立体几何解答题100题

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1.

如图，在三棱锥P-A8C中，PA,PB,PC两两垂直，PA=AB=AC=3,平面。〃平面以当且。与棱

PC,AC,8c分别交于丹，Ai，Bi三点.

(I)过4作直线/,使得/_L8C,/_L/A，请写出作法并加以证明；

(2)若a将三棱锥P-ABC分成体积之比为8:19的两部分(其中，四面体的体积更小)，。为

线段&C的中点，求四棱锥4-PP0S的体积.

2.

如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，

侧视图为直角三角形，尺寸如图所示).

(1)求加棱锥尸-A4C。的体积；

(2)证明：〃平面PEC；

(3)线段BC上是否存在点M,使得AE_LPM?若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理

由.

3.如图1所示，平面多边形COM中，四边形ABC。为正方形，EF//AB,A8=2E产=2,沿着将图形折

成图2,其中』4瓦)=90。,4七=矶＞,〃为4。的中点.

(I)求i正：EH±BD-

(II)求四棱锥O-ABFE的体积.

4.

如图，四棱锥P-A5C。中，侧面PA。为等边三角形，且平面?ADJJ氐面ABC。，AB=BC=-AD=\,

2

ZBXD=ZABC=90(,.

(1)证明：：PD±ABi

(2)点M在棱PC匕且CM=/ICP,若三棱锥O—4CM的体积为工，求实数4的值.

3

5.

已知A8CD是矩形，PO_L平面A8C£>,PD=DC=a,AD=41a,M、N分别是A。、尸8的中点。

(I)求证：平面MNC_L平面PBC；

(II)求点A到平面MNC的距离。

在直三棱柱ABC—481G中，AB=AC,E是BC的中点.

(1)求证：平面A5iE_L平面9BCG；

(2)求证：4c〃平面ABE

B

7.

如图，ABC。为矩形，点A、E、B、F共面，且AABE和AA8产均为等腰直角三角形，且

ZBAE=ZAFB=90°.

(I)若平面48CQ_L平面AE8P,证明平面BC尸平面AOR

(II)问在线段EC上是否存在一点G,使得8G〃平面CQR若存在，求出此时三棱锥G-A8E与三棱锥

G-A。产的体积之比.

8.

如图，四边形48CO为菱形，ACEP为平行四边形，且平面ACEP_L平面A4C。，设与AC相交于点

G,H为尸G的中点.

(I)证明：BDVCH,

(II)若AB=BD=2,AE=£,CH=—,求三棱锥广BDC的体积.

2

9.

如图，四边形ABC。是平行四边形，平面AEO_L平面ABC。，EF//AB,AB=2,

BC=EF=1,AE=4^,DE=3,ABAD=60,，G为BC的中点.

(1)求证：尸G〃平面BE。；

(2)求证：8O_L平面AEZ)；

(3)求点尸到平面BE。的距离.

(1)求证：平面P8O_L平面以C；

(2)若A4=AB,M为线段PC的中点，求三棱锥GM8。的体积。

14.

如图，在五面体ABCQPE中，底面A8Q)为矩形，EF//AB,BC1FD,过3c的平面交棱尸。于P,交棱

FA于Q.

(1)证明：P。〃平面A8CD；

2

⑵若CD上BE,EF=EC=\,CD=2FF=-BC,求五面体ABCQPE的体积.

3

15.

如图所示，四棱锥S-A8C。中，S4J■底曲A8C。，乙48c=9()°,AB=0BC=1,AD=26,

NACO=60°,E为CO的中点.

E

(1)求证：KC〃平面S4£

(2)求三棱锥S-BCE与四棱锥S-BEDA的体积比.

16.

如图示，在四棱锥P-48co中，PD_L平面488,

底面A8CD是矩形，AD=PD,E、F分另IJC。、P8的中点.

(I)求证：EFW平面PAD；

(II)求证：EFJ_平面PAB；

(III)设43=03。=3,求三棱锥P-4EF的体积.

17.

如图所示的几何体。出8co错误!未找到引用源。为一简单组合体，在底面ABC。中，错误!未找到引用

源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，QO_L平面ABCO错误!未找到引用源。，错误!未

找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。.

(1)求证：平面以8_L平面Q8C错误!未找到引用源。；

(2)求该组合体。附8c。的体积.

18.

如图所示，在四棱锥P—A8CO中，四边形4BC。为矩形，△办。为等腰三角形，NAPO=90。，平面

雨£)一平面A3c。，且A8=l,AD=2,E,尸分别为PC,3。的中点.

(1)证明：E尸〃平面附。；

(2)证羽：平面PDC_L平面以D；

⑶求四棱锥P人8C。的体积.

如图，三棱柱ABC-A山iG中，平面A4出BJ_平面ABC,D是AC的中点.

(I)求证：BC〃平面ACD；

(II)若=ZACB=60.,AB=BB、,AC=2,BC=l,

求三棱锥4-A3O的体积.

20.

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形,PA_L平面ABCD.E为PB中点、,PB=.

(1).求证:PO〃平面月。£

(2).求三棱锥E-A8C的体积。

21.

如图，在四棱锥P-A8CQ中，底面48CO为矩形，平面尸BC_L平面48C。，PBVPD.

(1)证明：平面以8_L平面PCD；

⑵若PB=PC,E为棱CO的中点，ZPE4=90°,BC=2,求四面体A.PEZ)的体积.

22.

如图所示，在四棱锥S—48co中，SA_L平面ABCO,底面4BCO为直角梯形，其中4B〃CD,ZADC=

90°,AD=AS=2,AB=\,CO=3,点E在棱CS上，KCE=\CS.

2

(1)若2=一,证明：BELCD；

3

(2)若；1=！，求点E到平面SBD的距离.

3

如图，在四棱柱中，底面48CD为等腰梯形，AD//BC,

AD=2AB=2BC,M为边AO的中点，C8i_L底面48co.

⑴求证：GM〃平面AIAMI；

⑵平面平面ACBi.

24.

如图，四棱锥尸―ABC。中，底面ABC。是直角梯形，ZABC=90°,

BC-2AD-2AB-2fPB1PC、PD=也

(I)求证：平面PBC_L平面44C£＞；

(II)若PC=PB，求点D到平面Q43的距离.

25.

四棱锥S-A8C。的底面ABC。为直角梯形，AB//CD,AB±BC,AB=2BC=2CD=2,ASAD为

正三角形.

(1)点M为棱AB上一点，若3C//平面SOM,

AM=AA§^求实数力的值；

(2)若BCJLSD,求点8到平面SA。的距离.

26.

(本小题满分12分)

已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线

的正方形，E是侧棱PC上的动点

(1)求证：平面以C_L平面BOE.

(2)若E为PC的中点，求直线与平面尸8。所成角的正弦值.

27.

(本小题满分12分)

如图，在四棱锥产一A8CO中，AB//CD,且N84P=NCOP=90。

(1)证明：平面布平面B4O.

(2)若%=PO=48=OC,乙4尸。=90。，四棱锥尸一4BCO的体积为9,求四棱锥尸一ABCD的侧面积.

28.

如图，四棱锥P-A8CO的底面是正方形，附底面ABC。，Q4=2NPAD=45。，点£产分别为棱

AB,P。的中点。

(1)求证：4E〃平面PCE；

(2)求证：平面PCE_L平面PCO

29.

(本题满分12分)

如图1,已知直角梯形ABCO中，AB=AD=-^-CD=2tAB//DC,ABLAD,E为。。的中点，沿AE把

△04七折起到△PAE的位置(。折后变为P),使得P4=2,如图2.

(I)求证：平面尸AE_L平面ABCEi

(II)求点B到平面PCE的距离.

30.

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCO是菱形，其对角线的交点为。，且S4=SC,SA_LS£>.

(1)求证：SO_L平面A8CD；

(2)设/84。=60°,48=50=2,尸是侧棱5。上的一点，且SB〃平面APC,求三棱锥4-PCO的体积

31.

如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是3。的中点，

AE=-CD,侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

2

(I)求证：EM//平面ABC；

(II)求出该几何体的体枳.

D

,

如图，直三棱柱ABC-4&C中，AC=BC=5tAA=AB=6tD,

E分别为AB和上的点，且丝=空.

DBEB'

(1)当。为AB中点时，求证：A'BLCEx

(2)当。在A5上运动时，求三棱锥A・CQE体积的最小值.

正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，HOJLC£),A3//CDA3=AO=2,CD=4,点M是

EC中点.

(I)求证：BM〃平面ADEF：(II)求三棱锥M—BDE的体积.

34.

如图，在底面是正三角形的直三棱柱ABC-A81G中,AA=A8=2Q是8C的中点.

(1)求证:〃平面AB】。；

(2)求三棱锥4—ABI£)的体积.

35.

如图，在四棱锥E-ABCO中，AB//CD,ZABC=90。，CD=2AB=2CE=4,点F为梭DE的中点.

(1)证明：A尸〃平面BCE；

(2)若BC=4,NBCE=120。,DE=2遥,求三棱锥B-CE尸的体积.

36.

如图，在矩形ABC。中，BC=2,AB=1,秒1_L平面4BCD,BE//PA,BE=2PA,尸为心的中点.

(1)求证：。尸〃平面PEC；

(2)记四棱锥CR1BE的体积为修，三棱锥P-ACO的体积为匕，求乜.

^2

37.

如图，在三棱锥P-ABC。中，底面人BCQ为梯形，ABHCD,BD=2AD=4,4ADB=上,点P在底面

3

ABCD内的正投影为点M,且M为A。的中点.

(1)证明：AB_L平面附。

(2)若8C=OC,POJ.P3,求四棱锥P-ABCD的体积.

38.

如图，四棱锥P-A8CO中，平面488,AB=AD,CD=BC.

(1)求证：平面P8OJ_平面以C；

(2)若/8AD=120。，ZBCD=60°,且PB_LPQ,求二面角B-PC-。的平面角的大小.

39.

如图，在各棱长均为4的直四棱柱48C0-4BCQ1中，NB4A60。，E为棱BBi上一点.

(1)证明：平面ACE_L平面8。。8|；

(2)在图中作出点A在平面48。内的正投影〃(说明作法及埋由)，并求二棱锥氏C0H的体枳.

40.

如图，在四棱锥尸-ABCO中，底面ABC。为菱形，ZBAD=60°,PA=PD=AD=2,M,N分别为

线段PC,A。的中点.

(I)求证：AO_L面PNB；

(II)若平面以O_L平面ABCD,求三棱锥PWBM的体积.

41.

在如图所示的几何体中，尸B〃EC,PB=2CE=2,P8_L平面ABC。，在平行四边形ABCO中，AB=\t

4。=2,ZBAD=60°.

(1)求证：4C〃平面PDEi

(2)求8与平面PDE所成角的正弦值.

42.

在四棱锥P-48C。中，AB//DC,ABLAD,PA=AD=DC=2AB=2,PD=AC,E是棱PC的中点，且

BELCD.

(I)求证：阴_L平面ABCD；

(II)求点P到平面瓦汨的距离.

43.

已知平面四边形以BC中，4%C=NPC4中，ZA4C=90°,现沿AC进行翻折，得到三棱锥尸-ABC,点

D,E分别是线段BC,AC上的点，且OE〃平面附8.

求证：(1)直线〃平面尸。E：

(2)当。是BC中点时，求证：平面4BCJL平面尸DE.

44.

如图，在四棱锥尸-44CO中，底面48CD为菱形，ZBAD=60°,点”在线段PC上，且PM=2MC,。为

4。的中点.

p

(I)若%=PQ,求证：平面POB_L平面而。；

(II)若平面%Z)J_平面A8CD,△附。为等边三角形，且AB=2,求三棱锥尸-OBM的体积.

45.

(本小题满分12分)

如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面A8C。是菱形，PD1AC.

(I)证明：直线ACJL平面PBZ)；

(II)若OP=D4=DB=1,PB=6求四棱锥P-A8CO的体积.

46.

(本小题满分14分)

如图，已知直三棱柱错误!未找到引用源。的侧面错误!未找到引用源。是正方形，点错误!未找到引用

源。是侧面错误!未找到引用源。的中心，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。是棱错误!未找到

引用源。的中点.

(1)求证：错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。：

(2)求证：平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。.

47.

(本小题14分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面力。_L平面ABCD,PA±PD,PA=PD,E,F分别为

AD,P8的中点.

(I)求证：PE.LBC；

(II)求证：平面以8_L平面PC。；

(DI)求证：EFW平面PCD.

48.

(本小题满分13分)

如图，在四面体A8CO中，△ABC是等边三角形，平面ABC_L平面点M为棱A3的中点，AB=2,

AD=?5NBAD=90。.

(I)求证：AD±BC.

(ID求异面直线8c与MO所成角的余弦值；

(III)求直线8与平面A3。所成角的E弦值.

49.

（12分）

如图，矩形48CO所在平面与半圆弧CO所在平面垂直，M是CO上异于C,。的点.

(1)证明：平面4MoJ_平面8MC；

(2)在线段4M上是否存在点P,使得储C〃平面P8D?说明理由.

50.

如图，在多边形PABCO中，AD//BC,AB1AD,PA=AB=AD=2BC,NP4D=60。，M是

线段PO上的一点，且DM=2MP,若将AB4。沿AD折起，得到几何体尸—ABCD.

Q。

(1)试问：直线依与平面ACM是否有公共点？并说明理由；

⑵若BC=l,且平面H4O_L平面4BCO,求三棱锥P-ACM的体积.

51.

如图，在四棱锥P-ABCO中，PO_L平面ABC。，底面四边形ABC。是菱形，ZBAD=600,AB=PD=2,O

为AC与80的交点.

(I)求证：ACLPB；

(II)若点E是P8的中点，求三棱锥E—ABC的体积.

如图，在三棱锥P-A8C中，A8=BC=2j5,PA=P8=尸C=AC=4,0为AC的中点.

(1)证明：尸0_L平面ABC；

(2)若点M在棱BC上,且MC=2M3,求点C到平面FOM的距离.

A

BM

53.

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，Q4_L平面48CD,E为尸。的中点.

(I)证明：依〃平面AEC；

(H)设AP=1，AD=6三棱锥尸一ABD的体积丫=立，求4到平面PBC的距离.

(12分)

如图，在三棱锥P-4BC中，AB=BC=2曰PA=PB=PC=AC=4,0为AC的中点.

(1)证明：PO_L平面44C；

(2)若点M在棱BC上,且MC=2M8,求点C到平面POM的距离.

55.

已知直角梯形43co中，ADA.AB,AB//DC,AB=2,DC=3,E为A8的中点，过E作E尸〃AD,

将四边形4EF。沿EF折起使面AEFDJ■面EBCF.

(1)若G为。尸的中点，求证：EG〃面8CD；

(2)若")=2,试求多面体AD-5C正的体积.

56.

(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC—A&G中，AC1.AB,AB=2AAifM是43的中点,

E为BC上一点.

(ID平面将三棱柱A3C-A与G分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比.

57.

多面体A6CDE厂中，BC//EF,BF-娓,△A6C是边K为2的等边三角形，四边形ACD厂是菱形,

NE4c=60°,M,N分别是人8,。尸的中点.

(1)求证：MN〃平面AEF；

(2)求证：平面平面ACDF.

58.

如图，四棱锥P-ABCO中，底面A8CD是平行四边形，NA4O=60°,平面秒1O_L底面48cO,且△布。

是边长为2的等边三角形，PB=R,M是A。中点.

(1)求证：平面PMB_L平面秒1D：

(2)证明：ZPDO^PAB,且△P0C与△以4的面积相等.

59.

如图，三棱锥O—ABC中，AB=2,AC=BC=6,AADB是等边三角形且以A3为轴转动.

第19题图

(1)求证：ABLCD；

(2)当三棱锥。—A3C体积最大时，求它的表面积.

60.

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SA8与侧面SAC均为边长为2的等边三角形，N84C=90°,O为BC

中点.

⑴证明:AC_LSO;

(II)求点C到平面SAB的距离.

61.

中秋节即将到来，为了做好中秋节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案

如下：将一块边长为10的正方形纸片48C。剪去四个全等的等腰三角形ASEE,&SFF',△SGG,

△SHH，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH,其中AB,C,D重合于点。，

E与E'重合，产与F重合，G与G'重合，//与H'重合(如图所示).

(1)求证；平面SEG_L平面S"/；

(2)已知=过。作交SH于点M，求cosNEMO的值.

2

62.

如图1,AA3C是边长为3的等边三角形，。在边AC上，E在边A8上，且AO=8E=2AE.将

△AQE沿直线。七折起，得四棱锥A-5C£)E,如图2.

(1)求证：。石"LA'B；

(2)若平面底面3CDE,求三棱锥。一ACEt的体积.

63.

如图所示，AABC和ABCZ)所在平面互相垂直，且AB=8C=3£>=2,zS4BC=ZDBC=120\

E,产分别为AC,OC的中点.

(1)求证：EFLBC-,

(2)求二面角E-39一C的正弦值.

64.

如图，四棱柱AHCO-AqCQ的底面"CD为菱形，且幺A8=4AQ.

(1)证明：四边形38QQ为矩形；

(2)若AB=AAN8AD=6O。，AC_L平面8HQ£),求四棱柱A8CO-4片仑"的体积.

65.

如图(1)所示，长方形ABCD中,AB=2AD,M是。C的中点，将△AQM沿AM折起，使得4O_L8M,

如图(2)所示，在图(2)中，

(1)求证：8M平面AOM；

(2)若4)=1,求三棱锥&MCO的体积.

66.

如图所示，正三棱柱48C-Ai8G的高为2,点D是48的中点，

点E是81G的中点.

(1)证明：OE〃平面4CG4;

(2)若三棱锥E-O8C的体积为立，求该正三棱柱的底而边长.

12

67.

如图，已知四棱锥尸-A3C£>,底面A3CD为菱形，AB=2,

/区4。=120°,尸4_1平面488,M,N分别是3C,尸。的中点。

(1)证明：4知_1_平面/<4。；

(2)若〃为尸。的中点时，与平面PAO所成的角最大，

且所成角的正切值为无，求点人到平面PBC的距离。

2

68.

如图，在四棱锥P—A8CZ)中，P8_L底面ABC。，CDA.PD,底面A8CO为直角梯形，AD//BC,

AB1.BC,AB=AD=PB=3,点七在棱附上，RPE=2EA.

(1)证明PC〃平面EBD；

(H)求二面角人BE。的正切值.

69.

如图，已知四棱锥P-48CO的底面为直角梯形，AD//BC,ZADC=90°,且AO=28C=2CD,PA=PB

=PD.

(1)求证：平面氏。，平面ABC5

(2)若/必D=45。且以二收，E,/分别是%,PC的中点，求多面体PEMO的体积.

70.

如图，在三棱锥4BC-A鸟G中，ABLBC,AB工AB=BC=BB]=2,NB]BC=60。，点D为

(I)证明：平面AqOJ•平面A8C；

(in求三棱柱ABC-AQG的体积.

71.

如图，已知四边形A8CD为矩形，四边形A8E尸为直角梯形，FAYAB,AD=AF=FE=\,AB=2,ADLBE.

(1)求证：BELDE；

(ID求点尸到平面C8E的距离.

72.

如图，直三棱柱ABC—中，M是A8的中点.

A

4

证明：8G〃平面MCA：

若AB=AM=2MC=2,BC=y[2,求点C倒平面MC4的距离.

73.

在四棱锥P—A8C£＞中，ADA.AB,AD//BC,△PDA,△以4都是边长为1的正三角形.

(1)证明：平面PQB_L平面ABCD；

(2)求点C到平面玄。的距离.

74.

已知多面体48COE尸中，四边形48FE为正方形，/CFE=/DEF=骄，DE=2CF=EF=2,G为

4B的中点，GD=3.

(1)求证：AE_L平面COER

(2)求六面体A8CDEF的体积.

75.

如图，平面ACEr_L平面ABCO,四边形ABCD是菱形，ZABC=60\AF//CE,AFA.AC,

AB^AF=2CE=1.

(1)求四棱锥AC石尸的体积；

RP

(II)在8尸上有一点P,使得AP//OE,求——的值.

PF

76.

如图，直三棱柱中，AB=AC=AA.=2tBC=2垃,。，石分别是3C,CG的中点.

(1)证明：平面AOg_L平面AOE；

(2)求三棱锥。一A四七的高.

77.

如图，砂垂直于菱形A8CO所在平面，且EB=BC=2,NB4D=60。，点、G、H分别为边CO、

D4的中点，点M是线段8七上的动点.

(I)求证：GH±DM；

(II)当三棱锥。—MG”的体积最大时，求点4到面MG”的距离.

78.

如图，在直三棱柱ABC-A4G中，底面AABC是边长为2的等边三角形，。为8c的中点，侧棱

例=3,点E在B片上，点尸在CG上，且BE=1,CF=2.

(1)证明：平面。场_1_平面何?尸;

(2)求点。到平面AE产的距离.

79.

如图所示的几何体中，平面平面ABCD△皿)为直角三角形，NAPQ=9(T,四边形ABC力

为直角梯形，AB//DC,ABLAD,PQ//DC,PQ=DC=PD=1,PA=AB=2.

(I)求证：PD〃平面QBC；

(II)求证：QC_L平面以BQ；

(III)在线段QB上是否存在点M,使得

AMLBC,若存在，求QM的值；若不存在，请说明理由.

80.

如图，矩形A8CQ中，AB=4,AD=2,E在DC边上,且£>E=1,将aAOE沿4E折到△A。石的位置，使

得平面AOE_L平面ABCE.

(I)求证：AE-LBD'；

(II)求三棱锥A-BC。的体积.

H

81.

如图所示的多面体中，48CD是菱形，BDE尸是矩形，EO_L面ABC。，ZBAD=~.

3

(I)求证：平面8C/〃平面AE£>；

(2)若BF=BD=a,求四棱锥4-BDE尸的体积.

82.

如图，AACD是边长为a的正方形，E3_L平面A38,/£>_1平面AZ?C£>,ED=2FD=y/2a.

(I)求证：EFLAC；

(II)求三棱锥£>FAC的体积.

83.

如图，在底面为矩形的四棱锥P—4BCD中，PB1AB.

(I)证明：平面PRCL平面PC力：

4

(2)若尸8=AB=-BC=4,平面BAB_L平面ABC。,

3

求三棱锥A—P8O与三棱锥P—BCD的表面积之差.

84.

如图AB,8是圆柱的上、下底面圆的直径，ABC0是边长为2的正方形，E是底面圆周上不同于A8

两点的一点，AE=\.

B

(1)求证：房人平面八4£；

(2)求二面角DB-E的余弦值.

85.

如图，将菱形AEb沿对角线族折叠，分别过E,尸作4c所在平面的垂线即，FB,垂足分别为

D,B,四边形ABC力为菱形，且NR4O=60。.

(1)求证：小〃平面AOE；

(2)若AB=2所=2,求该几何体的体积.

86.

如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=\,/ABC=60°,四边形ACFE为矩

形，平面ACFE_L平面ABCD,CF=i.

(1)求证：BC_L平面4c尸E；

(2)求多面体48CDE尸的体积.

87.

在四棱锥S-ABCO中，底面ABCO为平行四边形，NOBA=60。，NS4D=30。,

AD=SD=2y/3fBA=BS=4.

s

(Ii证明：8D_L平面&ID；

(ID求点。到平面%B的距离.

88.

如图，四棱柱A8a)-A|BiG。中，。。〃4瓦48_18心48=8。=28=2,侧棱44]_1_平面八8。£>.且点时是

AS的中点.

(1)证明:CM〃平面

(2)求点M到平面ADD\A\的距离.

89.

如图所示，已知圆。的直径A3长度为4,点。为线段A8上一点，且4。=2。8,点C为圆。上一

3

点，且5C=Jl4C.点P在圆。所在平面上的正投影为点O，PD=BD.

(I)求证：COJ_平面243；

(II)求点D到平面PBC的距离.

90.

如图，在四棱锥S-A3C。中，ASCO为钝角三角形，侧面SCO垂直于底面A8CO,CD=SD,点

M是5A的中点，AD//BC,ZA8C=90。，AB=AD=-BC.

2

(1)求证：平面MB。_L平面SCO：

(2)若直线SO与底面48co所成的角为60。，求二面角3—MO—C余弦值.

91.

如图，在四棱锥尸-A8C。中，ZABC=ZACD=90°,ZBAC=ZCAD=60°,用_L平面ABCQ,PA=2,

AB=1.设M,N分别为PO,AO的中点.

(1)求证：平面CMN〃平面以B：

(2)求三棱锥产-ABM的体积.

92.

如图，在四棱锥P-ABCO中，底面A8CD是矩形，月4_1_面人8。。，PA=AD=4,AB=2t以AC中点0为

球心，AC为直径的球面交线段尸。(不含端点)于M.

(1)求证：面A8W_L面PCD；

(2)求三棱锥。-人MC的体积.

93.

如图，边长为2的正方形/1BFC和高为2的直角梯形AOEr所在的平面互相垂直，AFC\BC=Ot

DE=Q,EO〃A尸且NOAF=90°

(1)求证：。及L平面BCE

(2)过0作。从L平面跳下，垂足为H,求二面角H-4E-0的余弦值.

B

94.

如图，在四棱锥P-A8CD中，底面A8CD为正方形，侧棱以_L底面ABC。，AB=\,PA=2,E为PB的中

点，点F在棱PC上，且PF=­C.

(1)求直线CE与直线PD所成角的余弦值；

(2)当直线8尸与平面CDE所成的角最大时，求此时入的值.

95.

如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱8CV和一个正四棱锥ABCD组合而成，ADAAF,

AE-AD-2.

(1)证羽：平面外。人平面Afi尸E；

(2)求正四棱锥尸-ABC£＞的高分,使得该四棱锥的体积是三棱锥谢体积的4倍.

C

96.

已知：平行四边形A4CD中，N〃A8=45JAB=yf2AD=2y[2,平面A")_L平面AAC",AAED为等边三

角形，EF//AB,EF=41,M为线段BC的中点。

(I)求证：直线M尸〃平面8班)；

(II)求平面与平面尸NC所成角的正弦值：

(III)求直线与平面8E0所成角的正弦值。

97.

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A5CD为菱形，ZDAB=60\PO_L平面A8CO,

PD=AD=2,，点瓦歹分别为A屏口PD的中点.

(1)求证：直线AF〃平面尸EC；

⑵求点尸到平面PEC的距离.

98.

如图，在四棱锥尸-ABCZ)中，Q4_L平面ABCD,底面ABC是菱形，AB=2,ZBAD=60°,PA=3,

点E是PC上一点.

(1)求证：平面BED_L平面R4C；

(2)若E是PC中黠，求三棱椎的体积.

99.

如图，直棱柱ABC—A8IG的棱长都为2,点尸为棱3C的中点，点E在棱CG上，且CC|=4C£.

(1)求证：EF_L平面与A/；

(2)求点G到平面4。的距离.

100.

如图，在四棱锥尸—ABC。中，棱Q4_L底面A3CQ,且ABIBC、ADI/BC、PA=AB=BC2AD=2,E是

PC的中点.

(1)求证:OE_L平面?6C；

(2)求三棱锥A-PDE的体积.

立体几何解答题题库答案

1.

(1)作法：取3C的中点“，连接A"，则直线A”即为要求作的直线/.

证明如下：•••PA_LAB,PA_LAC,且ABDAC=A,.•.P4J_平面A8C.

•・•平面a〃平面口钻，且apl平面PAC=6A，平面PABPI平面R4C=B4.

.•・64_1平面A8。，「.64_1_4”.

又AB=AC,”为BC的中点，则AH_LBC,从而直线A”即为要求作的直线/.

P\

(2)・.•a将三棱锥尸—ANC分成体积之比为8:19的两部分，

/.四面体6ABe的体积与三棱锥P-48。分成体积之比为8:27,

又平面a〃平面「.箜二型=型二2.

ACBCPC3

易证PA〃平面耳4中，则p到平面的距离4即为4到平面的距离,

:.d、==1

又。为司。的中点，。到平面6ABi的距离W=；4。=1，

114

故四棱锥的体积V=-x(4+4)x-x2x2=—.

323

2.

(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，

PA_L平面ABC。，PA〃EB,且PA=4夜，BE=2叵,AB=AD=CD=CB=4,

VP-ABCD=-PAXSABCD=—x4-J2x4x4=64y分

333

(2)证明：连结AC交8。于。点，取尸。中点尸，连结OF,

，：EB〃PA,^.EB=-PA,

2

又OF〃PA,AOF=-PA,:・EB〃OF,且EB=OF,

2

・••四边形仍0尸为平行四边形，・・・E/〃3D.

又£7七平面PEC,BZXI平面PEC,所以8。〃平面PEC.----------------------------------8分

解法二：

可取PA的中点Q,证明平面PEC〃平面BOQ.BOu平面BOQ.所以8。〃平面PEC.

(3)存在，点M为线段BC上任意一点.证明如下：

EBRA1

连结BP,,/—=一=7，ZEBA=^BAP=90°,

ABPAV2

:.AEBAsABAP,：.ZPBA=ZBEA,

：.NPBA+NBAE=NBEA+ZBAE=90°,：,PB]_AE.

又〈BC，平面APEB,・・・8C_LAE,・・・AE_L平面PBC,

工点M为线段BC上任意一点，均可使得AE_LPM.-------------------------------12分

3.

(I)在梯形A8CD中,・・,A8〃CD,〃C=CB,

/.ZBAD=ZABC=60,

•♦・ZADC-NSCO_120°,1AD-DC-X.

：.NCW=ZACD=30",

AZACB=90°,/.8C_LAC.(4分)

•・•平面ACFE_L平面ABCD平面ACFEQ平面ABCD=AC,JBC_L平面4CFE.

(H)在AAOC中,4C?=A》+。。2一2Ao•DCcosZADC=3,/.AC=V3.

分别以C^CB,CF为x轴,y轴,z轴建立平面直角坐标系，设Cb=儿则C(0,0,0),4、公,0,0),5(0,1,0),

0(1,0,0),尸(0,0,〃)，则BD=0),BF=(0,-1,力)，易知平面BCF的一个法向量为m=(1,0,0),

-\n-BD=

0,2X‘°'令z=l,则x=2力，y=力,

平面BDF的法向量为n=(%,y,z),:、<.即4

n-BF=0,-y+/zz=0,

・•・平面BDF的法向量为n=(2"〃,1),,・•二面角C一3/一。的平面角的余弦值为巫

6

・・・cosvM}>=/2".=如解得〃=］即。尸=i(1。分)

J5—+16

所以六面体A3CD£F的体积为:

=-xlxl+lxlx

^ABCDEF=^B-ACFE+^D-ACFE=正方窗如£XBC+§S正方形人叱*X卜」rr(12

33

分)

4.

(1)证明：取AD的中点O,连OCQP

•••△B4O为等边三角形，且0是边AD的中点

・•・POLAD

1平面R4D_L底面ABC。，且它们的交线为AD

・•・WffiABCD

・•・BALPO

•・•BA1AO,FLADflP。=0

：.AB_L平面尸AO

・•.PD±AB

(2)设点M到平面ACD的距离为6

^D-ACM=^M-ACD=§

1=-1-h.=l—1=l.

CvLzc、

330&ACD

…CMhl

•~CP~OP~43

1_百

忑二7

5.

(D连PM、MB•・,PD_L平面ABCDAPD1MD

:.PM1=PD2+MD2=之。2又6M2=AB2+AM2=-a2

22

・・・PM=BM又PN=NB，MN_LPB

PD=DC=a,BC=®PC=41a=BC,

得NC_LPB・.,MNCNC=N・・・PB_L平面MNC

•・・PBu平面PBC

，平面MNC_L平面PBC

(ID取BC中点E,连AE,则AE〃MC・・・AE〃平面MNC,

A点与E点到平面MNC的距离相等

取NC中点F,连EF,则EF平行且等于，BN

2

•・・BN_L平面MNC・・・EF_L平面MNC,EF长为E

点到平面MNC的距离:PD_L平面ABCD,BC

又TBCLDC.♦.8C_L面尸COABC1PC.

22

..PB=ylBC+PC=2a>EF=-BN=-PB=-

242

即点A到平面MNC的距离为巴

2

6.

【解析】(1)在直三棱柱月BC-N】3IC］中，CC】1平面

因为/l£u平面ABC,

所以CCilAE,

因为"NC,E为3c的中点，

所以

因为5c在平面SBCCi内，CG在平面BLSCG内，且5CHCC尸C,

所以月EL平面515CG.

因为BE在平面45比内，

所以平面平面BiBCCi.

(2)连接48,设AiBC4Bi=尸,连接石尸.

在直三棱柱ABC—ABG中，四边形AAiBiB为平行四边形,

所以F为4B的中点.

又因为E是的中点，

所以E/〃4C

因为E尸在平面AB|E内，AC不在平面入囱石内，

所以AC〃平面ABiE.

7.

证明：（1）・.・ABCD为矩形，ABC1AB,

又•・,平面ABCD_L平面AEBF,BCu平面ABCD,平面ABCDCI平面AEBF=AB,

・・・BC_L平面AEBF,..................（2分）

又YAFu平面AEBF,ABCIAF...................（3分）

VZAFB=90°,即AF_LBF,且BC、BFu平面BCF,BCCIBF=B,

・・・AF_L平面BCF...................（5分）

又・・・AFu平面ADF,工平面ADF_L平面BCF..............................................：6分）

（2）VBC/7AD,ADU平面ADF,；.BC〃平面ADF.

•・•MBE和AABF均为等腰直角三角形，且NBAE=ZAFB=90°,

AZFAB=ZABE=45O,，AF〃BE,又AFu平面ADF,；・BE〃平面ADF,

VBCnBE=B,二平面BCE〃平面ADF.

延长EB到点H,使得BH=AF,又BC」AD,连CH、HF,易证ABHF是平行四边形,

/.HF//AB//CD,，HFDC是平行四边形，，CH〃DF.

过点B作CH的平行线，交EC于点G,即BG〃CH〃DF,（DFu平面CDF）

・・・BG〃平面CDF,即此点G为所求的G点.........................（9