2023届高考数学特训营-第1节-计数原理

第1节计数原理A级(基础应用练)1．(2022·南宁市高三模拟)有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的2本书，则不同的选法有()A．21种 B．315种C．143种 D．153种答案：C解析：选出不属于同一学科的2本书，可分三类：第一类，语文、数学各1本，共有9×7＝63(种)；第二类，语文、英语各1本，共有9×5＝45(种)；第三类，数学、英语各1本，共有7×5＝35(种)．∴共有63＋45＋35＝143(种)不同的选法．2．(2022·湖南高三模拟)从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A．56 B．54C．53 D．52答案：D解析：在8个数中任取2个不同的数，共可以得到8×7＝56(个)对数值，但在这56个数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，重复了4次，要减去4，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．3．(2022·江苏海安高三模拟)将1，2，3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()34A.6种 B．12种C．18种 D．24种答案：A解析：根据数字的大小关系可知，1，2，9的位置是固定的，如图所示，则剩余5，6，7，8这4个数字，而8只能放在A或B处．若8放在B处，则可以从5，6，7这3个数字中选一个放在C处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法．同理，若8放在A处，也有3种方法，所以共有6种方法.12D34ACB94.(2022·沈阳教学质量监测)4人站成一排，重新站队时，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()A．4种 B．8种C．12种 D．24种答案：B解析：将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有Ceq\o\al(1,4)种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有Ceq\o\al(1,4)×2＝8(种)站法．5．(2022·绵阳市高三模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．48 B．72C．90 D．96答案：D解析：由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛．①当甲参加另外3场竞赛时，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝72(种)选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)选择方案．综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种)．6．(2022·江西临川模拟)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两市代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住．若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为()A．6 B．12C．16 D．18答案：B解析：如果仅有A，B入住a宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(种)安排；如果有A，B及其余一个代表团入住a宾馆，则余下两个代表团入住b，c，此时共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(种)安排．综上，共有不同的安排种数为12.7．(2022·黑龙江高三模拟)某校毕业典礼上有6个节目，考虑到整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A．120种 B．156种C．188种 D．240种答案：A解析：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，则有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，则有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．8．(2022·大庆高三月考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________．答案：24解析：将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．9.如图所示的几何体由一个三棱锥P­ABC与三棱柱ABC­A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．答案：12解析：先涂三棱锥P­ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝3×2×2＝12(种)不同的涂法．10．(2022·烟台市高三模拟)从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．答案：186解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数．11．(2022·衡水调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．答案：182解析：甲、乙中裁一人的方案有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)种，甲、乙都不裁的方案有Ceq\o\al(4,8)种，故不同的裁员方案共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(4,8)＝182(种)．B级(综合创新练)12．(多选题)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有()A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D．要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法答案：ABC解析：对于A，分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，知共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法，A正确．对于B，国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，知共有5×2×7＝70(种)不同的选法，B正确．对于C，分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法，C正确．对于D，从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，知不同挂法的种数为N＝3×2＝6，D错误．故选ABC.13．(多选题)(2022·麻城市高三联考)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是()A．若任意选择三门课程，选法总数为Aeq\o\al(3,7)B．若从物理和化学中至少选一门，选法总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)C．若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(1,5)D．若从物理和化学中至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(1,5)答案：ABD解析：对于A，若任意选择三门课程，选法总数为Ceq\o\al(3,7)，错误．对于B，若从物理和化学中选一门，有Ceq\o\al(1,2)种方法，其余两门从剩余的5门中选，有Ceq\o\al(2,5)种选法，选法种数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)；若物理和化学都选，有Ceq\o\al(2,2)种选法，剩下一门从剩余的5门中选，有Ceq\o\al(1,5)种选法，选法种数为Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5).由分步乘法计数原理知，选法总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)，错误．对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,5)＝Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(1,5)，正确．对于D，有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,4)种选法；②选化学，不选物理，有Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,5)种选法；③物理与化学都选，有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,4)种选法．故选法总数为Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,4)＝6＋10＋4＝20，而Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(1,5)＝15，错误．故选ABD.14．(2022·郑州高三模拟)如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为________．答案：42解析：先从这8个点中任取3个点，最多构成Ceq\o\al(3,8)个三角形，再减去三点共线的情形即可．共有Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,4)＝42(个)．15．(2022·合肥高三模拟)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3802＝3936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n被称为有序对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是________．答案：300解析：第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，知值为1942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.16．(2022·菏泽高三模拟)已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则不同的测试方法种数是________；(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则不同的测试方法种数是________．答案：(1)103680(2)576解析：(1)先排前4次测试，只能取正品，有Aeq\o\al(