人教版高一上学期数学(必修一)期末考试卷（附答案）

第第页人教版高一上学期数学(必修一)期末考试卷（附答案）（考试时间：90分钟；试卷满分：150分）学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知全集U=R，集合A=xx>1A．xx≥−2 B．xx<−2 C．x1<x<22．（5分）已知p:1−2x≤5，q:x2−4x+4−9m2A．0,13 B．0,13 C．3．（5分）已知x>0，y>0，且x+y+xy=3，若不等式x+y≥m2−mA．−2≤m≤1 B．−1≤m≤2C．m≤−2或m≥1 D．m≤−1或m≥24．（5分）如果函数f(x)的定义域为[a,b]，且值域为[f(a),f(b)]，则称f(x)为“Ω函数．已知函数f(x)=5x,0≤x≤2x2−4x+m,2<x≤4是“Ω函数，则A．[4,10] B．[4,14] C．[10,14] D．[14,+5．已知函数fx=ln−x,x<0e−x,x≥0，若关于A．0,+∞ B．C．−∞,0 6．（5分）已知定义在−3,3的函数y=fx+1−2是奇函数，且对任意两个不相等的实数x1,x2∈[1 ,4]A．1,32 B．1,2 C．−37．（5分）函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,A．函数gx的最小正周期为B．函数gx的一条对称轴为直线C．函数gx的一个对称中心坐标为D．gx再向左平移π8．（5分）已知fx①若fx1=1，f②存在ω∈0,2，使得fx的图像向左平移π6③若fx在0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为④若fx在−π6,π其中，所有错误结论的编号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．②④二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）下面命题正确的是（

）A．若x,y∈R且x+y>2，则x,yB．命题“若x<1，则x2<1”的否定是“存在x<1，则C．设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“xD．设a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠010．（5分）下列说法正确的有（

）A．若x<12，则2x+1B．若x>−2，则x+6x+2C．若x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则D．若x<1，则x2−x+9x−111．（5分）已知函数fx=2022A．函数fxB．关于x的不等式f2x−1+fC．函数fx在RD．函数fx的图象的对称中心是12．（5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ<A．函数y=f(x)的周期为πB．函数y=f(x)的图象关于直线x=19πC．函数y=f(x)−1在区间[0,2π]上有4个零点D．将函数y=f(x)的图像向左平移2π3可使其图像与y=g(x)三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知集合A=a,ab,−3a+b，B=14．（5分）若关于x的不等式x2−m+1为．15．（5分）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足对∀x1，x2∈D，且x1≠x2时都有x1−x2fx1−fx2≥0，则称函数f（x）为区间D上的“非减函数”，若fx为区间[0，2]上的“非减函数”且f（2）＝2，f（x16．（5分）已知函数fx=2sinxcosx-3①函数fx的最小正周期为π

②x=π③fx在0,π3上单调递增

④四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A=x(1)当m=1时，求出A∩C(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.18．（12分）已知a,b∈0,+∞，函数f(1)求a+4a(2)解关于fx>0的19．（12分）已知函数f(x)=ex+a(1)求a的值；(2)根据单调性的定义证明函数fx在R(3)若f2mt2−1+f20．（12分）已知函数f(x)=2sin(1)求fx(2)求fx(3)若函数fx在区间0,a上有且只有一个零点，求实数a21．（12分）对于定义域为D的函数y=f(x)，如果存在区间[m,n]⊆D.同时满足：①f(x)在[m,n]内是单调函数；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n]，则称[m,n]是该函数的“优美区间”.(1)求证：[0，2]是函数f(x)=1(2)函数g(x)=4+6(3)已知函数ℎ(x)=(a2+a)x−1a2x22．（12分）如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做逆时针匀速转动，每3分钟转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．(1)已知在时刻t（分钟）时点P距离地面的高度ft=Asinωt+φ+ℎ(2)当离地面50+203参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知全集U=R，集合A=xx>1A．xx≥−2 B．xx<−2 C．x1<x<2【解题思路】用集合表示出韦恩图中的阴影部分，再利用并集、补集运算求解作答.【解答过程】由韦恩图知，图中阴影部分的集合表示为∁因集合A=xx>1，B=所以∁U故选：B.2．（5分）已知p:1−2x≤5，q:x2−4x+4−9m2A．0,13 B．0,13 C．【解题思路】解不等式，求出俩命题的解，然后根据充分不必要条件，得出不等关系，从而求出实数m的范围.【解答过程】解：由题意在p:1−2x解得：−2≤x≤3在q:x解得：−3m+2≤x≤3m+2∵q是p的充分不必要条件∴−3m+2≥−23m+2≤3∴0<m≤1故选：B.3．（5分）已知x>0，y>0，且x+y+xy=3，若不等式x+y≥m2−mA．−2≤m≤1 B．−1≤m≤2C．m≤−2或m≥1 D．m≤−1或m≥2【解题思路】首先根据基本不等式得到x+ymin=2，结合题意得到m2【解答过程】xy=3−x+y≤x+y解得x+y≥2，即x+ymin因为不等式x+y≥m所以m2−m≤x+ymin，即故选：B.4．（5分）如果函数f(x)的定义域为[a,b]，且值域为[f(a),f(b)]，则称f(x)为“Ω函数．已知函数f(x)=5x,0≤x≤2x2−4x+m,2<x≤4是“Ω函数，则A．[4,10] B．[4,14] C．[10,14] D．[14,+【解题思路】由题意可得f(x)的值域为[0,m]，又因为当0≤x≤2时，f(x)的值域为[0,10]，当2<x≤4时，f(x)的值域为[m−4,m]，所以有0≤m−4≤10m≥10【解答过程】解：由题意可知f(x)的定义域为[0,4]又因为f(x)是“Ω函数所以f(x)的值域为[f(0),f(4)]又因为f(0)=0,f(4)=m所以f(x)的值域为[0,m]又因为当0≤x≤2时f(x)=5x，单调递增，此时值域为[0,10]当2<x≤4时f(x)=x2此时函数单调递增，值域为[m−4,m]所以0≤m−4≤10m≥10，解得所以m的取值范围为[10,14].故选：C.5．已知函数fx=ln−x,x<0e−x,x≥0，若关于A．0,+∞ B．C．−∞,0 【解题思路】将问题转化为fx与y=m【解答过程】m−fx=0有两个不同解等价于fx作出fx由图象可知：当m∈0,1时，fx与∴实数m的取值范围为0,1.故选：D.6．（5分）已知定义在−3,3的函数y=fx+1−2是奇函数，且对任意两个不相等的实数x1,x2∈[1 ,4]A．1,32 B．1,2 C．−3【解题思路】根据函数为奇函数得到fx+1+f−x+1【解答过程】x∈−3,3时y=fx+1−2函数关于点1,2中心对称，取x=0得到f1−2=0得到x1f故函数在[1 ,4]上单调递减，根据中心对称知函数在f2x+f故f2x≤fx+1，故2x≥x+1考虑定义域：−2≤2x≤4−2≤1−x≤4，解得−1≤x≤2综上所述：1≤x≤2故选：B.7．（5分）函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,A．函数gx的最小正周期为B．函数gx的一条对称轴为直线C．函数gx的一个对称中心坐标为D．gx再向左平移π【解题思路】根据图象求得fx的解析式，根据三角函数图象变换求得gx，根据【解答过程】对于f由图可知Af由于-π2<φ<fx=sin2xgx的最小正周期为2πg-点π6,1的纵坐标是1，所以π6gx再向左平移π6所得函数为偶函数，所以D选项正确.故选：D.8．（5分）已知fx①若fx1=1，f②存在ω∈0,2，使得fx的图像向左平移π6③若fx在0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为④若fx在−π6,π其中，所有错误结论的编号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【解题思路】根据已知函数解析式变形，求得函数的最小正周期为πω，由已知条件可得函数的最小正周期，求得ω值判断①；求出变换后的函数解析式，由对称性求得ω值判断②；求出函数的零点，再由已知列关于ω的不等式，求出ω范围判断③；求出函数的增区间，由题意列关于ω的不等式组，求得ω范围判断④【解答过程】解：∵f(x)=2∴f(x)的最小正周期为2π对于①：因为fx1所以f(x)的最小正周期为T=2π∴π故①错误；对于②：图像变换后所得函数为y=若其图像关于y轴对称则ωπ3+π解得ω=1+3k，k∈Z当k=0时ω=1∈(0,2)．故②正确；对于③：设t=2ωx+当x∈0,2π时f(x)在[0,2π]上有7个零点即y=sint在则7解得4124故③错误；对于④：由−得−取k=0，可得−若f(x)在−π则−解得0<ω⩽2故④正确．故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）下面命题正确的是（

）A．若x,y∈R且x+y>2，则x,yB．命题“若x<1，则x2<1”的否定是“存在x<1，则C．设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“xD．设a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠0【解题思路】根据命题的否定和充分条件必要条件判断即可.【解答过程】A选项：该命题的否定为若x,y∈R且x+y>2，则x,y都不大于1，即x<1，y<1B选项：命题“若x<1，则x2<1”的否定为“存在x<1，则C选项：x≥2则x2≥4，y≥2则D选项：当a≠0时，ab不一定不等于零，当ab≠0时，a一定不等于零，所以“a≠0”时“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确.故选：ABD.10．（5分）下列说法正确的有（

）A．若x<12，则2x+1B．若x>−2，则x+6x+2C．若x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最大值是2；D．若x<1，则x2−x+9x−1【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，逐项求解，结合取相反数、分离常数项以及建立不等式，可得答案.【解答过程】对于A，由x<12，则2x−1<0，即2x+12x−1=2x−1+对于B，由x>−2，则x+2>0即x+6x+2=x+62x+2对于C，由2xy≤x+2y22，当且仅当x=2y时等号成立，且2xy=−x−2y+8，则−x−2y+8≤x+2y22，整理可得对于D，由x<1，则x−1<0，即x2−x+9x−1=x−1故选：ABD.11．（5分）已知函数fx=2022A．函数fxB．关于x的不等式f2x−1+fC．函数fx在RD．函数fx的图象的对称中心是【解题思路】A选项：根据奇偶性的定义判断即可；C选项：根据已知函数的单调性即可得到fxD选项：根据fx+f−x=2，即可得到B选项：利用对称性和单调性解不等式即可.【解答过程】A选项：fx的定义域为R，关于原点对称f−x=2022−xC选项：因为函数y=2022x，D选项：fx+f−x=2，所以B选项：原不等式可整理为f2x−1+f2x>f−2x+f2x故选：BCD.12．（5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ<A．函数y=f(x)的周期为πB．函数y=f(x)的图象关于直线x=19πC．函数y=f(x)−1在区间[0,2π]上有4个零点D．将函数y=f(x)的图像向左平移2π3可使其图像与y=g(x)【解题思路】根据图象可求两个函数的解析式，再逐项计算后可得正确的选项.【解答过程】由图象（1）可得A=2，1故f(x)=2sin(2x+φ)故φ=2kπ+π3,k∈Z由图（2）可得A1=2故g(x)=2cos(2x+α)故α=2kπ−5π6,k∈Z对于A，f(x)=2sin(2x+π对于B，f(故函数y=f(x)的图象关于直线x=19π对于C，f(x)−1=0即为sin故2x+π3故x=kπ−π12或令0≤kπ−π令0≤kπ+π故f(x)−1=0在区间[0,2π]上有4个零点，故C正确.对于D，函数y=f(x)的图像向左平移2π其图象对应的解析式为：f(x)=2=2cos故D正确故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知集合A=a,ab,−3a+b，B=b,b【解题思路】根据题意可得1，2∈B，1∈A然后分b=1与【解答过程】由题意得1当b=1时，则A=a,a,−3a+1当b2a=1b=2即a=1所以a+b=3.故答案为:3.14．（5分）若关于x的不等式x2−m+1x+m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为−3≤m<−2【解题思路】先按实数m分类讨论求得不等式x2−m+1x+m<0的解集，再利用题给条件列出实数【解答过程】由x2−①当m<1时，不等式x2−若m,1中恰有3个正整数，则−3≤m<−2；②当m=1时，不等式x2−m+1③当m>1时，不等式x2−若1,m中恰有3个正整数，则4<m≤5综上，实数m的取值范围为−3≤m<−2或4<m≤5故答案为：−3≤m<−2或4<m≤5.15．（5分）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足对∀x1，x2∈D，且x1≠x2时都有x1−x2fx1−fx2≥0，则称函数f（x）为区间D上的“非减函数”，若fx为区间[0，2]上的“非减函数”且f（2）＝2，f（x【解题思路】利用赋值法，结合“非减函数”的定义求得正确答案.【解答过程】114+f令x=1，得f令x=2，得f令x=12当x∈3f由于fx是区间0,2上的“非减函数”，所以所以1≤f3由于任意x∈1,3而当x∈由fx+f2−x=2，故916∈所以f1故答案为：4.16．（5分）已知函数fx=2sinxcosx-①函数fx的最小正周期为π

②x=π③fx在0,π3上单调递增

④【解题思路】利用二倍角和辅助角公式化简可得fx【解答过程】fx对于①，fx的最小正周期T=2对于②，当x=π3时2x-对于③，当x∈0,π3时2x对于④，令2x-π3∴fx的对称中心为kπ2故答案为：①③.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A=x(1)当m=1时，求出A∩C(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）当m=1时，得B=x|1≤x≤2（2）由题可知B⊊A，分集合B=∅和B≠∅两种情况分类讨论，即可求解m的取值范围.【解答过程】（1）当m=1时，B=x|1≤x≤2，所以∁R所以A∩∁RB=x（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得B⊊A①当B=∅时m+1<2m−1,∴m>2；②当B≠∅时，由B⊊A得m+1≥2m−1综上所述m≥−1.18．（12分）已知a,b∈0,+∞，函数f(1)求a+4a(2)解关于fx>0的【解题思路】（1）转化条件为a+b=1，进而可得a+4a（2）转化条件为x−1ax−1−a>0【解答过程】（1）由已知，得a+b=1所以a+4a当且仅当a+b=14ba=∴a+4（2）由题意∵fx>0∴ax2−x+b>0方程x−1ax−1−a当1=1−aa时，即a=1当1>1−aa时，即12当1<1−aa时，即0<a<1综上可知：a=12时，不等式的解集为12<a<1时，不等式的解集为0<a<12时，不等式的解集为19．（12分）已知函数f(x)=ex+a(1)求a的值；(2)根据单调性的定义证明函数fx在R(3)若f2mt2−1+f【解题思路】（1）由fx是定义在R上的奇函数，利用f0=0（2）利用作差法证明即可；（3）由（2）知，函数fx为R上单调递增的奇函数，故f2mt2−1+f−mt<0等价于2mt【解答过程】（1）解：因为函数fx=e所以f0=0经检验符合题意所以a=−1；（2）证明：根据（1）知f∀x1则f因为x1<所以fx1所以函数fx在R（3）解：由（2）知，函数fx为Rf2mt即f则−mt<−2m所以2mt2−mt−1<0当m=0时2mt当m≠0时m<0Δ=综上可知，实数m的取值范围是−8,0.20．（12分）已知函数f(x)=2sin(1)求fx(2)求fx(3)若函数fx在区间0,a上有且只有一个零点，求实数a【解题思路】（1）由二倍角公式、两角差的正弦公式化简函数式，然后结合正弦函数周期可得；（2）利用正弦函数的增区间求解；（3）求出f(x)=0的解后可得a的范围．【解答过程】（1）f(x)=最小正周期为T=2π（2）2kπ−所以增区间是[kπ−π（3）f(x)=2sin因为函数fx在区间0,a所以π所以实数a的取值范围为π821．（12分）对于定义域为D的函数y=f(x)，如果存在区间[m,n]⊆D.同时满足：①f(x)在[m,n]内是单调函数；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是