广东省深圳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试 数学 含解析

学年广东省广州市西关外国语教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共小题，每小题3分，共分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（）A.，，B.，，C.，，D.，，3.二次函数的图象可能是（）A.B.C.D.4.二次函数图象的顶点坐标是（）A.B.C.D.5.用配方法解方程时，此方程可变形为（）A.B.C.D.6.点与点关于原点对称，则的值为（）A.-1B.1C.-2024D.20247.如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是（）A.1或2B.0或2C.2D.08.某商品原售价为200元，连续两次降价后售价为100元，下面所列方程正确的是（）A.B.C.D.9.已知实数a，b分别满足，，且，则的值是（）A.7B.-710.是关于xx的取值范围是y在实数a的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共分。已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是m，n，则______.12.一元二次方程的两个实数根中较大的根是______.13.如图所示，在正方形ABCDACBD相交于点O，绕点O逆时针旋转90°后与重合，，则四边形BEOF面积是______.14.有m10______.15.二次函数的图象关于原点对称的图象解析式为______.16.抛物线的对称轴为直线，图象过点，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；⑤.其中正确的序号有______.三、计算题：本大题共1小题，共4分。17.解方程：.四、解答题：本题共8小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.（本小题4分）已知二次函数的图象经过点，，求此二次函数的表达式.19.（本小题6分）如图，中，.（1）将绕点B逆时针旋转180°得到，连接，（2）求证：四边形是菱形.20.（本小题6分）已知关于x的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根.21.（本小题8分）如图所示，抛物线与直线相交于点A，.（1）直接写出实数m，n的值，并求出点A，B的坐标；（2）若，请直接写出x的取值范围.22.（本小题10分）水果店王阿姨在水果批发市场以20元/kgykg与销售单价x元/kg的满足如图所示的一次函数关系.（1）求y与x之间的函数关系式.并在不亏钱的情况下直接写出自变量x的取值范围；（2）请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？23.（本小题10分）如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线.（1）求的面积；（2）求抛物线的解析式；（3PP作直线DE是直线P，D，E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P，点E的坐标.24.（本小题12分）如图，中，绕点C顺时针旋转得到D落在线段接.（1）求证：平分；（2）试判断线段与线段的位置关系，并说明理由；（3）若，请你求出的度数.25.（本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线E：的顶点P在抛物线F：上，直线与抛物线E，F分别交于点A，.（1）求a的值；（2）将A，B的纵坐标分别记为，，设，若s的最大值为4，则m的值是多少？（3）是x轴的正半轴上一点，且的中点M恰好在抛物线F上.试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点GG.答案和解析1.【答案】DABC均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°以不是中心对称图形；选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.故选：D.根据中心对称图形的定义逐项判断即可.2.【答案】D根据二次函数的定义进行解答即可.【解答】解：∵函数是二次函数，整理得：，∴二次项系数，一次项系数，常数项.故选D.3.【答案】C【解析】解：∵二次函数，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，故选项C符合，故选：C.利用二次函数的性质判断即可.4.【答案】A【解析】解：二次函数图象的顶点坐标为，故选：A.对于二次函数，其顶点坐标为，据此求解即可.5.【答案】B【解析】解：，移项得：，配方得：，即.故选B.将方程常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，即可得到结果.6.【答案】B【解析】解：∵点与点关于原点对称，∴，，则.故选：B.直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可求出答案.7.【答案】D依据二次函数的定义可知，，从而可求得k的值.【解答】解：∵函数是关于x的二次函数，∴，.解得.8.【答案】B【解析】解：当商品第一次降价时，其售价为（元）.当商品第二次降价后，其售价为（元）.∴.故选：B.9.【答案】A根据已知两等式得到a与b为方程的两根，利用根与系数的关系求出与的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将与的值代入计算即可求出值.【解答】解：根据题意得：a与b为方程的两根，∴，，则原式.故选A.10.【答案】B【解析】解：第一种情况：当二次函数的对称轴不在内时，此时，对称轴一定在的右边，函数方能在这个区域取得最大值，，即，第二种情况：当对称轴在内时，对称轴一定是在区间的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在的地方取得最大值，即：，即（此处若a取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值）综合上所述.故选：B.由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在和对称轴在内两种情况进行解答.【答案】1【解析】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别是m，n，∴，故答案为：1.根据一元二次方程的根与系数的关系得出结论.12.【答案】6【解析】解：∵或，∴，，∴原方程较大的根为6.故答案为6.原方程转化为或，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根.13.【答案】1【解析】解：∵绕点O逆时针旋转90°后与重合，∴，∴，∴四边形面积，故答案为：1.由旋转的性质可得，由面积和差关系可求解.14.【答案】5【解析】解：依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去）.故答案为：5.10场，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.15.【答案】【解析】解；的顶点坐标为，故变换后的抛物线为，故答案为：.根据关于原点对称点的特点，可得答案.16.【答案】②③⑤【解析】解：①∵，∴，∵，∴，故①错误.②∵抛物线与x轴有两个交点，∴，故②正确.③∵抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是，∴抛物线与x轴的另一个交点是，∴，故③正确.④∵点在抛物线上，对称轴为，∴也在抛物线上，∵-1.5>-2，且，都在对称轴的左侧，∴，故④错误.⑤∵抛物线对称轴为，且经过，∴，，∴，，∴，∴⑤正确.故正确的判断是②③⑤.故答案为②③⑤.①根据二次函数的图像可知：①，，，据此判断即可；②根据抛物线与x轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可；③由图象可知抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为，进而确定另一个交点，然后判断即可；④结合二次函数对称轴确定其增减性判断即可；⑤根据对称轴为可得，进而可得，，.17.解：因式分解得，，∴或，解得，.将等号左边写成两个一次因式的积，分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解.18.【答案】解：依题意，得，解得，所以二次函数表达式为.【解析】把两已知点的坐标代入得到关于b、c的方程组.然后解方程组求出b、c的值即可.19.1）解：如图所示.（2）证明：∵绕点B逆时针旋转得到，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是菱形.1）根据旋转的性质作图即可.（2）根据旋转的性质、菱形的判定证明即可.20.1）∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：.∴的取值范围是；（2）设方程的另一根为，由根与系数的关系得：，解得：，则的值是-1，该方程的另一根为-31）关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式.即可得到关于的不等式，从而求得的范围.（2）设方程的另一根为，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根.21.1）∵抛物线的顶点坐标为，∴，∵直线与x轴的交点坐标为，∴，解方程组得或，∴，；（2）若，的取值范围为.1）利用抛物线的顶点的纵坐标为5确定m的值，利用直线与y轴的交点坐标确定n的值，然后解方程组得点A和点B的坐标；（2）利用函数图象，写出抛物线在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可.22.1）设所求关系式为，由图得：解得：，∴所求关系式：；（2）设这种水果的利润为w元，依题意：，∴这种水果定价30元/kg时，可获最大利润元.1）由待定系数法即可求解；（2）由，，即可求解.23.1）∵，，，∴，∴；（2）由题意得：，则，解得：，则所求解析式：；（3）∵抛物线：，对称轴直线，∴即直线为直线，∵，，∴等腰中，∵与全等；直线，∴且点D、E在直线上，设，则，∴当时，，即，∴当时，，即，∵直线，，∴，即，∵，点D，E在直线上，∴，∴，，∴，，，.1）由，即可求解；（2）由待定系数法的即可求解；（3）等腰中，而与全等，直线，得到且点D、E在直线上，设，则，进而求解.24.1）证明：∵将绕点顺时针旋转得到，∴，，∴，∴，∴平分.（2）解：，理由：由旋转得，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴.（3）解：如图，，∵，∴，由（12）得，∴，∴，∵，∴，∴，∴的度数是72°.1）由旋转得，，则，所以，即可证明平分；（2）由旋转得，则，由，，得，，所以，则，所以；（3）由（1）、（2）得，因为，所以，则，于是得，求得.25.1）由题意可知，抛物线E：的顶点P的坐标为，∵点P在抛物线F：上，∴，∴.（2）∵直线与抛物线E，F分别交于点A，B，∴，，∴，∵-3<0，∴当时，的最大值为，∵的最大值为4，∴，解得，∵，∴.（3）存在，理由如下：设点M的坐标为n，则，，∴，∵点Q在x轴正半轴上，∴且，∴，∴，