数学-安徽省1号卷A10联盟2024-2025学年2023级（2026届）高二下学期2月开学考试试题和答案

2024-2025学年安徽省A10联盟高二下学期2月开学考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求1.已知直线l:x−ay+1=0过点(−1,1)，则l的倾斜角为()A.0B.C.D.2.已知等差数列{an}的前n项和为sn，若s10=s15，且a7=3，则a1=()A.−3B.0C.33.圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2−6x+8=0的位置关系为()A.外切B.相交C.外离D.内含4.已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且PO=λPAA.B.C.D.5.已知双曲线−=1(a>0)的一条渐近线与直线2x+y−3=0垂直，则双曲线的焦距为()A.2v3B.4v3C.2v5D.4v56.已知正项等比数列{an}的前n项积为Tn，且，则T2025=A.2024B.2025C.22024D.220257.如图，圆锥PO的底面圆周上有A，B，C三点，AB为底面圆O的直径，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若AB=PO=2，则直线CD和平面PBC所成角的正弦值为()A.B.D.1349338.1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：x3+y3−3axy=0，则下列说法错误的是()A.当a=2时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为A(2,2)B.笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点C.笛卡尔叶形线关于直线y=x对称D.当a=2时，若点P(x,y)是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则x2+y2的最大值为18二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知{an}满足a1=3，an+1=(n∈N∗)，则下列说法正确的是()B.{}是等差数列D.设{anan+1}的前n项和为sn，则sn=10.定义：λ曲线的方程为(x2+y2)2−4y2=λ(λ是常数).若点P在λ曲线上，O是坐标原点，A(2,2)，则下列说法正确的是() A.当λ=0时，|AP|的最小值为V5−1B.当λ=1时，|OP|的最小值为V5−2C当λ=0时，|AP|的最大值为+1.D.当λ=1时，|OP|的最大值为V5+211.已知在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足AP=AB+λAD+μAA1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的是()A.当μ=1时，三棱锥B−A1CP的体积为定值 B.当λ=1时，△BD1P周长的最小值为+√5C.当λ=时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP———2D.当|AP|=2时，D1P的最小值为4−22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在等比数列{an}中，a3+a5=5，a6+a8=40，则{an}的公比为.13.已知空间三点A(1,2,1)，B(1,3,2)，C(2,3,1)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为.14.已知点O为坐标原点，点F是抛物线E:y2=4x的焦点，且A(4,4)，连接AF并延长交抛物线E于点B，则△OAB的面积为.四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在平面直角坐标系xoy中，已知圆C的方程为x2−2x+y2−4y−11=0，点P为圆C上一点.(1)若点Q为CP的中点，求动点Q的轨迹Ω的方程;(2)过坐标原点o的直线l被曲线Ω截得的弦长为2，求直线l的方程.16.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=∠BAD=90∘,E为PC的中点.(1)证明：BE//平面PAD;(2)求平面PBD与平面BDE夹角的余弦值.17.(本小题12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2V3，过F1作直线交E于A，B两点，|AB|的最小值为4.(1)求E的方程;(2)若AF1=3F1B，过F2作与AB关于y轴对称的直线交E于C，D两点，求四边形ACBD的面积.18.(本小题12分)已知数列{an}的前n项和为sn=n(n+2)，正项数列{bn}满足b=bn+1bn−1(n≥2)，且a2−b2=a3−b3=3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;(2)设cn=bna+bn+1an+1−bn+2(2)设cn=bna+bn+1an+1−bn+2sn，求证：数列{cn}为等比数列;已知每项均不为0的数列满足：a1=1，(⃞+1)(ax1-an-2)=0.(3)记sn为数列{an}的前n项和，是否存在满足条件的数列{an}，使得s2025=2025?如存在，求出这样的数列的一个通项公式(3)记sn为数列{an}的前n项和，是否存在满足条件的数列{an}，使得s2025=2025?如存在，求出这样的数列的一个通项公式;若不存在，请说明理由.2.D3.A4.B5.D6.D7.B8.A9.ABD 15.解：(1)由题意得，圆C:(x−1)2+(y−2)2=16，故|CP|=4，所以|CQ|=2，故动点Q的轨迹Ω的方程为(x−1)2+(y−2)2=4.(2)因为直线l被曲线Ω截得的弦长为2v3，所以圆心C(1,2)到直线l的距离为1.当直线l的斜率不存在时，直线l:x=0符合题意;当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kx−y=0，故解得k=故l:3x−4y=0.综上，直线l的方程为x=0或3x−4y=0.16.解：(1)因为∠BAD=90∘,即BA⊥AD，又PA⊥平面ABCD，故以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(V3,0,0)，C(2V3,3,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，E(V3,,).在平面四边形ABCD中，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，过点B作BF//AD交CG于点F，得BF=3，CF=v3，所以C(2√3,3,0)则m=(1,v则m=(1,v3,v3).则m,取xm−设平面BDE的法向量为n=(x2,y2,z2)，3,−3).所以|cos< 所以平面PBD与平面BDE夹角的余弦值为.17.解：(1)设半焦距为c，由|F1F2|=2√3，得c=VF=v3，当AB⊥x轴时，|AB|的值最小.(2)由题意得，直线AB的斜率不为0，设l:x=my−,联立整理得(2m2+3)y2−4my−12=0.由AF1=3F1B得y1=−3y2，由对称性可知，四边形ACBD为等腰梯形，其面积为 所以四边形ACBD的面积为.18.(1)解：因为数列{an}的其前n项的和sn=n(n+2)=n2+2n，所以{bn}是等比数列，设{bn}的公比为q，b1qb1q(2)证明：由(1)得，cn=bna+bn+1an+1—bn+2sn所以{cn}是以7为首项，2为公比的等比数列.(3)解：令dn=an+1.bn+1=(2n+3).2n，19.解：(1)因为⃞+1)(anx1-an-2)=0,所以=−1或an+1−an=2.当a2=−1时，a3=1，a4=−1或a4=3，不满足题当a3=−3时，a4=3或a4=−1，不满足题意，舍去;