当已知A(-3,35),B(29,12),求x轴上点P到A,B距离和最小值

已知A(-3,35),B(29,12),求x轴上点P到A,B距离和最小值主要内容：本文通过解析几何直线性质、三角形三边关系以及导数法，介绍已知A(-3,35),B(29,12)求x轴上点P有其到A,B距离和最小值的主要步骤。☀.对称分析法根据两点间直线距离最短，先找出其中1个点关于x轴对称点，再与另外一个点连成直线，则直线与x轴的交点即为所求的p点。☆.找关于A点对称步骤：A(-3,35)B(29,12) xP(eq\f(979,47),0)A1(-3,-35)此时A关于x轴的对称点为A1(-3,-35)，此时直线A1B的斜率k1为：k1=eq\f(12-(-35),29--3)=eq\f(47,32),则其直线方程为:y-12=eq\f(47,32)*(x-29).令y=0，代入求出x=eq\f(979,47),所以p(eq\f(979,47),0).☆.找关于B点对称步骤：A(-3,35)B(29,12) xP(eq\f(979,47),0)B1(29,-12)此时B关于x轴的对称点为B1(29,-12)，此时直线B1A的斜率k2为：k2=eq\f(35-(-12),-3-29)=-eq\f(47,32),则其直线方程为:y-35=-eq\f(47,32)(x--3).令y=0，代入求出x=eq\f(979,47),所以p(eq\f(979,47),0).☀.三角形分析法已知A(-3,35),B(29,12),求x轴上点P有其到A,B距离和最小，即问题转化为在三角形ABP中，已知边AB的长度c=eq\r(1553)为定值，求三角形另外两边BP和AP长度和的最小值。 P(x,0) A(-3,35)B(29,12)由于三角形的两边和大于第三边，即BP+AP>AB，可知当BP与AP的夹角越接近180°时，AP+PB的值最小,设p点坐标为P(x,0)，x∈(-3,29),此时AP和PB的斜率绝对值相等。又Kap=eq\f(35,-3-x)，kbp=eq\f(12,29-x)，所以：|eq\f(35,-3-x)|=|eq\f(12,29-x)|，求出x=eq\f(979,47)，其中x=eq\f(1051,23)(舍去)。☀.光线最短路径分析法思路：光线总是沿传播所耗时间最短路程传播。B(29,12)A(-3,35) 90°-θθP(x,0)x所求点即为光线的入射角，光线从A点出发，在p点反射后，经过点B,设PB与x轴的倾斜角为θ，则光线的入射角=反射角=90°-θ，此时PA的与x轴的倾斜角为180°-θ，根据斜率关系有：tanθ=kbp=eq\f(12,29-x),tan(180°-θ)=Kap=eq\f(35,-3-x),所以：12(-3-x)=-35(29-x),即：x=eq\f(979,47)。☀.导数分析法设p的坐标为p(x,0),所求距离和为d，则：d=eq\r((x+3)2+352)+eq\r((x-29)2+122),是关于x的函数，对x求导有d'x=eq\f(x+3,eq\r((x+3)2+352))+eq\f(x-29,eq\r((x-29)2+122)),令d'x=0，则eq\f(x+3,eq\r((x+3)2+352))=-eq\f(x-29,eq\r((x-29)2+122)),(29-x)eq\r((x+3)2+352)=(x+3)eq\r((x-29)2+122),可知-3<x<29,方程两边平方有:122(x+3)2=352(