高等数学（慕课版）教案 教学设计-4.1不定积分的概念与性质;4.2换元积分法

《高等数学》教学设计授课内容：不定积分的概念和性质授课教师：授课单位：完成时间：授课信息授课内容授课时长4.1不定积分的概念和性质2学时授课形式授课时间理论课授课对象授课地点内容分析前面已经学习了一元函数微分学，但在具体的研究中，还会遇到相反的问题：已知导数求原来函数的问题，由此产生了一元函数积分学。不定积分的是一元函数积分学的重要组成部分，它前接前面所学的一元函数微分学，后接一元函数积分学中的定积分，在知识上起到承前启后的作用。学情分析1、知识基础：学生已经学习一元函数微分学相关所有知识；2、认知能力：具备基本的数学能力和数学素养；3、学习特点：对抽象的概念性知识的理解能力差一些。教学目标知识目标：1、理解原函数和不定积分的概念；2、了解不定积分的几何意义；3、理解不定积分的性质；理解、记忆基本积分公式。能力目标：1、能用不定积分的概念求简单函数的不定积分；2、熟记基本积分公式，会借助公式和性质（直接积分法）求不定积分。素质目标：1、培养学生逆向思维能力和解决问题的方法论；2、引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力。教学重难点教学重点：1、不定积分概念和性质的理解；2、直接积分法求不定积分。教学难点：直接积分法求不定积分教学方法案例教学法、引导探究法、讲授法、练习法、演示法教学设计课前任务→回顾复习+导入新课（5min）→讲授新课（62min）→巩固提高（20min）→归纳总结（2min）→布置作业（1min）→课后拓展课程思政设计1、由求导和求积分的互逆关系，启发学生要用发展的、辩证的眼光看待问题；2、由不定积分的定义求不定积分关键是找到被积函数的一个原函数，由此启发学生解决问题要抓关键，“捉住了这个主要矛盾，一切问题就迎刃而解了”；3、再由不定积分是全体原函数，提示学生不要忘记“+常数C”，启发学生做事情要细致全面。教学过程课前环节教学环节课前任务教师活动学生活动设计意图课前导学1、登录在线学习平台，学习相关资源：课前预习PPT；2、研读学习任务要求，了解学习任务内容；3、完成课前讨论：已知导函数，如何求原函数？1、发布任务：课前两天学习通发布任务，并提醒学生接收任务；2、跟踪提醒：通过学习通观测任务完成情况，及时督促提醒，把握学生学习难点。按时完成课前任务，明确本节课个人学习难点。1、锻炼自学能力：自主预习，掌握易点，发现难点；2、优化教学策略：依据课前任务完成情况掌握学情，调整优化教学策略。课中环节教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图导入新课【回顾复习】一元函数微分学的核心问题回顾复习。带领学生回顾一元函数微分学的核心问题。跟随教师回顾复习，并积极思考。根据“建构主义理论”，任务的目标性与教学情境的创建，使学生带着任务学习，有利于激发学生的求知欲。【引入新知】已知导函数，如何求原函数？带领学生一起探究课前的思考题，了解学生对新知识的学习情况。学生积极思考复习，为学习积分奠定基础。探究新知一、原函数1、原函数概念的引入2、原函数的概念3、原函数的性质1、借助瞬时速度和位移的关系，导入问题：已知瞬时速度，如何求位移？由此引出原函数的概念；2、介绍原函数的概念，并举例说明；3、从所举例子中，带领学生分析总结原函数的特点（性质）。认真聆听为主，积极思考教师的问题和新知识的讲授。教师主导，学生主体，引导探究与讲授相结合，高效讲解本节课核心新知。二、不定积分1、不定积分的定义2、用定义求简单的不定积分3、不定积分的几何意义1、针对原函数的不唯一性以及原函数之间的关系，引导学生逐步获得不定积分的概念，进一步理解微分运算与求不定积分的运算是互逆的这一重要关系；2、引导学生用不定积分的定义求解简单的不定积分，并总结常用的几个不定积分公式；3、简单说明一下不定积分的几何意义。1、认真聆听为主，并做好笔记；2、在教师的引导下学会用不定积分的定义求简单的不定积分.三、直接积分法1、基本积分表2、不定积分的性质1、给出基本积分表，并指导学生利用导数和不定积分的关系快速记住公式；2、在给出基本积分表之后，引导学生对公式进行应用练习；3、讲解不定积分的性质，引导学生利用性质计算稍复杂的不定积分；并说明什么是“直接积分法”。1、认真聆听为主，积极思考教师的问题和新知识的讲授；2、在教师的引导下，对公式和性质进行认真的练习。巩固提高1、利用不定积分的定义求简单的不定积分2、利用基本积分公式和不定积分的性质求不定积分1、引导学生对所学新知进行巩固练习，已达到真正内化的效果。2、留一定时间给学生做习题，查看学生的做题情况。认真聆听教师对例题的讲解；独立完成练习题，并积极回答，并做好总结整理。分层次设置练习，循序渐进地使学生及时巩固所学。课堂小结本节课重点、要点内容总结：1、不定积分的概念；2、直接积分法。和学生一起回顾与强调本节课重点知识，强化学生学习效果。认真总结，从整体上把握本节课。诊断、强化课堂学习效果。课后环节教学环节教学活动教师活动学生活动设计意图拓展任务【书面作业】习题4-14、（1）（2）（4）（5）【扩展】查阅资料，了解不定积分的历史背景以及不定积分在专业领域中的应用。1、发布任务2、指导协助了解情况并给予指导。接受任务，查阅课本与资料，认真完成。延拓本次课内容，承接下节课新知；既巩固所学，又起到预习作用。教学评价（1）评价构成课程坚持强化过程性评价、探索增值性评价的评价改革要求，着眼于学生长期发展需要的满足，将终结性评价与过程性评价相结合，侧重过程性评价。（2）评价要素过程性评价主要依托学习通平台，完成课前、课中和课后全过程学习轨迹记录和评价。主要包括：课前任务完成、课堂学习活动、课后任务完成情况等要素。（3）评价标准在评价学生时注重“三个结合”：学习过程与学习结果结合、理论知识与实践能力结合、课程学习成绩与学生日常行为素质表现结合教学反思策略：1、通过实例引入，化抽象为直观，启迪学生思考。2、加强与生活实际和专业课联系，学以致用。改进：加强与学生互动，尝试实施翻转课堂。板书设计4.1不定积分的概念和性质（主板）一、原函数的概念定义定义1若或，则称为的一个原函数性质不定积分的概念1、定义定义2．2、几何意义基本积分表四、不定积分的性质性质1(是常数，)性质2（副板）例题重点步骤《高等数学》教学设计教学内容：换元积分法授课单位：授课教师：完成时间：

授课信息授课内容授课时长4.2换元积分法4学时授课形式授课时间理论课授课对象授课地点内容分析利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分非常有限，因此有必要进一步来研究不定积分的求法，本节把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类——第一类换元积分法和第二类换元积分，换元法是解决积分计算的最重要的方法之一。学情分析1、知识基础：学生已经学习了基本积分公式和不定积分的性质，会用直接积分法计算简单函数的不定积分；2、认知能力：具备基本的数学能力和数学素养；3、学习特点：举一反三、逆向求解问题的能力弱一些。教学目标知识目标：1、熟悉第一、第二换元积分法的适用场景；2、掌握第一、第二换元积分法求解方法。能力目标：能熟练运用换元积分法求不定积分。素质目标：1、培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；2、引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯。教学重难点教学重点：1、第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法的思想与原理；2、第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法的适用场景。教学难点：第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法的使用教学方法引导探究法、讲授法、问答法、练习法、演示法教学设计课前任务→回顾复习+导入新课（7min）→讲授新课（60min）→巩固提高（20min）→归纳总结（2min）→布置作业（1min）→课后拓展课程思政设计换元积分法实际上是一种创造性的思维方法，原本不能用积分公式及性质求解的不定积分，通过“换元”，便能巧妙地利用积分公式及性质求解。基于此，启发学生在日常的学习和生活中，遇到困难时要积极思考，主动创造解决问题的条件，不要被困难束缚，培养学生的创新思维能力以及克服困难的意志。教学过程课前环节教学环节课前任务教师活动学生活动设计意图课前导学1、课前复习：熟记13个基本积分公式。2、预习新课，完成课前小测试。1、发布任务：课前两天学习通发布任务，并提醒学生接收任务；2、跟踪提醒：通过学习通观测任务完成情况，及时督促提醒，把握学生学习难点。按时完成课前任务，明确本节课个人学习难点。1、锻炼自学能力：自主学习，掌握易点，发现难点；2、优化教学策略：依据课前任务完成情况，掌握学情，调整优化教学策略。课中环节教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图导入新课【回顾复习】直接积分法；基本积分公式。带领学生复习直接积分法；听写基本积分公式，为学习新课打下基础。认真复习、认真默写公式。根据“建构主义理论”，任务的目标性与教学情境的创建，使学生带着任务学习，有利于激发学生的求知欲。【引入新知】复杂不定积分初探——当被积函数是一复合函数的时候，如何求解其不定积分？由一个可直接用公式求解的简单函数的不定积分引出如何计算所给的复合函数的不定积分？引导学生积极思考，一步步地引出正确的求解方法——凑微分法。学生积极思考复习，为学习新知识奠定基础。探究新知一、第一换元积分法1.方法2.应用凑微分法的主要适用情形以及具体的求解方法。1.简单介绍不定积分的凑微分的核心要义；让学生理解应用这种方法求解不定积分的关键是是什么。2.借助例题讲解凑微分法主要解决哪两类问题的求解及具体的求解步骤：（1）当被积函数是一个单独的复合函数的情形；（2）当被积函数是一个复合函数和一个简单函数乘积的情形；总结求解口诀：一看二凑三比较。1.认真聆听教师对新方法的讲授，体会凑微分法的核心思想。2.边听边总结两类题目凑微分的步骤，注意应用的细节，避免犯错。教师主导，学生主体，引导探究与讲授相结合，高效讲解本节课核心新知。第二换元积分法1.方法2.应用第二换元积分法的具体分类：整体代换法三角代换法倒代换（了解即可）。1.讲解第二换元积分法及主要适用场景。2.借助例题讲解讲解第二换元积分法的具体分类，通过对应例题讲解不同方法的具体实施过程；并且分类总结。认真聆听教师对新方法的讲授，体会第二换元积分法的核心思想。巩固提高利用换元积分法求解不定积分；例题后面跟着练习。1、引导学生对所学的积分方法进行巩固练习，已达到真正内化的效果；2、留一定时间给学生做习题练习，并讲评学生的做题情况。认真聆听教师对例题的讲解；独立完成练习题，并积极回答，并做好总结整理。分层次设置练习，循序渐进地使学生及时巩固所学。课堂小结本节课重点、要点内容总结。和学生一起回顾与强调本节课重点知识，强化学生学习效果。认真总结，从整体上把握本节课。诊断、强化课堂学习效果。课后环节教学环节教学活动教师活动学生活动设计意图拓展任务【书面作业】课后习题1、2题【扩展】思考：被积函数中如果是两类不同函数的乘积的形式，目前所学的积分方法是否还能求解？1、发布任务2、指导协助了解情况并给予指导。接受任务，查阅课本与资料，认真完成。延拓本次课内容，承接下节课新知；既巩固所学，又起到预习作用。教学评价（1）评价构成课程坚持强化过程性评价、探索增值性评价的评价改革要求，着眼于学生长期发展需要的满足，将终结性评价与过程性评价相结合，侧重过程性评价。（2）评价要素过程性评价主要依托学习通平台，完成课前、课中和课后全过程学习轨迹记录和评价。主要包括：课前任务完成、课堂学习活动、课后任务完成情况等要素。（3）评价标准在评价学生时注重“三个结合”：学习过程与学习结果结合、理论知识与实践能力结合、课程学习成绩与学生日常行为素质表现结合教学反思1、第一换元积分法即凑微分法是一种很重要的积分方法，一定要