2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题6.2等差数列及其前n项和【十一大题型】特训(学生版+解析)

专题6.2等差数列及其前n项和【十一大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1等差数列的基本量运算】 3【题型2等差数列的判定与证明】 4【题型3等差数列的性质及应用】 5【题型4等差数列的通项公式】 5【题型5等差数列前n项和的性质】 6【题型6等差数列的前n项和的最值】 6【题型7等差数列的简单应用】 7【题型8等差数列的奇偶项讨论问题】 8【题型9含绝对值的等差数列问题】 9【题型10等差数列中的恒成立问题】 10【题型11与等差数列有关的新定义、新情景问题】 111、等差数列及其前n项和考点要求真题统计考情分析(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义(2)探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系(3)能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题(4)体会等差数列与一元函数的关系2022年全国乙卷（文数）：第13题，5分2023年新高考I卷：第7题，5分2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分2024年新高考I卷：第19题，17分2024年新高考Ⅱ卷：第12题，5分等差数列是高考的热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等差数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等.去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解.【知识点1等差数列的概念】1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.2．等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.3．等差数列的通项公式等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差.4．等差数列的单调性由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.

①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；

②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示；

③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.

因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质设{}为等差数列，公差为d，则

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+.

(2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列.

(3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+(,为常数)是公差为d+d'的等差数列.

(4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列.

(5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0.【知识点2等差数列的基本运算的解题策略】1．等差数列的基本运算的两大求解思路：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【知识点3等差数列的判定的方法与结论】1．证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值.(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列.(2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【知识点4等差数列及其前n项和的性质及应用】1．项的性质：在等差数列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq.2．和的性质：在等差数列中，Sn为其前n项和，则(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；(2)S2n-1=(2n-1)an；(3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.3．求等差数列前n项和的最值的常用方法：(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.(3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.【方法技巧与总结】1．已知数列{}的通项公式是=pn+q(其中p，q为常数)，则数列{}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.3．等差数列{}的单调性：当d>0时，{}是递增数列；当d<0时，{}是递减数列；当d=0时，{}是常数列.4．数列{}是等差数列(A,B为常数).【题型1等差数列的基本量运算】【例1】（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列an满足an+an+1=4n+1，则a1=（

）A．3 B．32 C．1 D．【变式1-1】（2024·河北保定·三模）已知在等差数列{an}中，a1=1，公差d>0.若数列aA．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2024·内蒙古包头·三模）设Sn为等差数列an的前n项和，若S5=4a1，a1>0，若A．11 B．12 C．20 D．22【变式1-3】（2024·北京·模拟预测）记等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若a5+a11=62A．3 B．4 C．5 D．6【题型2等差数列的判定与证明】【例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列an，则“an−2+an+2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-1】（2024·安徽阜阳·模拟预测）设正数数列an的前n项和为Sn，且SnA．an是等差数列B．Sn是等差数列C．an单调递增【变式2-2】（2023·新疆·一模）非零数列an满足an+1−(1)设bn=a(2)设cn=1anan+1【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列an的前n项的积记为Tn，且满足(1)证明：数列Tn(2)设bn=1TnTn+1【题型3等差数列的性质及应用】【例3】（2024·山西运城·三模）已知数列an是等差数列，12a3−A．4 B．−2 C．−4 D．−【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）在数列an中，已知2an+1=an+A．256 B．196 C．144 D．96【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列an满足a1a3+A．52 B．5 C．5或－5 D．52【变式3-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知等差数列{an}的公差不为0，a2024=0，给定正整数m，使得对任意的n∈N*（n<m且m>2A．4047 B．4046 C．2024 D．4048【题型4等差数列的通项公式】【例4】（2024·四川·模拟预测）已知Sn为正项数列an的前n项和，a1=3.【变式4-1】（23-24高二下·广东汕尾·阶段练习）已知数列an的前n项和Sn=n2+n+c（其中c为常数，c∈R【变式4-2】（2024高三·广东·专题练习）已知数列an为公差不为零的等差数列，S7=77（1）求数列an（2）若数列bn满足1bn+1−1bn【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列an,bn，其中数列an是等差数列，且满足b(1)求数列an和b(2)若cn=1anan+1【题型5等差数列前n项和的性质】【例5】（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S4=2，S8A．30 B．58 C．60 D．90【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,TA．516 B．716 C．1116【变式5-2】（2024·四川乐山·一模）设等差数列an的前n项和Sn，若S3=9，S6A．18 B．27 C．45 D．63【变式5-3】（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有SnA．37 B．521 C．1941 D．【题型6等差数列的前n项和的最值】【例6】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列an中，a1>0，S7=S9A．7 B．8 C．9 D．10【变式6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知an是等差数列，Sn是其前n项的和，则下列结论错误的是（A．若an=2n−25，则SnB．若an=−3n+27，则C．若S13=D．若首项a1>0，S6=S【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）记等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，已知a4=−2,S9=0A．1 B．4 C．5 D．4或5【变式6-3】（2024·辽宁·二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，点(n,SA．C0=1 B．若A=0，则∃nC．若A>0，则∃n0∈N∗，使Sn最大 D．若【题型7等差数列的简单应用】【例7】（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（

）A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码【变式7-1】（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（

）A．189 B．190 C．191 D．192【变式7-2】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（

）A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日【变式7-3】（2024·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（

）A．754 B．755 C．756 D．757【题型8等差数列的奇偶项讨论问题】【例8】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列an的前n项和为Sn,(1)求S9(2)求数列an【变式8-1】（2023·山东威海·一模）已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n(1)求数列an(2)记cn=−1nana【变式8-2】（2024·湖北·模拟预测）数列an中，a1=1，a(1)求数列an(2)数列bn的前n项和为Sn，且满足bn2=【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项积为T(1)求证：数列Tn是等差数列，并求数列a(2)令bn=−1n−1an+1【题型9含绝对值的等差数列问题】【例9】（2024·四川成都·二模）已知数列an的前n项和Sn=−12(1)确定常数k，并求an(2)求数列an的前15项和T【变式9-1】（2024·安徽宣城·二模）已知数列an是首项为1的等差数列，公差d>0，设数列an的前n项和为Sn，且S1，(1)求an(2)求数列an−8的前n项和【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列an,a1=−10，记Sn为an的前n(1)求Sn(2)设an的前n项和为Tn，求【变式9-3】（2024·广东·模拟预测）已知数列an与bn为等差数列，a2=b3，a1(1)求出an与b(2)是否存在每一项都是整数的等差数列cn，使得对于任意n∈N+，cn都能满足【题型10等差数列中的恒成立问题】【例10】（2024·贵州六盘水·三模）已知an为等差数列，且a5＝(1)求an(2)若2n⋅λ≥a【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)若a1≠2，求证：(2)对任意n,m∈N*,m≠n，都有S【变式10-2】（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前(1)求{a(2)设bn=1anan+1，数列{bn【变式10-3】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列an的前n项之和bn=a1+a2+⋯+(1)求证：1cn为等差数列，并分别求(2)设数列an⋅bn+1的前n项和为Sn，不等式S【题型11与等差数列有关的新定义、新情景问题】【例11】（2024·黑龙江·三模）如果n项有穷数列an满足a1=an，a2=(1)设数列bn是项数为7的“对称数列”，其中b1,b2(2)设数列cn是项数为2k−1(k∈N∗且k≥2)的“对称数列”，且满足cn+1−cn①若c1，c2，…，ck构成单调递增数列，且ck=2023②若c1=2024，且S2k−1【变式11-1】（2024·福建南平·二模）若数列cn共有mm∈N*,m≥3项，对任意ii∈N*,i≤m都有cicm+1−i=S（S为常数，且S>0(1)若m=3，a1=1，a2(2)已知数列bn是公差为dd≠0的等差数列，b1=−11，若m=10，an(3)若数列an是各项均为正整数的单调递增数列，求证：a【变式11-2】（2024·江苏南京·二模）已知数列an的前n项和为Sn．若对每一个n∈N∗，有且仅有一个m∈N∗，使得Sm≤an<Sm+1(1)若an的前四项依次为0，1，−1，1，试判断an是否为“(2)若Sn=2n，证明(3)已知正项数列an为“X数列”，且an的“余项数列”为等差数列，证明：【变式11-3】（2024·贵州·三模）差分密码分析（DifferentialCryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列ann∈N*，规定Δan为数列an的一阶差分数列，其中Δan=an+1−an；规定Δ2a(1)设数列A:1,3,7,9,13,15，判断数列A是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；(2)设数列an的通项公式an=2(3)设各项均为正数的数列cn为“累差不变数列”，其前n项和为Sn，且对∀n∈N*，都有k=1nΔ2ck=Δ一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列an满足a2+a3=14，且A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·新疆·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a7a8A．S4 B．S5 C．S63．（2024·天津滨海新·三模）已知数列an为各项不为零的等差数列，Sn为数列an的前n项和，4SnA．4 B．8 C．12 D．164．（2024·河北衡水·三模）已知数列an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，TA．2 B．3 C．5 D．65．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（

）A．167 B．168 C．169 D．1706．（2024·山东泰安·三模）已知Sn为等差数列an的前n项和，a1=−21，S7A．−99 B．−100 C．−110 D．−1217．（2023·重庆·二模）已知等差数列an的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B−A=45，2A=B+615，则an=A．3n−2 B．3n−1 C．3n+1 D．3n+28．（2024·湖北·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+m，n∈N*A．−2 B．0 C．1 D．2二、多选题9．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列an的首项a1=1，公差d=6，在an中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列A．an=6n−5 B．当k=2C．当k=2时，b19不是数列an中的项 D．若b8是数列a10．（2024·河北衡水·模拟预测）已知数列an是公差为dd≠0的等差数列，若它的前2m(m>1)项的和S2mA．若d<0，使an>0的最大nB．Sm是SC．3D．a11．（2024·重庆·模拟预测）设an是各项为正的无穷数列，若对于∀n∈N*，an+12−aA．若an是等方差数列，则aB．数列2nC．若an是等方差数列，则数列aD．若an是等方差数列，则存在正整数n，使得三、填空题12．（2024·全国·模拟预测）在等差数列an中，a1+a3+13．（2024·江苏宿迁·三模）x(x∈R)表示不小于x的最小整数，例如2=2，−32=−1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且14．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列an是等差数列，bn=an−8,n为奇数2an+1,n为偶数，记Sn，Tn四、解答题15．（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1(1)证明：数列1S(2)设数列bn满足bn=16．（2024·四川·模拟预测）已知数列an满足a1=(1)证明数列1an−1(2)若数列bn满足，bn=an−1a17．（2024·湖南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列an满足a32(1)求an(2)记Sn是数列an的前n项和，证明:18．（2024·全国·模拟预测）数列an的前n项和为Sn，2S(1)证明：1S(2)对于任意n∈N*，不等式2n19．（2024·江西南昌·三模）给定数列{An}，若对任意m，n∈N*且m≠n，Am+An是{A(1)若Sn=n2+n(2)设{an}既是等差数列又是“H数列”，且a1=6，a(3)设{an}是等差数列，且对任意n∈N*，Sn是专题6.2等差数列及其前n项和【十一大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1等差数列的基本量运算】 3【题型2等差数列的判定与证明】 5【题型3等差数列的性质及应用】 7【题型4等差数列的通项公式】 9【题型5等差数列前n项和的性质】 11【题型6等差数列的前n项和的最值】 12【题型7等差数列的简单应用】 14【题型8等差数列的奇偶项讨论问题】 16【题型9含绝对值的等差数列问题】 20【题型10等差数列中的恒成立问题】 23【题型11与等差数列有关的新定义、新情景问题】 261、等差数列及其前n项和考点要求真题统计考情分析(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义(2)探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系(3)能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题(4)体会等差数列与一元函数的关系2022年全国乙卷（文数）：第13题，5分2023年新高考I卷：第7题，5分2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分2024年新高考I卷：第19题，17分2024年新高考Ⅱ卷：第12题，5分等差数列是高考的热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等差数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等.去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解.【知识点1等差数列的概念】1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.2．等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.3．等差数列的通项公式等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差.4．等差数列的单调性由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.

①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；

②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示；

③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.

因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质设{}为等差数列，公差为d，则

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+.

(2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列.

(3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+(,为常数)是公差为d+d'的等差数列.

(4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列.

(5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0.【知识点2等差数列的基本运算的解题策略】1．等差数列的基本运算的两大求解思路：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【知识点3等差数列的判定的方法与结论】1．证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值.(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列.(2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【知识点4等差数列及其前n项和的性质及应用】1．项的性质：在等差数列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq.2．和的性质：在等差数列中，Sn为其前n项和，则(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；(2)S2n-1=(2n-1)an；(3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.3．求等差数列前n项和的最值的常用方法：(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.(3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.【方法技巧与总结】1．已知数列{}的通项公式是=pn+q(其中p，q为常数)，则数列{}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.3．等差数列{}的单调性：当d>0时，{}是递增数列；当d<0时，{}是递减数列；当d=0时，{}是常数列.4．数列{}是等差数列(A,B为常数).【题型1等差数列的基本量运算】【例1】（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列an满足an+an+1A．3 B．32 C．1 D．【解题思路】设等差数列an的公差为d，由通项公式写出an=a1+(n−1)d和【解答过程】设等差数列an的公差为d，则an=因为an+a所以有2a1−d=1故选：B.【变式1-1】（2024·河北保定·三模）已知在等差数列{an}中，a1=1，公差d>0.若数列aA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】依题意可得an=dn+1−d，即可表示出an【解答过程】依题意an=dn+1−dd>0，则则an+1又an2−4n是等差数列，所以−(1−d)故选：C.【变式1-2】（2024·内蒙古包头·三模）设Sn为等差数列an的前n项和，若S5=4a1，a1>0，若A．11 B．12 C．20 D．22【解题思路】根据S5=4a1，求出首项与公差的关系，再根据【解答过程】设公差为d，由S5=4a1，得由a1>0故an则Sn因为Sn所以n−21dn化简得n2−23n+22=0，解得n=22或故选：D.【变式1-3】（2024·北京·模拟预测）记等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若a5+a11=62A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】根据下标和性质及等差数列求和公式求出a8、a【解答过程】因为a5+a又S13=13(所以d=a故选：B．【题型2等差数列的判定与证明】【例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列an，则“an−2+an+2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】先判断充分性：由已知可得an+2−an=an−a【解答过程】先判断充分性：∵a令n=2kk∈N∗，则a令n=2k−1k∈N*，则a但数列an∴“an−2+a再判断必要性：若数列an是等差数列，则2∴2an=an−2综上，“an−2+a故选：B.【变式2-1】（2024·安徽阜阳·模拟预测）设正数数列an的前n项和为Sn，且SnA．an是等差数列B．Sn是等差数列C．an单调递增【解题思路】先利用an和Sn的关系求出Sn2=n【解答过程】依题意可得：an=S因为Sn所以当n=1时，S1=12a当n≥2时，Sn=1所以数列Sn2是以1为首项，从而Sn2=n因为当n=1时，a1当n≥2时，ann=1也适合上式，所以an因为a2所以选项C错误.故选：D.【变式2-2】（2023·新疆·一模）非零数列an满足an+1−(1)设bn=a(2)设cn=1anan+1【解题思路】（1）对已知条件因式分解可得2a（2）利用累乘法求得an=n，然后由裂项相消法可得【解答过程】（1）由an+1得an+12a所以2an+1−所以bn+1而a1=1,a所以数列bn是以1为公差，b（2）由（1）知，bn=n，即整理得an+1由累乘法得a2a1又a1=1，所以则cn所以Tn【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列an的前n项的积记为Tn，且满足(1)证明：数列Tn(2)设bn=1TnTn+1【解题思路】（1）分类讨论n=1与n≥2两种情况，利用递推式求得T1与T（2）利用裂项相消法求解即可.【解答过程】（1）因为1T当n=1时，1T1=1a1=当n≥2时，1Tn=an故数列Tn（2）由（1）得Tn则bn所以Sn【题型3等差数列的性质及应用】【例3】（2024·山西运城·三模）已知数列an是等差数列，12a3−A．4 B．−2 C．−4 D．−【解题思路】利用下标和性质计算可得.【解答过程】因为12a3−a5=2解得a7所以a5故选：C.【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）在数列an中，已知2an+1=an+A．256 B．196 C．144 D．96【解题思路】由已知，an【解答过程】由2an+1=an又a5+a故选：D．【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列an满足a1a3+A．52 B．5 C．5或－5 D．52【解题思路】根据式子a1【解答过程】由题a1a3+a故选：C.【变式3-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知等差数列{an}的公差不为0，a2024=0，给定正整数m，使得对任意的n∈N*（n<m且m>2A．4047 B．4046 C．2024 D．4048【解题思路】分n>m−n与n<m−n两种情况，结合等差数列的性质和a1+a【解答过程】若n>m−n，由题意知am−n+1由等差数列的性质知，若p+q=s+t，则有ap+a因为公差d≠0，且a2024=0，所以a1所以m=4047．若n<m−n，可得an+1由等差数列性质知，若p+q=s+t，则有ap+a因为公差d≠0，且a2024=0，所以a1所以m=4047．故选：A.【题型4等差数列的通项公式】【例4】（2024·四川·模拟预测）已知Sn为正项数列an的前n项和，a1=32n+1.【解题思路】依题意可得2Sn+Sn+1=an+12−3，即可得到2Sn−1+【解答过程】因为Sn+S当n=1时，2S1+即a22−2a2当n≥2时，2Sn−1+因为an>0，可得又a2−a1=2所以数列an表示首项为3，公差为2所以an故答案为：2n+1.【变式4-1】（23-24高二下·广东汕尾·阶段练习）已知数列an的前n项和Sn=n2+n+c（其中c为常数，c∈R），写出使an【解题思路】利用an【解答过程】n=1时，a1n≥2时，an所以an=2nn≥2若an为等差数列，则a1=2此时an故答案为：2n.【变式4-2】（2024高三·广东·专题练习）已知数列an为公差不为零的等差数列，S7=77（1）求数列an（2）若数列bn满足1bn+1−1bn【解题思路】本题第（1）题先设等差数列an的公差为d(d≠0)，然后根据题干可列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列a第（2）题由题干1bn+1−1bn=an【解答过程】解：（1）由题意，设等差数列an的公差为d(d≠0)7a1+21d=77，a所以an（2）依题意，由1bn+1−则n≥2时，1==(n−1)(n−2+5)+3=n(n+2)当n=1时，b1=1∴1∴bT===3【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列an,bn，其中数列an是等差数列，且满足b(1)求数列an和b(2)若cn=1anan+1【解题思路】（1）由已知bn−an=−1nn2（2）利用裂项相消法求和.【解答过程】（1）因为bn所以b1−a由a1+b1=1b1又数列an所以an的公差d=故数列an的通项公式a所以bn即bn的通项公式b（2）由（1）知cn则Sn【题型5等差数列前n项和的性质】【例5】（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S4=2，S8A．30 B．58 C．60 D．90【解题思路】借助等差数列片断和的性质计算即可得.【解答过程】由数列an故S4、S8−S4、S由S4=2，S8故S12−S8=18即有S12=18+S8=30故选：D.【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,TA．516 B．716 C．1116【解题思路】根据等差数列通项公式及求和公式可得结果.【解答过程】因为Sn为等差数列an的前n项和，所以可设Sn同理因为Tn为等差数列bn的前n项和，所以可设又SnTn=n−1整理得An2+不妨设Sn=nn−1，则Tn=n故选：D．【变式5-2】（2024·四川乐山·一模）设等差数列an的前n项和Sn，若S3=9，S6A．18 B．27 C．45 D．63【解题思路】根据S3【解答过程】由题意得S3即9,36−9,a即2×36−9=9+a故选：C.【变式5-3】（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有SnA．37 B．521 C．1941 D．【解题思路】运用等差数列的等和性及等差数列前n项和公式求解即可.【解答过程】由等差数列的等和性可得，a3故选：C.【题型6等差数列的前n项和的最值】【例6】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列an中，a1>0，S7=S9A．7 B．8 C．9 D．10【解题思路】根据条件，可得数列an为递减数列，且a8>0【解答过程】在等差数列an中，a1>0，由S∴a8>0，a所以使得前n项的和最大的n值为8.故选：B.【变式6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知an是等差数列，Sn是其前n项的和，则下列结论错误的是（A．若an=2n−25，则SnB．若an=−3n+27，则C．若S13=D．若首项a1>0，S6=S【解题思路】对于AB，利用等差数列求和公式求出Sn，然后利用二次函数性质求解即可判断；对于C，根据等差数列和的性质，结合等差数列通项性质求和即可判断；对于D，利用S6=S12【解答过程】对于A，因为an=2n−25，所以所以Sn所以当n=12时，Sn对于B，因为an=−3n+27，所以所以Sn所以当n=8或n=9时，Sn取得最大值为S对于C，若S13=S17，则所以a16+a对于D，若a1>0，又a12+a7=所以等差数列an为递减数列，所以a所以Sn取最大值时n故选：D.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）记等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，已知a4=−2,S9=0A．1 B．4 C．5 D．4或5【解题思路】由题意可得数列an的通项公式，找出数列a【解答过程】由题意可知a1+3d=−29所以an令an≤0，则2n−10≤0，解得所以Sn取最小值时n=4或n=5故选：D．【变式6-3】（2024·辽宁·二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，点(n,SA．C0=1 B．若A=0，则∃nC．若A>0，则∃n0∈N∗，使Sn最大 D．若【解题思路】根据等差数列{an}的前n项和Sn=12dn2+(a1−12d)n【解答过程】因为等差数列{an}的前n项和S所以∀n∈N∗，点(n,S对于A中，因为(n,Sn)(n∈可得A=12d，B=a1对于B中，若A=0，则d=0，此时Sn当a1>0时，不存在n0对于C中，若A>0，则d>0，Sn对于D中，若A<0，则d<0，Sn故选：D.【题型7等差数列的简单应用】【例7】（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（

）A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码【解题思路】利用等差数列的通项公式求得尺码的总个数，再利用等差数列的前n项和公式求得总尺码，继而得到缺货尺寸的总码数，进一步计算即可.【解答过程】设第一个尺码为a1，公差为d则a1则an当an=0.5n+24.5=36.5时，故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为S24所有缺货尺码的和为738−677=61码，又因为缺货的一个尺寸为28.5码，则另外一个缺货尺寸61−28.5=32.5码，故选：C.【变式7-1】（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（

）A．189 B．190 C．191 D．192【解题思路】根据题意，构成首项为8，公差为15的等差数列，得到an【解答过程】根据题意，被以3除余2，除以5余3的数，构成首项为8，公差为15的等差数列，则an所以将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为5⋅(8+15×5−7)2故选：B.【变式7-2】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（

）A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日【解题思路】利用等差数列求和公式列方程求解.【解答过程】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第n天所得积分为2n−1．假设他连续打卡n天，第n+1天中断了，则他所得积分之和为(1+3+⋅⋅⋅+2n−1)+=n(1+2n−1)2+解得n=7或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故选：D.【变式7-3】（2024·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（

）A．754 B．755 C．756 D．757【解题思路】由题意可得除以三余二且除以五余三的正整数是以8为首项，15为公差的等差数列，再根据等差数列的前n项和公式即可得解.【解答过程】设除以三余二的正整数为数列an，则a除以五余三的正整数为数列bn，则b除以三余二且除以五余三的正整数为数列cn而3和5的最小公倍数为15，则数列cn是由数列an和数列cn是以8为首项，15则cn所以前10个数的和为10×8+143故选：B.【题型8等差数列的奇偶项讨论问题】【例8】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列an的前n项和为Sn,(1)求S9(2)求数列an【解题思路】（1）根据an,Sn的关系，化为（2）由递推关系可得an+2−a【解答过程】（1）因为Sn所以Sn+2两式相减，得an+2所以S=3+4×3+9（2）由（1）知an+2可得an+a因为a1所以a2=5，又所以a又由①②得an+2所以a2n=a则当n≥3，且为奇数时，an又a1=3,a【变式8-1】（2023·山东威海·一模）已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n(1)求数列an(2)记cn=−1nana【解题思路】（1）根据Sn,a(2)数列{cn}的前n又a2，a4，…，【解答过程】（1）由2Sn=a两式相减得2an=因为an>0，所以an−a在2Sn=a所以an（2）当n=2k时T+a2k−3a又a2，a4，...，所以a2故T2k=2当n=2k+1时T+a2k−3a又a2，a4，...，a所以2a故T2k+1=−2当n为偶数时,Tn=n2+2n【变式8-2】（2024·湖北·模拟预测）数列an中，a1=1，a(1)求数列an(2)数列bn的前n项和为Sn，且满足bn2=【解题思路】（1）依题意可得an+2−an+1=（2）由（1）可得bn=±2n−1，由bnbn+1<0【解答过程】（1）因为an+2+a所以数列an+1−an是公差为于是an+1则an−an−1=8a3−a所以an所以an=4n2−4n+1（2）由（1）问知，an=2n−1又bnbn+1<0，则bn+1因此bn与b因为b1b2<0，所以当b1当n为奇数时，Sn当n为偶数时，Sn当b1=−1时，b2当n为奇数时，Sn当n为偶数时，Sn综上，当b1=1时，Sn=−1【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项积为T(1)求证：数列Tn是等差数列，并求数列a(2)令bn=−1n−1an+1【解题思路】（1）由前n项积定义可得an=TnT（2）利用裂项相消法求和，对n的奇偶进行分类讨论即可得Sn【解答过程】（1）由题意得当n=1时，T1因为an≠0，所以Tn当n≥2时，an=TnT所以数列Tn可得Tn所以an（2）由题意知bn当n为偶数时，Sn当n为奇数时，Sn所以Sn=4n+42n+1【题型9含绝对值的等差数列问题】【例9】（2024·四川成都·二模）已知数列an的前n项和Sn=−12(1)确定常数k，并求an(2)求数列an的前15项和T【解题思路】（1）根据题意，求得Sn=−12n（2）由（1）求得Sn=−1【解答过程】（1）解：由数列an的前n项和S根据二次函数的性质，可得当n=k时，Sn即Sk=−12k2当n≥2时，an当n=1时，a1所以数列an的通项公式为a（2）解：由（1）知an=7且当n≤3且n∈N∗时，可得an>0；当n≥4且所以数列an的前15项和：T【变式9-1】（2024·安徽宣城·二模）已知数列an是首项为1的等差数列，公差d>0，设数列an的前n项和为Sn，且S1，(1)求an(2)求数列an−8的前n项和【解题思路】（1）根据给定条件，利用等比中项的意义、等差数列前n项和公式求解作答.（2）令bn=an−8【解答过程】（1）因为S1,S即2+d2=4+6d，而d>0，解得d=2，则所以an的通项公式是a（2）由（1）知，令bn=a设bn的前n项和为Pn，则若n≤4，Tn=b1+若n≥5，T=P所以Tn【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列an,a1=−10，记Sn为an的前n(1)求Sn(2)设an的前n项和为Tn，求【解题思路】（1）设等差数列an的公差为d，分别选择①②③，求得公差d的值，结合等差数列的通项公式和前n（2）由（1）中的通项公式，结合等差数列的求和公式，即可求解.【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d，且a选择①：（1）因为2a5+a8所以an=a利用二次函数对称性和开口方向知，Sn=n因为n∈N*，所以当n=5或6时，选择②：因为S11=−55，可得因为a1=−10，所以a11=0，此时因为d>0，所以an单调递增，且当n≥11时，a所以当n=10或11时，Sn最小，此时S选择③：因为S77−S55=2所以an=a利用二次函数对称性和开口方向知，Sn=n因为n∈N*，所以当n=5或6时，（2）解：若选择①或③：由（1）知an=2n−12，当n≥6时，所以TT20=a若选择②：由（1）知an=n−11，且当n≥11时，an所以TT20=a【变式9-3】（2024·广东·模拟预测）已知数列an与bn为等差数列，a2=b3，a1(1)求出an与b(2)是否存在每一项都是整数的等差数列cn，使得对于任意n∈N+，cn都能满足【解题思路】（1）由等差数列通项公式及通项公式，可求出an与b（2）根据第一小问求得的an与bn的通项公式，结合题意，可得出【解答过程】（1）∵等差数列前n项和公式为d2n2+a1−∴d2=12，a1−d又∵b3=a2=11，b1=综上所述：an=n+9，（2）由题意可知，cn需满足4n+11当n≤3时，3n+2≤cn≤n+9，即5≤c1当n≥4时，n+9≤cn≤3n+2若c3=11，c4=13，则c1=7，c2若c3=11，c4=14，则c1=5，c2若c3=12，c4=13，则c1=10，c2若c3=12，c4=14，则c1=8，c2综上所述：存在数列cn，为cn=2n+5，cn=3n+2【题型10等差数列中的恒成立问题】【例10】（2024·贵州六盘水·三模）已知an为等差数列，且a5＝(1)求an(2)若2n⋅λ≥a【解题思路】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解；（2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解．【解答过程】（1）设数列an的公差为d，则根据题意可得a解得a1=4d=2（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到Sn又2n⋅λ≥a设fn=n当n＝1时，f2当n≥2时，−n2−n+4≤−2，则f(n+1)−f则fnmax=f(2)故实数λ的取值范围为[5【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)若a1≠2，求证：(2)对任意n,m∈N*,m≠n，都有S【解题思路】（1）先写出数列an+S（2）设n>m，将Sn−Smn−m>1恒成立转化为Sn【解答过程】（1）因为an+S所以an所以an+1由②-①，得2an+1−因为a1≠2，即所以an−2是以a1（2）由（1）得当a1≠2时，当a1=2时，适合上式，所以因为对任意n,m∈N*,m≠n不妨设n>m，则Sn−Sm>n−m设fn则fn+1所以a1−2⋅因为2−2n单调递减，所以2−2综上所述，a1的取值范围是0,+【变式10-2】（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前(1)求{a(2)设bn=1anan+1，数列{bn【解题思路】（1）先求得a1的值，然后利用an与Sn的关系推出数列{（2）首先结合（1）求bn的表达式，然后用裂项法求得Tn，再根据数列{T【解答过程】（1）当n=1时，由题设得a12+3a1+2=6a由an2+3两式相减得：an+12−由于an>0，可得an+1所以{an}是首项为1所以an（2）由an=3n−2Tn=b因为Tn+1所以Tn+1>T所以t≤4Tn⇔t4【变式10-3】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列an的前n项之和bn=a1+a2+⋯+(1)求证：1cn为等差数列，并分别求(2)设数列an⋅bn+1的前n项和为Sn，不等式S【解题思路】（1）利用已知关系可得bn=cncn−1，代入bn（2）由（1）得an⋅bn+1=1n【解答过程】（1）由题意知：当n≥2时，bn=cnc所以1c由b1=c所以1c所以1cn=n+1，c当n≥2时，an当n=1时，a1=b（2）由（1）得an所以S==3显然Sn单调递增，所以S由题意得1λ+λ−13又λ>0，所以λ的取值范围为12【题型11与等差数列有关的新定义、新情景问题】【例11】（2024·黑龙江·三模）如果n项有穷数列an满足a1=an，a2=(1)设数列bn是项数为7的“对称数列”，其中b1,b2(2)设数列cn是项数为2k−1(k∈N∗且k≥2)的“对称数列”，且满足cn+1−cn①若c1，c2，…，ck构成单调递增数列，且ck=2023②若c1=2024，且S2k−1【解题思路】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果；（2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果【解答过程】（1）因为数列bn是项数为7的“对称数列”，所以b又因为b1,b所以数列bn（2）①由c1，c2，…，ck是单调递增数列，数列cn是项数为可知c1，c2，…，ck构成公差为2的等差数列，ck，ck+1故S=22023k+所以当k=−4048−4=1012②因为cn+1−c所以cn+1−c于是ck因为数列{c所以S≥(2k−1)c因为S2k−1=2024，故解得k≤1或k≥2025，所以k≥2025，当c1，c2，…，ck构成公差为−2且S2k−1=2024，此时k=2025，所以【变式11-1】（2024·福建南平·二模）若数列cn共有mm∈N*,m≥3项，对任意ii∈N*,i≤m都有cicm+1−i=S（S为常数，且S>0(1)若m=3，a1=1，a2(2)已知数列bn是公差为dd≠0的等差数列，b1=−11，若m=10，an(3)若数列an是各项均为正整数的单调递增数列，求证：a【解题思路】（1）依题意可得S=a2a（2）依题意aia11−i=S，即可得到（3）依题意可得am−i+1【解答过程】（1）依题意S=a2a2=4（2）法一：由m=10知对任意ii∈N*,i≤10即bi+2所以b1所以−d所以−d因为d≠0，b1=−11，所以S=122法二：当i=1,2时由S=a1a所以b1即b1令p=b12则p+16d因为d≠0，b1=−11，所以p=q，即d=2，S=1，当1≤i≤10时都有a=−9+2i所以d=2，S=1成立.（3）由已知a1am=S，所以am−i+1所以a<S<S1即am【变式11-2】（2024·江苏南京·二模）已知数列an的前n项和为Sn．若对每一个n∈N∗，有且仅有一个m∈N∗，使得Sm≤an<Sm+1(1)若an的前四项依次为0，1，−1，1，试判断an是否为“(2)若Sn=2n，证明(3)已知正项数列an为“X数列”，且an的“余项数列”为等差数列，证明：【解题思路】（1）依次求出S1,S（2）由Sn=2n先求出数列an（3）先探究b1,b2得出“余项数列”公差情况d≤0，再讨论d<0时n>1−a2d推出矛盾得到d=0，接着探究n≥3时若m+1≥n【解答过程】（1）由题S1所以有S1≤a故根据“X数列”的定义an不是“X（2）因为Sn所以当n=1时，a1当n≥2时，an则a1=2不满足an令Sm≤a则当n=1时，有2m≤a当n≥2时，有2m≤2n−1<则对每一个n∈N∗n≥2，有且仅有一个m∈N∗综上，对任意n∈N∗，有且仅有一个m∈N所以an为“X由上bn=S即an的“余项数列”通项公式为bn=（3）因为an是正项数列，所以S所以S1≤a因为a2<S2，且所以a1=S1≤an的“余项数列”bn为等差数列，故其公差因为Sm≤a若d<0，则当n>1−a2d时，b故d=0，所以bn=a2=对于n≥3，若m+1≥n，则a2≤S所以m+1≤n−1，故Sn所以Sn−a所以Sn又S1所以Sn≤1+【变式11-3】（2024·贵州·三模）差分密码分析（DifferentialCryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列ann∈N*，规定Δan为数列an的一阶差分数列，其中Δan=an+1−an；规定Δ2a(1)设数列A:1,3,7,9,13,15，判断数列A是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；(2)设数列an的通项公式an=2(3)设各项均为正数的数列cn为“累差不变数列”，其前n项和为Sn，且对∀n∈N*，都有k=1nΔ2ck=Δ【解题思路】（1）根据“绝对差异数列”和“累差不变数列”的定义判断即可；（2）分别求出数列Δa（3）根据等差数列的性质以及新定义求解出Sn+Sm，运用基本不等式求解出【解答过程】（1）对于数列A:1,3,7,9,13,15，可得：一阶差分数列为2,4,2,4,2，不满足Δa所以不是“绝对差异数列”，二阶分差数列为2,−2,2,−2，满足Δ2所以是“累差不变数列”；（2）因为an所以Δan=因为Δa1=7，所以数列Δan因为Δ2所以数列数列Δan是首项为4，公差为（3）由题意得Δ2对∀n∈N*，都有所以Δ2所以Δ2所以cn+2−c设数列cn的公差为d，则c当d=0时，cn=c当d<0时，当n>1−c1d与数列cn的各项均为正数矛盾，故d>0Sn则SnSk因为m≠n，所以m2所以Sn则当t≤2时，不等式Sn另一方面，当t>2时，令m=k+1,n=k−1k∈则SnSk则t=d因为d2所以当k>dt−2c即有Sn+S综上所述，实数t的最大值为2.一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列an满足a2+a3=14，且A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据等差数列通项公式直接求解即可.【解答过程】设等差数列an的公差为d，因为a2+所以a2+a故选：A.2．（2024·新疆·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a7a8A．S4 B．S5 C．S6【解题思路】根据题意结合等差数列的性质求解即可，或根据题意利用等差数列的通项公式化简，再化简S10【解答过程】因为a7a8=−1，所以因为S10−S另解：设等差数列an的公差为d由a7a8所以a1+6d+a1+7d=0所以S10因为S4S5S6S7所以S故选：A．3．（2024·天津滨海新·三模）已知数列an为各项不为零的等差数列，Sn为数列an的前n项和，4SnA．4 B．8 C．12 D．16【解题思路】由数列的递推式，分别令n=1,n=2，结合等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再根据等差数列通项公式即可得到答案．【解答过程】设等差数列an公差为d，∵4∴当n=1时，4S1=4∴a1当n=2时，4S2=a2⋅a3⇒4a∴a1∴a8故选：D．4．（2024·河北衡水·三模）已知数列an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，TA．2 B．3 C．5 D．6【解题思路】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解.【解答过程】因为数列an,b且b6+b10=因此a7故选：A．5．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（

）A．167 B．168 C．169 D．170【解题思路】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为an【解答过程】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为an则an故an−1为12的倍数，所以所以an令1≤an≤2000，即1≤12n−11≤2000，且n∈且n∈N*，又故选:A.6．（2024·山东泰安·三模）已知Sn为等差数列an的前n项和，a1=−21，S7A．−99 B．−100 C．−110 D．−121【解题思路】设an的公差为d，根据题意列出方程组，求得d=2，得到an=2n−23【解答过程】设an的公差为d，因为a1=−21可得a1=−217a1可得Sn所以当n=11时，Sn取得最小值S故选：D.7．（2023·重庆·二模）已知等差数列an的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B−A=45，2A=B+615，则an=A．3n−2 B．3n−1 C．3n+1 D．3n+2【解题思路】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.【解答过程】设等差数列的公差为d，首项为a1则B−A=15d=45，所以d=3，因为2A=B+615，即2A=A+45+615，则A=660，等差数列的奇数项是以a1为首项，2d为公差的等差数列，等差数列an的前30项中奇数项有15项，所以A=15a所以an故选：B.8．（2024·湖北·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+m，n∈N*A．−2 B．0 C．1 D．2【解题思路】由Sn与an的关系且an为等差数列，求出an，由ann<2，得x2−(1+a)x−2【解答过程】因为Sn=n2+mn≥2时，an所以a1=1+m，a2因为an为等差数列，所以a1=1从而an=2n−1，所以x2−(1+a)x−2a则当0≤a≤1时，g(a)=2ag(0)=−x2+x≤0g(1)=2+1+