高考数学历年真题专题分类汇编：《6年高考4年模拟》：第六章 数列 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和

【数学精品】2021版？6年高考4年模拟？

第六章数列

第一节等差数列、等比数列的概念及求和

第一局部六年高考题荟萃

2021年高考题

一、选择题

1.12021高考重庆理1】在等差数列｛%｝中，a2=l,%=5那么｛〃”｝的前5项和S§=

A.7B.15C.20D.25

【答案】B

【解析】因为〃2=1，%=5,所以q+%=g+%=6，所以数列的前5项和

班上也=®&='6=15,选B.

222

2.[2021高考浙江理7】设S.是公差为d(d#0)的无穷等差数列｛aC的前n项和，那么

以下命题错误的选项是

A.假设d<0,那么数列｛S„｝有最大项

｛S„｝有最大项，那么d<0

｛Sn)是递增数列，那么对任意〃wN",均有S〃>0

D.假设对任意〃£N”,均有S〃>0,那么数列｛Sn)是递增数列

【答案】C

【解析】选项C显然是错的，举出反例：一1,0,1,2,3,….满足数列｛S“｝是递增数列,

但是5“>0不成立.应选C。

3.[2021高考新课标理5】｛4｝为等比数列，4+%=2,=一8，那么4+%。=()

(A)7(3)5(C)-5(D)-7

【答案】D

【解析】因为｛。“｝为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8,又出+%=2,所以

aA=4,。7=-2或4=-2,%=4.假设4=4,%=-2,解得％=-8,«10=1,

4+。10=-7；假设〃4=-2,%=4，解得。10=-8,4=1,仍有4+。10=-7，综

上选D.

Injr

4.[2021高考上海理18】设=-sin——，S“二"+o>+…+*,在S[,S,,…,S心中，

n25

正数的个数是()

A.25B.50C.75D.100

【答案】D

【解析】当/24时，an>0,当26W〃W49时，％V0,但其绝对值要小于

24时相应的值，当51W〃W74时，%>0,当76《〃W99时，<0,但其绝对值要小于

51W〃W74时相应的值，，当1W〃W100时，均有S”>0。

【点评】此题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，

从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0,这就是规律，考查综合分析问题和解决问题

的能力.

5.12021高考辽宁理6】在等差数列仅“｝中，“4+08=16,那么该数列前11项和S产

(A)58(B)88(C)143(D)176

【答案】B

【解析】在等差数列中，・・・4+。“=q+/==，乂(3+41)=88,答案为B

【点评】此题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能

力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。

6.[2021高考福建理2】等差数列(aj中，ai+a5=10,a4=7,那么数列｛a。]的公差为

【答案】B.

考点：等差数列的定义。

难度：易。

分析：此题考查的知识点为等差数列的通项公式可=%+O

【解析】法1：由等差中项的性质知名=巧詈=5,又%=7,-%=2.应选

B.

2a,+4d=10

法2：«1=d=2

a1+3d=7

7.[2021高考安徽理41公比为次等比数列｛〃”｝的各项都是正数，且%4I=16,那么

嘀46二()

(A)4(B)5(C)6(07

【答案】B

[解析]/q1=16o=16。%=4=《6=%x夕。=32=Iog2al6=5.

8.[2021高考全国卷理5】等差数列⑶｝的前n项和为Sn，a5=5,S5=15,那么数列

的前100项和为

八100c9999101

(A)——(B)----(C)(D)——

101101100100

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前〃项和的公式的运用，以及裂项求和

的综合运用，通过中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。

【解析】由%=5,&=15,得4=1/=1,所以q=1+5-1)=〃，所以

11=1_1

又

n(n+1)n〃+1

111111二也，选A.

+…+•••+------

aa223100101101101

\2^100^101

二、填空题

912021高考浙江理13】设公比为q(q>0)的等比数列｛a"的前n项和为Sn。假设S2=3a〉+2,

S4=3a4+2,那么q=

【答案】|

【解析】将S2=%2+2，邑=3%+2两个式子全部转化成用6,q表示的式子.

"+"闯3”+2，两式作差得：aq2+aq3-3aq(q2-1),即:2/—"3=0,

即xxi

4+44+44+ayq=5axq+2

解之得：4=，或q=-l(舍去).

10.[2021高考新课标理16]数列｛%｝满足。向+(-1)"见=2〃-1,那么｛〃〃｝的前60项

和为.

【答案】1830

【解析】由+（-1）"。〃=2〃-1得,

n,

a0+2=（-i）^+i+2«+i=（-in（-ir^+2/i-ii+2n+i

=一勺+（-1）"（2〃-l）+2〃+l,

即〃0+2+〃“=（-1）"（2〃-1）+2"+1,也有%+3+勺讨=-（T）"（2〃+D+2〃+3,两式相

a

加得%+%+|+。〃+2+n+3=-2（-1）"+4〃+4,设攵为整数,

那么。4大+1+a4k+2+。4A+3+。4大+4=-2（-1）""+4（4%+1）+4=16Z+'10,

1414

于是s稹=Z+侬3+气+4）=Z（16%+10）=1830

K=0K=0

11.[2021高考辽宁理14]等比数列｛为｝为递增数列，且a=q（）,2（凡+,2）=5%/

那么数列｛d｝的通项公式的=。

【答案】2"

【命题意图】此题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题.

【解析】=qo，/.（〃闯4）2=qg9,..4=g,.q=q"，

,.•2（a”+。"+2）=5。〃+],「.勿"（1+[2）=544，.二2。+42）=54，解得4=2或4=；（舍去）,an=2"

【点评】此题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。

12.12021高考江西理12】设数列⑶｝,｛悦｝都是等差数列,假设4+4=7,丐+么=21,

那么%+bs=。

【答案】35

【命题立意】此题考查等差数列的概念和运算。考查等差中项的性质及整体代换的数学思想

【解析】〔解法一）因为数列伍”｝,｛2｝都是等差数列，所以数列｛4+2｝也是等差数列.

故由等差中项的性质，得（火+々）+（4+4）=23+4），即（%+4）+7=2乂21,解得

a5+Z?5=35.

（解法二）设数列｛%｝,｛〃｝的公差分别为4,。2.

因为q+4=(4+2dJ+S]+242)=(4+々)+2(4+&)=7+2(4+4)=21，

所以4+d2=7.所以％+用=（%+4）+2（4+4）=35.

【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握根本量法这一通法，同时要注意合理使用等

差数列的性质进行巧解.表达考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公

式，前〃项和，等差中项的性质等.

13.12021高考北京理10】｛%｝等差数列S”为其前n项和。假设S2=a3,那么

a2=o

2

【答案】凡=1,Sn=-n+-n

~44

[解析】因为52=q=4+&=6=4+4+d=4+2d=d="=工，

所以%=4+〃=1，Sn=nal+n(n-\)d=—ir+—no

14.12021高考广东理11】递增的等差数列｛aj满足ai=L^=0^-4,那么a产.

【答案】2〃一1

【解析】由生=生2一4得到i+2d=(l+d)2-4,即42=4,应为｛垢｝是递增的等差数列,

所以d=2,故a“=2〃—1。

三、解答题

1512021高考江苏20](16分)各项均为正数的两个数列｛4｝和｛〃]满足:

,一一neN"

W+1

+b；

ffK\

(1)设力川=1+2,求证：数列2是等差数列；

(2)设nsN*,且他“)是等比数列，求《和女的值.

an

【答案】解：⑴：=1-——，：.%+[

an

2

.••数列J也是以1为公差的等差数列。

<an)

(2)•・.6>(),b.>0,・・・&；■)+“<(q+幻2。

<V2o（*）

设等比数列｛〃“｝的公比为4，由勺>0知g>0,下面用反证法证明q=l

假设q>1,那么。产竺■<。24、历，・,・当门>log。时，%+1=/夕">",与(*)矛

q4

盾。

假设0v4v1,那么q=">的>1，•••当〃>logq—时，。“口=。闯"<1，与(*)

q%

矛盾。

，综上所述，［=1。a,,=al(neN*)f历。

又•・•bi=&•%=巫•"(〃eN*),・•・电)是公比是它的等比数列。

册%at

假设那么丝>1,于是々<么<么。

/+”"即①

又由%+i=%+2，得“

:・如匕2，么中至少有两项相同，与伪<&<匕3矛盾。工。1=及。

.b夜士（可b（可&

...（可-】

/.ax=b2=yf2e

【考点】等差数列和等比数列的根本性质，根本不等式，反证法。

【解析】⑴根据题设和包+1=1+%,求出如=1+1%],从而

M+b：。〃〃，川VI。/

证明她

=1而得证。

kan+l>

(2)根据根本不等式得到IV4+1=用反证法证明等比数列｛4｝

J。/+b/

的公比q=\o

从而得到4=q(〃eN*)的结论，再由2+|=应・%=也“〃知｛"｝是公比是立的等比

%a\a\

数列。最后用反证法求出。[=3=近。

16.[2021高考湖北理18】(本小题总分值12分)

等差数列｛q｝前三项的和为-3,前三项的积为8.

(I)求等差数列｛/｝的通项公式；

(II)假设。2，%，4成等比数列，求数列｛|。/｝的前〃项和.

【答案】(I)设等差数列｛/｝的公差为d,那么/=4+d，/=4+2d,

由题意得档+3[：T解得夕t或夕广

%(q+d)(6+2d)=8.[d=-3,[d-3.

所以由等差数列通项公式可得

an=2-3(n-1)=-3n+5»或=-4+3(w—l)=3n-7.

故an=-3n+5,或q=3〃-7.

(II)当a“=-3〃+5时，a2,%,q分别为一1,-4,2,不成等比数列；

当q=3〃-7时，%,%，q分别为T，2,T,成等比数列，满足条件.

(一3〃+7,〃=1,2,

故⑷=|3〃-7|=

[3〃-7,zi>3.

记数列｛|。“|｝的前〃项和为5”.

当〃=1时，S=l4l=4；当〃=2时，S?=4|+|出|二5；

当〃23时，

Sn=S2+\a3\+\a4\+---+\an|=5+(3x3-7)+(3x4-7)+---+(3n-7)

=5+(n~~2)[2+(3n-7)]=-A?2-—^+10.当〃=2时，满足此式.

222

4,n=1,

综上，S”=«32U1八

一〃"---W+10,n>\.

[22

17.[2021高考广东理19](本小题总分值14分)

设数列⑶｝的前n项和为Sn，满足25〃=4向-2向+1,11£1<,且山，22+5,a3成等差数列.

(1)求ai的值；

(2)求数列电｝的通项公式.

1113

(3)证明：对一切正整数n,有一+—+…+—〈二.

。22

【答案】此题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解

能力与推理论证能力，难度一般.

n+ln+2n+,

【解析】(1)25rt=aw+1-2+1,25w+1=aM+2-2+1相减得：«n+2=3a„+1+2

2S1=a2—3<=>a2=2%+3,a3=3a2+4=6al+13

4，生+5,生成等差数列。4+4=2(4+5)u>q=1

(2)4=1吗=5得an+,=3an+2〃对VnGN”均成立

2叫30+2“)

得：

n2n2

an+2=3(%+2"T)=3(an_2+2~)=…=3恒(q+2)。勺=3〃-2〃

13

13)当〃=1时，一=1<—

42

当〃N2时，(』)〃2(3)2>2=3">2x2〃

11,113

-+--+•••+—<1+—+—4-----F—=14-----------<—

a\a2

由上式得：对一切正整数〃，有一1+―1+…+—|<三3。

a\a2

18.[2021高考陕西理17】(本小题总分值12分)

设｛(｝的公比不为1的等比数列，其前〃项和为S”，且。5,生，4成等差数列。

(1)求数列｛4｝的公比；

(2)证明：对任意欠wN+，S",5,,成等差数列。

【解析】(1)设数列｛〃“｝的公比为q(gwO,qwl)。

由％,av4成等差数列，得2%=%+%，即2。q2=4,+6/,

由4/0,g工0得q2+4一2=0,解得彷二-2,q2=1(舍去)，所以q二一2。

(2)证法一：对任意2eN+，〔IbyIfx]

SA+2+SR+I-2sA=(s*+2-s*)+6+[-)

ak+\+%2+ak-\

=%*+%](-2)=0,

所以，对任意出wN+，S«+2，Sz成等差数列。

2%(W)

证法二：对任意ZEN+，2Sk=

4(1-f2)40_/)_4(2-亡2_六

SA+2+Sa+i=+一

i-q

2q(1-力4(2-产-六

2S«-(S«+2+S«+J=

1一4

2(1—力―(2—尸―/)]

g2十夕—2)_0,

因此，对任意女wN+，5^2，，，S“1成等差数列。

19.12021高考重庆理21】(本小题总分值12分，(I)小问5分，(II)小问7分.)

设数列|%|的前n项和Sn满足S“+[=a2Stl+q,其中%w0.

(I)求证：卜』是首项为1的等比数列；

n

(II)假设。2>-1，求证：Sn<-(a.+a2),并给出等号成立的充要条件.

2

【答案】(1)证明：由52=生51+4，得4+〃2=4生+。1，即〃2=/4。

因4工0，故q=1,得&~=%，

又由题设条件知Sn+2=a2Sn+l+q,Sn+l=a2Sn+q

两式相减得Sm—SmU%lST—S”)，即an+2=a2an¥\'

由a,¥0,知a.+iw0,因此殳2=a>

a…

综上，笑■=%对所有〃wN*成立，从而｛0｝是首项为1,公比为4的等比数歹I。

(2)当〃=1或2时，显然S“=g(q+a“)，等号成立。

设〃之3,。2>一1且生。0,由(1)知，4=1，%=4"、所以要证的不等式化

为：

1+〃,++…+W5(]+a,"")(〃N3)

即证：1+4+a；H---H%"-....(1+%”)(〃-2)

2

当生=1时，上面不等式的等号成立。

当-1<生<1时，生'-1与(r=l,2,3,…，〃-1)同为负；

当出>1时，出〈I与出--I，0=1,2,3,…，〃-1)同为正；

nr

因此当利>T且。2工1时，总有(<-1)(a2--l)>0,即

ci^+%”，v1+%”，(r=1,2,3,e,,,H—1)o

2nrw

上面不等式对/•从1到〃一1求和得，2(a2+1/2+•.•+a2~)<(n-1)(1+a2)

由此得1+。2+々2?+…十出”<~^~^+a2)

综上，当外>T且生。0时，有S,4C(%+%),当且仅当〃=1,2或。2=1时等号成立。

2

20.[2021高考江西理16](本小题总分值12分)

数列出｝的前n项和S”=一一/+2〃，女£乂,且511的最大值为8.

2

(1)确定常数k,求加；

(2)求数列｛之3｝的前n项和T”

【答案】解：(1)当〃=ZtN"时，5”=一4〃2+切取最大值，即8=„1&2+左2=2_%2,

222

979

故Z=4,从而an=SH-5„_1=--n(n>2),又4=&=5,所以a”=/一〃

⑴因为a=92："”-券，<=4+4+…+包=1+|+#…+言

所以7；=27；-7；=2+1+3+―+/一券=4一3一会=4_^^

【点评】此题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利

用q=｛1来实现勺与S“的相互转化是数列问题比拟常见的技巧之一，要注意

s”一S〃_]

%=s“-S,I不能用来求解首项力，首项q一般通过4=$来求解.运用错位相减法求数列

的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项为哪一项等差数列、另

一项为哪一项等比数列.

21.[2021高考湖南理19】(本小题总分值12分)

数列｛&｝的各项均为正数，记/(〃)=a+a+....+&,Bin)=&+&+..............=&+&+....

+a^2»店1,2,....

(1)假设&=L/=5,且对任意〃£N*,三个数[(〃)，B(/?),C(/?)组成等差数列，

求数列｛a｝的通项公式.

(2)证明：数列｛a｝是公比为。的等比数列的充分必要条件是：对任意〃£N',三个

数/(〃)，B(/?),C(/?)组成公比为(7的等比数列.

【答案】解(1)对任意〃eNL三个数A(〃),85),C(〃)是等差数列，所以

B(ri)-A(n)=C(n)-B(n),

aa

即4+1-4=%+2，亦即n+2-n-\=%一4二今

故数列｛q｝^=l+(w-l)x4=4n-3.

(ID(1)必要性：假设数列｛〃力是公比为。的等比数列，那么对任意〃wN*,有

•由可>0知，4(〃),8(〃),。(九)均大于0,于是

B(n)_。2+。3+…+a肝1_式4+。2+…+an)_

~~~—=---------------=-----------------=q>

4(〃)4+/+•••+4+ci2+...+a/t

C(7i)_as+a4+...+aHt2_虱々2+&+•••+4,+D_八

-----==q、

B(n)a2+a3+...4-an+l----生+生+…+^什]

即"幼=旦。=q,所以三个数45),B(〃),C(〃)组成公比为q的等比数列.

A(〃)B(n)

(2)充分性：假设对于任意〃eN"三个数4(〃),85),。(〃)组成公比为4的等比数列，

那么

B(n)=qA(n),C(n)=qB(n),

于是C(〃)一B(H)=q[B｛ri)-A(〃)],得an+2-a2=q(an^-%),即

%+2一敦〃+i=a2-ar

由4=1有伙1)=gA⑴，即a2=qa、,从而an+2-qan+l=0.

因为q>0,所以卜=佚二4,故数列｛q｝是首项为%,公比为4的等比数列，

综上所述，数列｛%｝是公比为夕的等比数列的充分必要条件是：对注意neN*,三个数

4(”),8(〃),。(〃)组成公比为q的等比数列.

［点评］此题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列

定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.

22.［2021高考山东理201本小题总分值12分)

在等差数列｛4｝中，生+4+6=84,%=73.

(I)求数列｛4｝的通项公式；

(II)对任意msN*,将数列血｝中落入区间(9",92)内的项的个数记为纵，求数列

m

也”｝的前项和Sm.

【答案】解：〔I〕因为｛4｝是T等差数列，

所以％+。4+生=34=84,即％=28.

所以，数列｛凡｝的公差〃:会令二%弱二❷，

所以,an=a4+(n-4)d=28+9(〃-4)=9〃-8(〃wN*)

［n］对阳eN,假设9"'<a〃v92〃l

那么9'"+8<9,v92",+8,因此9"i+lW〃W92"i,

故得〃”=92〃1一9"'〔lbylfx〕

于是Sm=4+Z?2+力3+…+b”t

=(9+93+95+...+92,M-,)-(l+9+92+...+9n,-1)

^9x(l-81w)i-9>»

=-1^81

_92^'-10x9"+1

~80

2021年高考题

一、选择题

1.(天津理4)｛“〃｝为等差数列，其公差为-2,且%是生与旬的等匕中项，S“为

｛"”｝的前〃项和，〃wN",那么So的值为

A.-110B.-90

C.90D.110

【答案】D

2.1四川理8）数列｛"J的首项为3,｛4｝为等差数列且a=%+「4（〃£N*）假设那

么4=-2,九=12,那么％=

A.0B.3C.8D.11

【答案】B

[解析]由知4=2〃_8,q+]_/=2〃_8,由叠加法

（出-4）+（%—%）+•,,+（6—〃7）=-6H—4H■-2+0+2+4+6=0=＞々8=〃1—3

3.（全国大纲理4）设3为等差数列｛4｝的前〃项和，假设4=1,公差〃=2,

5人2-58=24,那么攵=

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

4.（江西理5）数列（“"｝的前n项和S”满足：S〃+S„,=S“+*且/=].那么4。=

A.1B.9C.10D.55

【答案】A

二、填空题

5.（湖南理12）设,是等差数列｛q｝（〃£八“）,的前〃项和，且4=1，4=7,

那么‘9=

【答案】25

6.（重庆理11）在等差数列伍”｝中，6+%=37,那么。2+4+4+/=

【答案】74

7.（北京理11）在等比数列｛an｝中，al=2,a4=-4,那么公比4=：

同+同+...+㈤=。_2

2”T__1

【答案】2

8.（广东理11）等差数列,/前9项的和等于前4项的和.假设4=1，4+%=°,那么

k=.

【答案】10

9.（江苏13）设1"%"%"…’外,其中al，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，生必，4

成公差为1的等差数列，那么q的最小值是

【答案】百

三、解答题

10.(江苏20)设M局部为正整数组成的集合，数列｛%｝的首项％=1,前n项和为S〃，

对任意整数k£M,当整数〃时，S“+&+S.d=2(5〃+SQ都成立

(1)设M=U｝必=2,求心的值；

(2)设"=｛3,4｝，求数列｛。〃｝的通项公式

本小题考查数列的通项与前〃项和的关系、等差数列的根本性质等根底知识，考查考生分析

探究及逻辑推理的能力，总分值16分。

解：⑴由题设知，当〃滔寸，s“「s“T=2(S”+E),

即—〃)_(工_5一)=2’,

从而4+i.4-24=2,又生=2,故当〃>2时,=a2+2(〃-2)=2〃一2.

所以牝的值为8。

(2)由题设知，当欠£"=｛3,4｝,且〃>耐*,$/1+&+5〃_#=25“+25人

且S”+I+A+S“+j=2S“++2Sk

+a

两式相减得《r+i+大n+\-k=2a“+],即〃“+]+«-an+]_k=aZJ+l-cill+l_k

所以当〃28“,"/t-6，。〃-3M“,。”+3，/+6成等差数列，且。“-6，4-2，。"+2，。〃+6也成等差数

列

从而当〃之8时，=凡+3+%-3=凡+6+4-6-(*)

a

且一+n-6=可+2+%，所以当〃之8时,2an=an+2+an_2,

即。〃+2—an=an~an-2•于是当〃之卯寸M”_3»an-\，。”+1，。〃+3成等差数列,

aa

从而"”+3+=n+l+n-lf

故由(*)式知2""=""+1+〃”-1，即4+1一°”=an~an-\•

当.N9时，设-=q一"”+「

当24”工8时，加+628,从而由(*)式知2%+6=%+4小

故2《“+7=4+1+4+小

从而2ms+7-4+6）=4+1一册+（册+13一«词2），于是a，n+i-am=2d-d=d.

因此，勺+|一4=d对任意力之2都成立，又由S”+«+S〃f_2R=2SJZe{3,4}）可

知（S田-'）-⑸-）=21,故9d=2s3且16d=2s4,

%=]d,=

解得

因此,数列｛"/为等差数列，由4=1知"=2.

所以数列｛“〃｝的通项公式为%=2〃—1.

11.(北京理20)

假设数列4=4，%.…，47(〃之2)满足-⑷=1(&=,数列An为七数

列，记s(A>)=q+&+••,+[“.

(I)写出一个满足勾=%二°,且S(4)〉o的E数列4；

(II)假设4=12,n=2ooo,证明：E数列凡是递增数列的充要条件是%=2021；

(III)对任意给定的整数n(n>2),是否存在首项为0的E数列4,使得$(4)=0?

如果存在，写出一个满足条件的E数列4；如果不存在，说明理由。

解：(I)0,1,2,1,。是一具满足条件的E数列A5。

(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)

(II)必要性：因为E数列A5是递增数列，

所以--4=1(2=12…,1999)

所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.

所以a2000=12+(2000—1)xl=2021.

充分性，由于a2000—al000q,

a2000—al000<l

a2—al<l

所以a2000—a<19999,即a2000<a1+1999.

又因为al=12,a2000=2021,

所以a2000=al+1999.

故a”+i=1>°（）=1，2,…1999），即A.是递增数列

综上，结论得证。

(III)令q=4+1-4=1>°(%=1,24一,〃一1),则。4=±1.

因为。2=q+G+4=4+G+C2

%=6+G+/•,+%，

所以S(4”)=〃4+(〃-1)G+(H-2)C2+(〃-3)J+…+c“_[

="(：D_[(1_Q)(U_1)+(1-C2)(n-2)d-----F(1-(?„_])].

因为q=±1,所以l-q为偶数(«=1,­,w-l).

所以*1-G)5—1)+(1—。2)(几一2)+-・+(1—〃)为偶数

S(4〃)=0,必须使空三»

所以要使2为偶数，

即4整除〃(〃-1)，亦即〃=4m或〃=4帆+1(mwN*)

当〃=4帆+1(帆eN*时,E数列A”的项满足=&j=°，。必一2=T，a必=1

仅=1,2,…，㈤时，有q=O,S(A“)=O;

a址=1伏=1,2,…，加),。北+1=0H寸，有a1=0,S(A„)=0;

当〃=4m+l(mGN*时,E数列A〃的项满足,%=%=00卜2=T

当〃=+2或〃=而+3(/n£N)时,〃(机-1)不能被4整除，此时不存在E数列An,

使得a,=°,S(A〃)=0.

12.(广东理20)

设b>0,数列暂步满足al=b,〃小+2〃-2

(1)求数列｛"“｝的通项公式；

bnJrX,

ci<——+1.

(2)证明：对于一切正整数n,2”

解：

,八.„〃匕a”」八〃12n-

4=b>0,知=-------:----->0,—=—।----------

a

⑴由n-\+272-24bban_]

4=—，A=T

令凡b,

12

当bb

122n~22"T,

=/瓦+•一+产+声4

[22〃-22〃T

=—+—+•••+——-+---.

bb24bn

①当时，

1<2Y

一(1——)

b\b)bn-T

Ax,=---------------=------------,

'.2b〃(b—2)

i—

b

人=2fl寸，4=g.

②当2

nbn(b-2)

-,b丰2

bn-T

2,b=2

-喏当”，只需证也岑+1)鲁

an

(2)当b.2时，(欲证)

—yx

(2〃+i+*)£_±_=(2叫b向)("-+2bn~2+…+2〃T)

b-2

=2"+%'i+T+2bH-2+---+22n+62”+2〃2，I+...+2'1"山

=2w(2+3...+Z+£+”+..一)

bb1bnV2〃T2

>2〃b”(2+2+…+2)=2n•2nb”=〃•bn

nbn(b-2)bn+l

+1.

bn-T

当I时'"

八"+L

综上所述2”

13.(湖北理19)

数列｛%的前〃项和为S〃，且满足：ai=a(a^O)fan.i=rSn(n

(I)求数列｛小｝的通项公式;

(II)假设存在k£N*,使得&“，0,&+2成等差数列，是判断：对于任意的m^N*,

且根之2,小…，猴，前+2是否成等差数列，并证明你的结论.

本小题主要考查等差数列、等比数列等根底知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般

的思想。(总分值13分)

解：11)由°川二4”,可得4+2=两式相减可得

aa

n+2~n+\=r(S〃+[—S”)=ran+l,

即见+2=(厂+1)凡+1，

又的=9=U所以口。时,

数列｛/｝为：a,0,…，0,…;

当rwO,rw—1时，由〃工0,所以。”工0

a=r+15wN・)

于是由《+2=(「+1)4M，可得4+1

r+…成等比数列,

n2

.•.当nN2时an=r(r+l)-a.

4〃=1,

an

综上，数列MJ的通项公式为r(r+ir-2a,n>2

(II)对于任意的MEN”,且〃722,4+|,4MM”计2成等差数列，证明如下:

a,n=i,

a

,n0,n>2

当r=0时，由(I)知，

对于任意的〃2£N*,且加之2必同,《”+2成等差数列,

当一。°,广，一1时，

,**S&+2=S&+4川+，+2，S“i+4+「

假设存在々cN”,使得1+i，S|，S"2成等差数列，

那么1+i+Sk+2=2S%

a

:2Sk+2ak+i+ak+2=2Sk,即为+2="~^k+\,

由⑴知，生，/，…4,…的公比一+1=-2,于是

对于任意的mwN",且他之2,%计1=-24,从而a”*=4金，

。〃,+1+〃m+2=2«”,即。闭+1，〃帆,。切+2成等差数列，

综上，对于任意的mwN：且“？2,%+1,金,4n+2成等差数列。

14.(辽宁理17)

等差数列｛an｝满足a2=0,a6+a8=-10

(I)求数列｛an｝的通项公式；

｛含｝

(II)求数列U」的前n项和.

解：

q+d=0,

V

(I)设等差数列以)的公差为d,由条件可得3+12"=TO,

4=1,

解得【d=_L

故数列｛凡｝的通项公式为凡=2-九............5分

3设数列目的前〃项和为'即i+会・母脚内

—5〃—―-4--+卜—々+十・•・r,--凡-.

2242〃

所以，当〃>1时,

5

«

-

2

112-

-+-+

24+•

2Z2fl

及

F.

二

产

"S=

所

以

仲二将石I｛苗)的前〃项和S〃=言.

综上，数列22............

15.(全国大纲理20)

1______｝_=1

设数列｛4｝满足4=。且1-〃向1-%

(I)求｛"”｝的通项公式；

〃=上疝，记3=/，证明：\<1.

(II)设7〃I

解：

—!------=1,

(I)由题设1一《用I"

即1一%是公差为1的等差数列。

1…1

------=1,故-----=n.

又1-41-/

所以〃

(II)由⑴得

8分

s.=以这（；.4）=1一4<1.

bi&=iy[k，%+1J.+1..............12分

16.（山东理20）

等比数列｛""｝中，4M2，生分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且