高三立体几何大题

立体几何大题1．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.证（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，∴D1D⊥ABCD.连AC，又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，由三垂线定理知D1B⊥AC.同理，D1B⊥AE，AE∩AC=A，∴D1B⊥平面AEC.解（Ⅱ）VB－AEC=VE－ABC.∵EB⊥平面ABC，∴EB的长为E点到平面ABC的距离.∵Rt△ABE~Rt△A1AB，∴EB=∴VB－AEC=VE－ABC=S△ABC·EB=××3×3×=（10分）解（Ⅲ）连CF，∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，由三垂线定理知，CF⊥AE.于是，∠BFC为二面角B—AE—C的平面角，在Rt△ABE中，BF=，在Rt△CBF中，tan∠BFC=，∴∠BFC=arctan.ABCA1B1CABCA1B1C1M2．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形. （I）求证：点M为BC的中点； （Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离； （Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.答案：（I）证明：∵△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AM⊥MC1且AM=MC1 ∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中， 有CC1⊥底面ABC. ∴C1M在底面内的射影为CM， 由三垂线逆定理，得AM⊥CM. ∵底面ABC是边长为1的正三角形， ∴点M为BC中点.（II）解法（一）过点B作BH⊥C1M交其延长线于H.由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB，∴AM⊥平面C1CBB1.∴AM⊥BH.∴BH⊥平面AMC1.∴BH为点B到平面AMC1的距离.∵△BHM∽△C1CM.AM=C1M=在Rt△CC1M中，可求出CC1解法（二）设点B到平面AMC1的距离为h.则由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB，∴AM⊥平面C1CBB1∵AB=1，BM=（III）过点B作BI⊥AC1于I，连结HI.∵BH⊥平面C1AM，HI为BI在平面C1AM内的射影.∴HI⊥AC1，∠BIH为二面角M—AC1—B的平面角.在Rt△BHM中，∵△AMC1为等腰直角三角形，∠AC1M=45°.∴△C1IH也是等腰直角三角形.由C1M=∴3．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D的正切值．证：（Ⅰ）取CE中点M，连结FM，BM，则有．∴四边形AFMB是平行四边形．∴AF//BM，∵平面BCE，平面BCE，∴AF//平面BCE．（Ⅱ）由于DE⊥平面ACD，则DE⊥AF．又△ACD是等边三角形，则AF⊥CD．而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CDE．又BM//AF，则BM⊥平面CDE．．（Ⅲ）设G为AD中点，连结CG，则CG⊥AD．由DE⊥平面ACD，平面ACD，则DE⊥CG，又AD∩DE=D，∴CG⊥平面ADEB．作GH⊥BE于H，连结CH，则CH⊥BE．∴∠CHG为二面角C-BE-D的平面角．由已知AB=1，DE=AD=2，则，∴．不难算出．∴，∴．∴．4．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.（Ⅰ）连结AC，AN.由BC⊥AB，AB是PB在底面ABCD上的射影.则有BC⊥PB.又BN是Rt△PBC斜边PC的中线，即.由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，则AN是Rt△PAC斜边PC的中线，即又∵M是AB的中点，（也可由三垂线定理证明）（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC.则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中点，则有DN⊥PC又∵平面MND⊥平面PCD于ND，∴PC⊥平面MND∴PC⊥MN，而N是PC中点，则必有PM=MC.此时.即二面角P—CD—A的大小为（Ⅲ），∥＝连结BD交AC于O，连结NO，则NOPA.且NO⊥平面AMD，由PA=a∥＝.5．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.（Ⅰ）求证：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.（I）证明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∴CD⊥平面PAD∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.∴AM⊥平面PCD.∴AM⊥PD（II）解：∵AM⊥平面PCD（已证）.∴AM⊥PM，AM⊥NM.∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.∵PA=AD，AM⊥PD，∴M为PD的中点，PM=PD=由Rt△PMN∽Rt△PCD，得∴.即二面角P—AM—N的大小为.（III）解：延长NM，CD交于点E.∵PC⊥平面AMN，∴NE为CE在平面AMN内的射影∴∠CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角∵CD⊥PD，EN⊥PN，∴∠CEN=∠MPN.在Rt△PMN中，∴CD与平面AMN所成的角的大小为6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°.BC=CC1=a，AC=2a.（I）求证：AB1⊥BC1；（II）求二面角B—AB1—C的大小；（III）求点A1到平面AB1C的距离.（1）证明：∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴AC⊥CC1.∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B1BCC1.∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.∵BC=CC1，∴四边形B1BCC1是正方形，∴BC1⊥B1C.根据三垂线定理得，AB1⊥BC1（2）解：设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP.∵BO⊥AC，且BO⊥B1C，∴BO⊥平面AB1C.∴OP是BP在平面AB1C上的射影.根据三垂线定理得，AB1⊥BP.∴∠OPB是二面角B—AB1—C的平面角∵△OPB1~△ACB1，∴∴在Rt△POB中，，∴二面角B—AB1—C的大小为（3）解：[解法1]∵A1C1//AC，A1C1平面AB1C，∴A1C1//平面AB1C.∴点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C.的距离相等.∵BC1⊥平面AB1C，∴线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离.∴点A1到平面AB1C的距离为[解法2]连结A1C，有，设点A1到平面AB1C的距离为h.∵B1C1⊥平面ACC1A1，∴，又，∴∴点A1到平面AB1C的距离为7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，BB1=3，连接BC1，过B1作B1E⊥BC1交CC1于点E(Ⅰ)求证：AC1⊥平面B1D1E；(Ⅱ)求三棱锥C1－B1D1E1的体积；(Ⅲ)求二面角E－B1D1－C1的平面角大小(1)证明：连接A1C1交B1D1于点O∵ABCD－A1B1C1D1是长方体∴AA1⊥平面A1B1C1D1，A1C1是AC1在平面A1B1C1D1上的射影∵AB=BC，∴A1C1⊥B1D1，根据三垂线定理得：AC1⊥B1D1；∵AB⊥平面BCC1B1，且BC1⊥B1E，∴AC1⊥B1E∵B1D1∩B1E=B1，∴AC1⊥平面B1D1E1(2)解：在RT△BB1C1中，在RT△EC1B1中，C1E=B1C1·tg∠C1B1E=B1C1·ctg∠BC1B1=2，∴VC1－B1D1E=VD1－B1C1E=(3)解：连接OE，∵△B1C1E1≌△D1C1E1，∴B1E=D1E∵O是B1D1中点，∴B1D1⊥OE，∴∠C1OE是二面角E―B1D1―C1的平面角在RT△OC1E中，∵所以，二面角E―B1D1―C1的平面角为，8．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE－B为60

．（Ⅰ）求DE与平面AC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角D－EC－B的大小．AADBCEABCED第10题图答案：如图1，过点D作DM⊥AE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不变，翻折后，如图2，∠DMN为二面角D－AE－B的平面角，∠DMN＝60

，AE⊥平面DMN，又因为AE平面AC，则AC⊥平面DMN．（Ⅰ）在平面DMN内，作DO⊥MN于O，∵平面AC⊥平面DMN，∴DO⊥平面AC．连结OE，DO⊥OE，∠DEO为DE与平面AC所成的角．如图1，在直角三角形ADE中，AD＝3，DE＝2，如图2，在直角三角形DOM中，在直角三角形DOE中，，则∴DE与平面AC所成的角为（Ⅱ）如图2，在平面AC内，作OF⊥EC于F，连结DF，∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO为二面角D－EC－B的平面角．如图1，作OF⊥DC于F，则Rt△EMD∽Rt△OFD，∴如图2，在Rt△DOM中，OM＝DMcos∠DMO＝DM·cos60

＝．如图1，在Rt△DFO中，∴二面角D－EC－B的大小为．9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E是BB1的中点，D∈AB，∠A1DE＝90°.（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角D－A1C－A的大小.（Ⅱ）解：10．如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90°.（1）求此三棱柱的高；（2）求二面角C—AF—B的大小.解：（1）取BC、C1C的中点分别为H、N，连结HC1，连结FN，交HC1于点K，则点K为HC1的中点，因FN//HC，则△HMC∽△FMK，因H为BC中点BC=AB=2，则KN=，∴则HM=，在Rt△HCC1，HC2=HM·HC1，解得HC1=，C1C=2.（2）连CD，易得CD⊥面AA1B1B，作DG⊥AF，连CG，由三垂线定理得CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C—AF—B的平面角，又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=，从而DG=∴tan∠CGD=，故二面角C—AF—B大小为arctan.11.已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，，M、N分别是AD、PB的中点。（Ⅰ）求证：平面MNC⊥平面PBC；（Ⅱ）求点A到平面MNC的距离。解：（I）连PM、MB∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥MD…1分∴PM=BM又PN=NB∴MN⊥PB………3分得NC⊥PB∴PB⊥平面MNC……5分平面PBC∴平面MNC⊥平面PBC……6分（II）取BC中点E，连AE，则AE//MC∴AE//平面MNC，A点与E点到平面MNC的距离相等…7分取NC中点F，连EF，则EF平行且等于BN∵BN⊥平面MNC∴EF⊥平面MNC，EF长为E点到平面MNC的距离……9分∵PD⊥平面ABCD，BC⊥DC∴BC⊥PC.即点A到平面MNC的距离为……12分12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；（Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1，∴四边形BDB1C1是平行四边形，∴BC1//DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD，∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，∵BD=BC=AB，∴E是AD的中点，在Rt△B1BE中，∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=即三棱锥C1—ABB1的体积为解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，即三棱锥C1—ABB1的体积为13．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1，BC=BB1=1，D为BC上一点，且满足AD⊥C1D.（I）求证：截面ADC1⊥侧面BC1；（II）求二面角C—AC1—D的正弦值；（III）求直线A1B与截面ADC1距离.（I）由题知：……………4分I（II）I故∠CEF为二面角C—AC1—D的平面角…………6分在Rt△C1CD中，求出………………8分（III）∥A1B∥面AC1D，设B到面ADC1距离为d……10分…12分注：其他证法相应给分14．如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求点A到平面PBC的距离。解：（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连结PE∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知：PE⊥CD∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角………………2分在中，………………4分在中，∴二面角P—CD—A的正切值为………………6分（II）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB∴AH⊥平面PBC故AH的长即为点A到平面PBC的距离………………10分在等腰直角三角形PAB中，，所以点A到平面PBC的距离为…………12分15．直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD∥⊥AB，，VA⊥平面ABCD。（1）求证：VC⊥CD。（2）若，求CV与平面VAD所成的角。（1）连结AC取AD中点G，连CG，则ABCG为正方形又…………（4分）VA⊥平面ABCD，DC⊥AC由三垂线定理：VC⊥CD………………（6分）（2）连VG，由面VAD是CV与平面VAD所成的角………………（9分）∴CV与平面VAD所成角为………（12分）16．如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.（A）（Ⅰ）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F∵E为A1B中点∴EF∥BB1…………2分又∵M为CC1中点∴EF∥C1M∴四边形EFC1M为平行四边形∴EM∥FC1……4分而EM平面A1B1C1D1.FC1平面A1B1C1D1.∴EM∥平面A1B1C1D1………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）EM∥平面A1B1C1D1EM平面A1BMN平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N∴A1N//EM//FC1∴N为C1D1中点过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，根据三垂线定理BH⊥A1N∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角……8分设AA1=a，则AB=2a，∵A1B1C1D1为正方形∴A1H=又∵△A1B1H∽△NA1D1∴B1H=在Rt△BB1H中，tan∠BHB1=即二面角B—A1N—B1的正切值为……12分17．如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点. （Ⅰ）求证：AF∥平面PCE； （Ⅱ）若二面角P—CD—B为45°，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离.（Ⅰ）取PC中点M，连结ME、MF.，即四边形AFME是平行四边形，……2/；‘。。。。分∴AF//EM，∵AF平在PCE，∴AF∥平面PCE.……4分（Ⅱ）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，根据三垂线定理知，CD⊥PD∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角，则∠PDA=45°……6分于是，△PAD是等腰直角三角形，AF⊥PD，又AF⊥CD∴AF⊥面PCD.而EM//AF,∴EM⊥面PCD.又EM平面PEC,∴面PEC⊥面PCD.……8分在面PCD内过F作FH⊥PC于H，则FH为点F到平面PCE的距离.……10分由已知，PD=2，PF=∵△PFH∽△PCD∴……12分18．如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90°.（1）求此三棱柱的高；（2）求二面角C—AF—B的大小.解：（1）取BC、C1C的中点分别为H、N，连结HC1，连结FN，交HC1于点K，则点K为HC1的中点，因FN//HC，则△HMC∽△FMK，因H为BC中点BC=AB=2，则KN=，∴则HM=，在Rt△HCC1，HC2=HM·HC1，解得HC1=，C1C=2.（2）连CD，易得CD⊥面AA1B1B，作DG⊥AF，连CG，由三垂线定理得CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C—AF—B的平面角，又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=，从而DG=∴tan∠CGD=，故二面角C—AF—B大小为arctan.19．如图，正方体，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF＝x．（1）当x为何值时，三棱锥的体积最大？（2）求三棱椎的体积最大时，二面角的正切值；（3）（理科做）求异面直线与所成的角的取值范围．（1），当时，三棱锥的体积最大．（2）取EF中点O，由，所以就是二面角的平面角．在Rt△中．（3）在AD上取点H使AH＝BF＝AE，则，，，所以（或补角）是异面直线与所成的角在Rt△中，，在Rt△中，，在Rt△HAE中，，在△中，因为，所以，，，20．已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为.（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角；（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值.解（I）由已知∴PG=4…………2′在平面ABCD内，过C点作CH//EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角.………………3′在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴异面直线GE与PC所成的角为arccos……4′（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG∴DK的长就是点D到平面PBG的距离…………6′在△DKG，DK=DGsin45°=∴点D到平面PBG的距离为……8′（III）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM//PG由GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=…………10′…………12′21．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AA1、BB1的中点，求：（I）CM与D1N所成角的余弦值；（II）异面直线CM与D1N的距离．解：（I）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，……………1′则C（0，2，0）、D1（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1），∴＝（2，－2，1），＝（2，2，－1），……3′设CM与D1N所成的角为θ，则cosθ＝＝）…………………6′（II）取DD1的中点E，分别连接EM、EB，则EM∥BC，EB∥D1N，∴B、C、E、M共面且D1N∥平面BCEM，∴D1到平面BCEM的距离d等于异面直线CM与D1N的距离，……8、∵＝（――）·23＝…………10、即SBCEM·d＝而SBCEM＝BM·BC＝2∴d＝………………12、22．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.（Ⅰ）求证：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.（I）证明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∴CD⊥平面PAD……3分∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.∴AM⊥平面PCD.∴AM⊥PD.…………5分（II）解：∵AM⊥平面PCD（已证）.∴AM⊥PM，AM⊥NM.∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角.…………7分∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.∵PA=AD，AM⊥PD，∴M为PD的中点，PM=PD=由Rt△PMN∽Rt△PCD，得∴.…………10分即二面角P—AM—N的大小为.（III）解：延长NM，CD交于点E.∵PC⊥平面AMN，∴NE为CE在平面AMN内的射影∴∠CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角.…………12分∵CD⊥PD，EN⊥PN，∴∠CEN=∠MPN.在Rt△PMN中，∴CD与平面AMN所成的角的大小为…………15分23．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，，D为棱CC1上的一动点，M、N分别为的重心．（1）求证：； （2）若二面角C—AB—D的大小为，求点C1到平面A1B1D的距离； （3）若点C在上的射影正好为M，试判断点C1在的射影是否为N？并说明理由．解：（1）连结并延长，分别交于，连结，分别为的重心，则分别为的中点 在直三棱柱中，

（2）连结即为二面角的平面角在中，PQPQ连结同上可知，设（3）PQCCPQCC1DNM∽.24．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角，AA1=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC1上一点，且BE=BC1．（１）求证：GE∥侧面AA1B1B；（２）求平面B1GE与底面ABC所成锐二