≥1),因为直线x-y+1=0平行于渐近线x-y=0,所以c的最大值为直线x-y+1=0与渐近线x-y=0之间的距离,由两平行线间的距离公式知,该距离为

答案:【母题变式】1.若将本例(1)中的条件“有相同的焦点”,改为“有相同的焦距”,试求a的值.【解析】因为双曲线=1中a2=4,b2=3,所以c2=7,因此,双曲线的焦距为2.对于椭圆=1,当a2>9时,c2=a2-9=7,a2=16,又因为a>0,所以a=4;当a2<9时,c2=9-a2=7,a2=2,又因为a>0,所以a=.综上可知:a=4或.2.若将本例(1)中的条件“有相同的焦点”,改为“有相同的顶点”,试求a的值.【解析】因为双曲线=1的顶点坐标为(2,0),(-2,0),所以椭圆=1(a>0)的顶点坐标有(2,0),(-2,0),所以a2=4,又因为a>0,所以a=2.【规律方法】解决与双曲线有关综合问题的方法(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时,要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系,再结合双曲线的几何性质求解.(2)解决直线与双曲线的综合问题,通常是联立直线方程与双曲线方程,消元求解一元二次方程即可,但一定要注意数形结合,结合图形注意取舍.【变式训练】(2016·秦皇岛模拟)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()【解析】选C.抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,与x的交点即为双曲线的左焦点F1(-6,0),故c=6.由双曲线的一条渐近线方程为y=x可知由所以双曲线的方程为=1.【加固训练】1.(2016·菏泽模拟)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为()【解析】选C.由题意知,圆的半径为5,又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y=x上,因此有解得所以此双曲线的方程为=1.2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲