内蒙古自治区赤峰市敖汉旗箭桥中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

第1页/共1页箭桥中学20242025学年第一学期期末2023级数学试卷分值：150分时间：120分钟注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目里面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程.【详解】双曲线的渐近线方程为.故选：C.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直线的斜率，再由解出倾斜角即可.【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.故选：A.3已知事件与事件互斥，且，则（）A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件概率的加法公式计算可得.【详解】因为事件与事件互斥，所以.故选：C4.已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数（估计值）分别为（）A.200，24 B.200，28 C.100，24 D.100，28【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【详解】样本量为，抽取的初中生人数为，所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为.故选：D5.曲线与曲线的（）A.长轴长一定相等 B.短轴长一定相等C.离心率一定相等 D.焦距一定相等【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的方程，得到a,b,c，即可判断.【详解】对于曲线：，对于曲线：，所以它们的长轴不一定相等，短轴不一定相等，离心率不一定相等，焦距一定相等.故选：D6.如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，利用空间向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值.【详解】设，，.，.，异面直线与所成角的余弦值.故选：D.7.点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.【详解】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即.故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.8.一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】先求得点关于直线的对称点，再设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求解.【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，即，由题意知切线的斜率存在，设直线方程为：，即，由，可得，半径，则圆心到切线的距离等于半径，即，整理得：，解得或.故选：B.二、选择题:(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则（）A.该组数据的极差为26B.该组数据的众数为18C.该组数据的75%分位数为19D.若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小【答案】BD【解析】【分析】由统计数据分析的相关概念即可得到结论.【详解】该组数据的极差，故A选项错误；该组数据的众数为出现频数最多的：18，故B选项正确；该组数据的分位数：,取第6个，则为20，故C选项错误；若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据波动变小，所以方差变小，故D选项正确；故选：BD.10.已知圆，则下列结论正确的是（）A.的取值范围为B.圆关于直线对称C.若直线被圆截得的弦长为，则D.若，过点作圆的一条切线，切点为，则【答案】BCD【解析】【分析】根据圆的方程可判断A，由圆心在直线上可判断B，根据弦长及圆心距判断C，利用切线的性质求切线长判断D.【详解】圆可化为，所以，解得，故A错误；因为圆C的圆心为在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确；因为圆心到直线的距离为，又弦长为，所以，可得圆C的半径为1，即，得，故C正确；当时，圆C的半径为，，所以切线长为，故D正确.故选：BCD11.在平面直角坐标系中，、是圆与轴的交点，点为该平面内异于、的动点，且直线与直线的斜率之积为，设动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（

）A.若，则曲线的离心率为B.若，则曲线方程为C.若，则曲线有渐近线，其渐近线方程为D.若，，过原点的直线与曲线交于、两点，则面积最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据斜率的乘积、双曲线、椭圆、三角形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题A−2,0、，设Px,y，有，，且.对于A选项，，即，则，，所以离心率为，A正确；对于B选项，，即，B错误；对于C选项，，即，则，，所以，曲线有渐近线，其渐近线方程为，C正确；对于D选项，，即，由题意可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，有，则，，所以，而点到直线的距离为，所以，所以当时，面积取最大值，D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线的标准方程为______.【答案】【解析】【分析】根据抛物线焦点求出，即可得解.【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，所以抛物线开口向左，设抛物线的标准方程为，所以，解得.所以抛物线方程为.故答案为：13.已知随机事件中，与相互独立，且，，则__________.【答案】0.94【解析】【分析】根据和事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式可得答案.【详解】因为与相互独立，所以，所以，故答案为：0.94.14.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点．若是的中点，则双曲线的离心率为__________.【答案】##【解析】【分析】设点为双曲线的右焦点，连接，由中位线的性质可得出，可求得，利用双曲线的定义求出，再结合勾股定理化简可得出该双曲线离心率的值.【详解】设点为双曲线的右焦点，连接，因为为中点，为中点，所以，，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以，即，.故答案为：.四、解答题:(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，.（1）若直线的斜率为，求；（2）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直线的方程为，联立，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到；（2）当直线的斜率为0时，不合要求，设直线的方程为，与联立得，得到两根之和，两根之积，计算出，得到，得到垂直关系.【小问1详解】直线的方程为，联立得，显然，设，则，则；【小问2详解】当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线的方程为，与联立得，显然，设，则，则，故，所以，即.16.如图，在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意建系，写出相关点坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得；（2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】因平面，且，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系.则、、、、.于是，，,设平面的法向量为，则，令，可得，又，显然，，故得平面.【小问2详解】设平面法向量为，且，，则，令，可得.所以，，因此，平面与平面所成夹角的余弦值为.17.在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；（2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的中位数；（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．【答案】（1）4（2）；中位数为（3）【解析】【分析】（1）先分别求出的频率，进而由10乘以抽样比可求答案；（2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于1可求；利用各组中值与频率可估计平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，进而利用面积等于0.5即可求解；（3）根据独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】从图中可知组距为，则的频率分别为，从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时，成绩不高于50分的人数为（人）.【小问2详解】由图可知，解得..因为且，所以中位数在内，设估计的中位数为，则，得.【小问3详解】记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，则三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于.18.已知椭圆C：的离心率为，长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，求弦长，为坐标原点，求的面积；（3）直线（为左顶点）与椭圆C交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.【答案】（1）（2），（3）.【解析】【分析】（1）依题意可得、的值，从而求出，即可得解；（2）首先求出直线的方程，设Mx1,y1，Nx（3）设直线的方程为，即可表示出点，再联立直线与椭圆方程，消元，求出点坐标，根据求出的值，即可得解.【小问1详解】由题意可得，所以，则，所以椭圆方程为;【小问2详解】由（1）可得右焦点为F1,0∴直线的方程为，设Mx1,y1联立，消得，显然，所以，∴，∴，又点O0,0到直线的距离，∴；【小问3详解】由题意可得直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，则，由，所以，所以，则，故，F1,0，所以，，因为，所以所以，解得，故直线的方程为.19.在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据余弦定理以及勾股定理可得，，即可根据线面垂直的判断求证，（2）建立空间直角坐标系，求解平面