电路理论基础（第三版） 课件 第2章 电阻电路的等效变换

第二章电阻电路的等效变换在电路分析中常采用一些等效变换,以达到简化电路的目的。例如,将多个电阻的串联或并联等效成一个电阻就是一种常用的简化手段。本章将先阐明等效变换的理论依据,然后介绍电路分析中其他一些常用的等效变换方法。2.1等效二端网络2.2电压源、电流源串并联电路的等效变换2.3实际电源的两种模型及其等效变换2.4电阻星形连接与三角形连接的等效变换2.1等效二端网络电路中的二端网络又称为单端口网络或单口网络,它有两个端与电路其他部(称为外电路)相联,它与外电路相关联的变量只有端口电流和端口电压。在图2-1中,N1就是一个二端网络。注意,N1内部与外电路内部之间不能有控制和受控的关系,否则N1与外电路之间除了端口变量之外,还会有其他的关联,它就不是一个真正的二端网络。因此,若N1中有受控源,则其控制量只能是N1内部某支路的或端口的电流、电压;而且,外电路中受控源的控制量也不能在N1内部。图211二端网络2.1等效二端网络若二端网络由电阻、独立源、受控源等元件构成,不包含储能元件,则称为二端电阻网络(本章简称二端网络)。从端口上看,可将二端网络视为一条广义支路,其特性由端口伏安关系所描述。二端网络对外电路的影响取决于它的端口伏安特性。如果有两个二端网络的内部结构不同,但其端口伏安特性却完全一样,则从外电路的角度来看,这两个二端网络的作用相同,它们是可以相互替代的。这就是等效变换的理论依据。端口伏安特性相同的二端网络称为等效二端网络。电路中一个二端网络被其等效网络替换,称为电路的一次等效变换。等效变换后电路其他部分的工作状态不变。必须强调,等效仅是对外电路(未变部分)和端口而言的,而被变换的二端网络的内部电流、电压变量在变换前后已没有对应关系。在用等效变换法分析电路时,要充分注意这一点。2.1等效二端网络要证明两个二端网络是等效的,只需证明它们的端口伏安特性相等即可。值得注意的是,由于端口伏安特性方程与所选电流和电压的参考方向有关,因此只有当两个二端网络的端口电流、电压的参考方向对应相同且方程相等时,它们才是等效的。

列写某二端网络的端口伏安特性时,首先应将其从整个电路中分离出来,标出端电流和端口电压的参考方向,然后再求解。求解时,在端电流和端口电压这两个变量中,假设一个变量已知,从而求出另一个变量的表达式。至于是选择端口电流还是端口电压作为已知量,可针对具体的电路,从方便求解的角度选定。2.1等效二端网络例2-1求图2-2所示二端电路的端口伏安特性。图2-2例2-1题图

解

标出端电流和端口电压参考方向如图2-2所示。分析可知,若该电路端口电压已知,则两个电阻的电流容易求得,进而可得端电流表达式。因此,这里设端口电压u已知,相当于端口接一电压源,如图中虚线所连。可求得该二端电路的端口伏安特性为

或u=8+4i

由上两式可分别构造出原网络的两个等效二端网络,如图2-3(a)、(b)所示。图2-3图2-2的等效电路2.1等效二端网络例2-2求图2-4(a)所示二端电路的端口伏安特性。

解标出端电流和端口电压参考方向如图2-4(a)所示。分析可知,若该电路端口电流已知,则用并联电阻的分流公式,容易求得电流i1,进而容易写出端口电压表达式。因此,这里设端口电流i已知,相当于端口接一电流源,如图中虚线所连。由分流公式得而求得端口电压为u=5u1

+(3+3)i1=5i+2i=7i由上式可得原二端电路的等效电路如图2-4(b)所示。图2-4

例2-2题图例2-1的结果表明一个含独立源的二端网络可等效成一个电压源与电阻的串联网络,或者等效成一个电流源与电阻的并联网络;例2-2的结果表明一个不含独立源的二端网络可等效成一个电阻。这些结论具有普遍性,本书第4章将进一步讨论。在工程实践中,有时会遇到电源串并联使用的情况,例如,将多个电源串联使用,以提高输出电压;将多个电源并联使用,以提高带负载的能力,等等。电路分析时,可对电源的串并联结构进行简化。2.2.1电压源的串联和并联1.电压源的串联

图2-5(a)所示是n个电压源的串联,若将其看做一个二端网络,则对于任意端口电流i,在图示参考方向下,根据KVL可求得其端口特性方程为

u=us1+us2+…+usn

（2-1）由上式可见,该二端网络可等效成一个电压源,如图2-5(b)所示。等效电压源的电压为

us=us1+us2+…+usn

（2-2）图2-5电压源的串联及其等效电路2.2电压源、电流源串并联电路的等效变换2.电压源的并联电压相等的电压源可作极性一致的并联,图2-6(a)所示是两个电压源的并联,其中us1=us2。该二端网络可与图2-6(b)所示电压源等效,等效电压源的电压为us=us1=us2

（2-3）图26电压源的并联及其等效电路工程上,电压不等或极性相反的实际电压源不能并联使用,否则将损坏电源。当某电路模型中出现两个电压不等或极性相反的理想电压源并联时,它们组成的回路将不满足KVL,该电路无解。2.2电压源、电流源串并联电路的等效变换3.电压源与二端网络的并联图2-7(a)所示电路中,电压源与二端网络N1并联,构成一个新的二端网络。N1可由电阻、独立源和受控源等元件构成,但它的等效网络不是理想电压源支路。图2-7(a)、(b)所示的两个二端网络是等效的,因为它们的端口特性方程均为

u=us(对于任意端电流i)（2-4）图2-7电压源与二端网络的并联及其等效电路图2-7(a)、(b)两个二端网络中,电压源的电压虽然相等,但流过两个电压源的电流一般并不相等。如前所述,两个二端网络等效是指其端口特性相同,对外电路等效,对内则没有等效关系。2.2电压源、电流源串并联电路的等效变换2.2.2电流源的串联和并联1.电流源的并联图2-8(a)所示是n个电流源并联的二端网络。对于任意端电压u,在图示参考方向下,根据KCL可求得其端口特性方程为

i=is1+is2+…+isn

（2-5）

由上式可见,该二端网络可等效成图2-8(b)所示的电流源。等效电流源的电流为

is=is1+is2+…+isn

（2-6）图2-8电流源的并联及其等效电路2.2电压源、电流源串并联电路的等效变换2.电流源的串联电流相等的电流源可作方向一致的串联。图2-9(a)所示是两个电流源的串联,其中is1=is2。该二端网络可与图2-9(b)所示电流源等效,其中

is=is1=is2

（2-7）

工程上,电流不等的实际电流源不能串联使用,也不能将两个相等的电流源作反方向串联,否则将损坏电源。当某电路模型中出现两个电流不等的理想电流源串联时,KCL将不成立,该电路无解。图2-9电流源的串联及其等效电路2.2电压源、电流源串并联电路的等效变换3.电流源与二端网络的串联

电流图2-10(a)所示电路中,电流源与二端网络N1串联,构成一个新的二端网络。N1可由电阻、独立源和受控源等元件构成,但它的等效网络不是理想电流源支路。图2-10(a)可等效成一个如图2-10(b)所示的电流源。这两个二端网络有相同的端口特性方程:i=is(对于任意端口电压u)（2-8）图2-10电流源与二端网络的串联及其等效电路2.2电压源、电流源串并联电路的等效变换2.2电压源、电流源串并联电路的等效变换例2-3求图2-11(a)、(b)所示两个二端电路的最简等效电路。图2-11例2-3题图解将图2-11(a)所示二端电路逐步化简,可求得其最简等效电路为一个3A的电流源,其化简过程如图2-12(a)所示。图2-11(b)所示二端电路的最简等效电路为一个8V的电压源,其化简过程如图2-12(b)所示。图2-12例2-3题解例2-4求图2-13(a)所示二端电路在图示参考方向下的端口伏安特性。图2-13例2-4题图及其化简解可将图2-13(a)所示电路先作一些化简,再求其端口伏安特性。化简后的电路如图2-13(b)所示,容易写出该电路的端口伏安特性为

u=-5+2i1=-5+2(i-2)=-9+2i2.2电压源、电流源串并联电路的等效变换2.3实际电源的两种模型及其等效变换实际电源的输出电压会随着输出电流的增大而有所减小。设实际电源的端电流和端口电压采用非关联参考方向,如图2-14(a)所示,则在任一时刻t,它的伏安特性曲线如图2-14(b)所示。其中,us是电流为零时的电压,称为开路电压;is是电压为零时的电流,称为短路电流。伏安特性曲线的斜率为负常数,用-R表示,R称为该实际电源的内阻,显然有（2-9）

由伏安特性曲线可得实际电源的端口特性方程为

u=us-Ri

（2-10）

或

（2-11）图2-14实际电源及其端口伏安特性2.3实际电源的两种模型及其等效变换图2-15(a)、(b)所示电路是实际电源的两种电路模型。图2-15(a)是电压源与电阻的串联结构,称为戴维南模型或有伴电压源模型。其中,电压源的电压等于实际电源的开路电压us,串联电阻等于实际电源的内阻R,它的伏安特性即(2-10)式。图2-15(b)是电流源与电阻的并联结构,称为诺顿模型或有伴电流源模型。其中,电流源的电流等于实际电源的短路电流is,并联电阻也为R。根据KCL可写出该并联电路的伏安特性,即(2-11)式。图2-15实际电源的戴维南模型和诺顿模型2.3实际电源的两种模型及其等效变换由戴维南模型可见,实际电压源的内阻R越小,在R上产生的内部压降越小,其端口电压u受i的影响就越小,该电源就越接近理想电压源。由诺顿模型可知,实际电流源的内阻R越大,在R上的分流越小,其输出的端电流i受u的影响就越小,该电源就越接近理想电流源。

理论上讲,实际电源可采用上述两种模型中的任一种,但工程上一般对内阻小的电源采用戴维南模型,这种电源的特性较接近理想电压源,称之为实际电压源。内阻大的电源一般采用诺顿模型,这种电源的特性较接近理想电流源,称之为实际电流源。在使用中,实际电压源不能短路,实际电流源不能开路,否则,有可能损坏电源。同一个电源的两种模型反映的是同一个端口特性,对外电路而言,它们是等效的,可以相互转换。等效转换时,两种模型的参数必须满足一定的关系:电阻R相等且us与is满足(2-9)式。两种模型的等效转换如图2-16所示,要注意电压源us及电流源is的参考方向。2.3实际电源的两种模型及其等效变换图2-16电源两种模型的等效转换

虽然等效的两种模型中电阻R相等,但两个电阻的工作状态并不相同,它们的电流、电压、功率一般都不等,等效是仅对外电路而言的。理想电压源是内阻为零的电源,理想电流源是内阻为无穷大的电源,它们不能相互变换。在电路分析中,也将一般的电压源串联电阻及电流源并联电阻两种结构分别称为有伴电压源和有伴电流源。两种有伴电源的等效变换可用于化简电路。2.3实际电源的两种模型及其等效变换

例2-5求图2-17(a)所示电路中的电流I。解利用有伴电压源和有伴电流源的等效变换,逐步将原电路化简,最终得到一个单回路电路。具体过程见图2-17(b)、(c)、(d)。对图2-17(d)中的单回路列KVL方程:I（2+7+1）=9-4得I=0.5A电源的等效变换可推广至受控源。但是对含受控源的电路进行化简时,要注意不能让控制量消失,否则电路将无法求解。图2-17例2-5题图和求解过程2.3实际电源的两种模型及其等效变换

例2-6求图2-18(a)所示二端电路的端口伏安特性。图2-18例2-6题图和求解过程解为求端口伏安特性,假设端电流i已知,相当于端口接有电流源,如图2-18(a)中虚线所示。可对该电路先行化简,再求端口电压u的表达式。注意,电路中2A电流源与电阻的并联结构不能变换成电压源与电阻的串联结构,否则控制量u1将消失。但可将受控电流源与电阻的并联结构进行等效变换,变换后的电路如图2-18(b)所示。由该电路可得i1=i+2,u1=5i1=5i+10u=4u1

+2i+(4+5)i1=4(5i+10)+2i+(4+5)(i+2)=58+31i

即在图示参考方向下,该二端电路的端口伏安特性为

u=58+31i

例2-7电路如图2-19(a)所示,求电流i、8V电压源的功率p1和受控电流源的功率p2。图2-19例2-7题图及其化简解求电流i时可先将电路化简。受控电流源与4Ω电阻的串联可等效成一个受控电流源;该受控电流源再与8Ω电阻并联,可转换为受控电压源与8Ω电阻串联;8V电压源与4Ω电阻的并联可等效成一个8V电压源。简化后的电路如图2-19(b)所示。对该单回路电路列一个KVL方程,有24i+8i-16i=8求得2.3实际电源的两种模型及其等效变换要计算已变换部分的内部元件的电流、电压或功率,需回到原电路求解。在图2-19(a)所示原电路中,对节点a列一个KCL方程,得

则8V电压源供出的功率为p1

=i1

×8=2.5×8=20W对由受控电流源及电压源和两个电阻构成的回路列一个KVL方程,得

u=-8+24i+4×2i=-8+32i=-8+32×0.5=8V则受控电流源供出的功率为p2

=u×2i=8×2×0.5=8W2.3实际电源的两种模型及其等效变换2.4电阻星形连接与三角形连接的等效变换二端网络的等效概念也适用于多端网络,当两个多端电阻网络的端子数相等且有相同的端口伏安特性方程时,它们对外电路是等效的。

图2-20中,N是一个三端网络,它有三个端电流和三个端口电压。根据KCL,有i1+i2+i3=0,即三个端电流中只有两个是独立的;根据KVL,有u12+u23-u13=0,即三个端口电压也只有两个是独立的。两个独立端电流和两个独立端口电压之间的关系就是三端网络的端口伏安特性方程。

图2-20三端网络2.4电阻星形连接与三角形连接的等效变换图2-21所示为两个三端电阻网络。其中,图221(a)网络为三个电阻的星形(Y形、T形)连接,图2-21(b)网络为三个电阻的三角形(Δ形、π形)连接。这两种结构在三相电路、桥式电路等电路中比较常见。在电路分析时,有时需对这两种结构的三端电路进行等效互换以简化电路。下面分别列出两个网络的端口伏安特性方程,进而推导它们的等效条件。

图2-21(a)所示的星形电阻网络中,以i1、i2、u13、u23为独立的端电流和端口电压变量,其端口特性方程为（2-12）从(2-12)方程中解出i1和i2,可得该网络另一形式的端口方程:

（2-13）2.4电阻星形连接与三角形连接的等效变换图2-21星形电阻网络和三角形电阻网络图2-21(b)所示的三角形电阻网络的端口特性方程为：（2-14）

从(2-14)方程中解出u13和u23,可得其另一形式的端口方程：（2-15）2.4电阻星形连接与三角形连接的等效变换星形电阻网络与三角形电阻网络等效的条件是它们的端口特性相等。比较(2-12)式和(2-15)式的各项系数,有（2-16）将上式中第1个和第3个方程分别减去第2个方程,求得