2025年高考数学复习(新高考专用)重难点02函数性质的灵活运用【八大题型】特训(学生版+解析)

重难点02函数性质的灵活运用【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1函数的单调性的综合应用】 ④函数或函数．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性的常用结论】1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.3．函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．【知识点4抽象函数的解题策略】1．抽象函数及其求解方法我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.【题型1函数的单调性的综合应用】【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数fx定义域为R，且函数fx与fx+1均为偶函数，当x∈0,1时，fx是减函数，设a=f38，b=f92，c=fA．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>a>c【解题思路】根据题意，由条件可得函数fx是周期为2的函数，则可得b=f12【解答过程】因为函数fx是偶函数，则f又函数fx+1为偶函数，则f即fx=f2+x则b=f92=f且当x∈0,1时，f由14<38<故选：C.【变式1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，当x>0时，f(x)>1，且f(2)=5，则关于x的不等式f(x)+f(4−3x)<6的解集为（

A．1,+∞ B．2,+∞ C．−∞，【解题思路】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可.【解答过程】任取x1从而f(=f(x因为x2−x所以f(x则fx在R不等式f(x)+f(4−3x)<6等价于不等式f(x)+f(4−3x)−1<5，即f(x+4−3x)<f(2)．因为fx在R所以4−2x<2，解得x>1．故选：A.【变式1-2】（2024·山东·二模）已知函数fx=2x2−mx+1在区间−1,+A．7,+∞ B．C．−∞,7 【解题思路】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得m≤−4，再由f1=3−m，进而求得【解答过程】由函数fx=2x因为函数在区间−1,+∞上是增函数，所以m4≤−1又因为f1=3−m，因此3−m≥7，所以f1故选：A．【变式1-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间(−m,m)(m>0)上，值域为R的函数f(x)满足：①当0<x<m时，f(x)>0；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：f(a+b)=f(a)+f(b)1−f(a)f(b)．则（A．f(0)=1B．∀C．函数f(x)在区间(0,m)上单调递减D．函数f(x)在区间(−m,m)上单调递增【解题思路】赋值：令a=b=0代入可得f(0)=0，令a=x,b=−x代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在(−m,m)的单调性.【解答过程】对A，令a=b=0，则f(0)=2f(0)f(0)−f3(0)=2f(0)故f(0)=0，所以A不正确；对B，取a=x,b=−x代入：f(0)=f(a)+f(b)即f(x)=−f(−x)，即f(x)在(−m,m)上为奇函数，设∀x所以f(x2−故：f(=f(即：f(x对C，由B知函数在0,m上单调递增，故C错误；对D，由C结合函数为奇函数且f(0)=0，所以f(x)在(−m,m)上单调递增，故D正确.故选：D.【题型2函数的最值问题】【例2】（2024·安徽淮北·二模）当实数t变化时，函数fx=xA．2 B．4 C．6 D．8【解题思路】先对内函数y=x2+t对应的方程的根的情况分类讨论，得出t≥0【解答过程】若△=−4t≤0，即t≥0时，f(x)=x2+t，其对称轴为x=0此时，因t≥0，故g(t)=t+16的最小值为16；若t<0，由y=x2+t=0（Ⅰ）如图1，当−t≤4时，即−16≤t<0时，fx=在[−−t在[0,−t]上递减，在[−t①当−16≤t≤−8时，t+16≤−t，故fxmax=−t，而g(t)=−t减，则此时，g(t)②当−8<t<0时，t+16>−t，故fxmax=t+16，而ℎ(t)=t+16递增，则此时，g(t)>ℎ(−8)=8.（Ⅱ）如图2，当−t>4，即t<−16时，fx=x2则此时fxmax=f(0)=|t|=−t，而φ(t)=−t在(−综上，函数fx故选：D.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知x>0，y>0且x+y=1，则x21+xA．15 B．25 C．35【解题思路】由基本不等式和x+y=1可得0<xy≤14，化简可得11+【解答过程】因为x+y=1，所以x+y=1≥2xy，当且仅当x=y=所以0<xy≤1因为11+x2令t=3−2xy，则t∈52,3所以11+由对勾函数y=x+5x在[5所以当t=52时，所以x2故选：B．【变式2-2】（2024·江西鹰潭·三模）若fx=x+2+3x−aA．6或−18 B．−6或18C．6或18 D．−6或−18【解题思路】分a>−6，a<−6，a=−6三种情况，得出每种情况下fx的最小值，令其为4，解出a【解答过程】当a>−6时，fx∴fxmix当a<−6时，fx∴fxmix当a=−6时，fx=4x+2故选：A.【变式2-3】（2024·全国·三模）已知函数fx=bx−b+3x3在−1,1上的最小值为−3A．−∞,−4 B．9,+∞ C．−4,9【解题思路】由已知可得当−1≤x<1时，可得bx【解答过程】因为f1=−3，函数fx=bx−b+3所以对∀x∈−1,1，f所以bx−b+3x3当x=1时，b∈R当−1≤x<1当x=0或x=当0<x<1时，b≥−3因为x2+x∈0,2，所以1x2所以b≥−9当−1<x<0时，b≤−31+因为x2+x∈−14,0，所以所以b≤9.综上可得，实数b的取值范围是−9故选：D.【题型3函数的奇偶性的综合应用】【例3】（2024·安徽亳州·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gA．ff2>fC．gg2>g【解题思路】根据题意，利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负，即可求解.【解答过程】因为fx，gx在0,+∞上单调递减，f所以gx在R上单调递减，fx在对于A中，由f2>f3对于B中，因为gx是定义在R上的奇函数，可得g又因为gx在0,+∞上单调递减，可得因为fx在0,+∞上单调递减，且fx为偶函数，所以f所以fg对于C中，由g2>g3，gx在对于D中，由f2>f3，gx在故选：D.【变式3-1】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数fx满足：对任意实数x，y，都有ffx+y=fxA．fx+1为奇函数 B．fC．fx+1为偶函数 D．f(x)−1【解题思路】由题意令x=y=0，可得f1=2，令y=−x，可得2=fx+f−x【解答过程】令x=y=0，则ff0=f0+f令y=−x，则ff即f1=fx所以y=f(x)关于(0,1)对称，所以fx+1关于(−1,1)f(x)+1关于(0,2)对称，故B不正确；由A可知|fx+1|关于由A可知f(x)−1关于(0,0)对称，故f(x)−1为奇函数，所以|f(x)−1|为偶数，故D正确.故选：D.【变式3-2】（2024·辽宁沈阳·三模）已知fx是定义在R上的函数，且f2x−1为偶函数，fx−2是奇函数，当x∈0,1时，fxA．−1 B．−12 C．1【解题思路】根据偶函数的性质得到fx=f−x−2，再由奇函数的性质得到f【解答过程】因为f2x−1为偶函数，所以f即fx−1所以fx又fx−2是奇函数，所以f即fx=−fx−2则fx+4所以fx是以4又当x∈0,1时，fx=则f−1所以f7故选：A.【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的m<n<0，都有(m−n)(f(m)−f(n))<0，且f(−2)=0，则不等式f(x+1)−f(−x−1)x≥0的解集为（A．[−3,−1]∪[0,1] B．[−2,2]C．(−∞,−3)∪(−2,0)∪(2,+∞【解题思路】由对任意的m<n<0，都有(m−n)(f(m)−f(n))<0，得fx在(−∞,0)上单调递减，由函数fx是定义在R上的奇函数得f(−2)=−f(2)=0，f(0)=0，fx【解答过程】对任意的m<n<0，都有(m−n)⋅(f(m)−f(n))<0，所以fx在(−因为函数fx是定义在R上的奇函数，f(−2)=−f(2)=0，f(0)=0所以fx在(0,+∞)

所以f(x+1)−f(−x−1)x则f(x+1)≥0x>0或f(x+1)≤0x<0或即x≤−3或−1≤x≤1x>0或−3≤x≤−1解得x∈[−3,−1]∪(0,1]，故选：D．【题型4函数的对称性及其应用】【例4】（2024·四川·三模）定义在R上的函数y=fx与y=gx的图象关于直线x=1对称，且函数y=g2x−1+1为奇函数，则函数A．−1,−1 B．−1,1 C．3,1 D．3,−1【解题思路】先根据条件得到gx的对称中心，再根据对称得到y=f【解答过程】因为y=g2x−1+1为奇函数，所以即g−2x−1故gx的对称中心为−2x−1+2x−12,−1由于函数y=fx与y=gx的图象关于直线且−1,−1关于x=1的对称点为3,−1，故y=fx的对称中心为3,−1故选：D.【变式4-1】（2024·宁夏银川·三模）已知函数fx=2A．函数fx单调递增 B．函数fxC．函数fx的图象关于0,1对称 D．函数fx的图象关于【解题思路】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，f2−x与f【解答过程】fx函数y=2−2t，t=2又内层函数t=2x−1+1在R上单调递增，外层函数y=2−所以根据复合函数单调性的法则可知，函数fx因为2x−1+1>1，所以0<2所以函数fx的值域为0,2f2−x=2所以函数fx关于点1,1故选：C.【变式4-2】（2024·四川南充·三模）已知函数fx、gx的定义域均为R，函数f(2x−1)+1的图象关于原点对称，函数g(x+1)的图象关于y轴对称，f(x+2)+g(x+1)=−1,f(−4)=0，则f(2030)−g(2017)=A．−4 B．−3 C．3 D．4【解题思路】利用题设得到fx+f−2−x=−2①和g−x+1=gx+1②，又由f(x+2)+g(x+1)=−1，结合①式，推得g(x)的周期为12，利用f(−4)=0【解答过程】由函数f(2x−1)+1的图象关于原点对称，f−2x−1即f(−x−1)=−2−f(x−1)，即fx由函数g(x+1)的图象关于y轴对称，可得g−x+1由fx+2+gx+1=−1可得两式相加，fx+f−2−x则得gx−5+g−x+1=0，将②式代入得，于是gx+12=−gx+6又f(−4)=0，由①可得f2+f−4又由fx+2+gx+1=−1可得因f2030+g2029于是，f(2030)−g(2017)=−1−g故选：B.【变式4-3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数y=f(x)的定义域是−∞,0∪0,+∞，对任意的x1，x2∈0,+∞，x1≠xA．−1,0∪0,1 C．−∞,−1∪【解题思路】由题意，构造函数g(x)=xf(x)，判断函数g(x)的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【解答过程】由函数y=f(x+1)图象关于点(−1,0)中心对称，知函数f(x)图象关于点(0,0)中心对称，所以f(x)为奇函数.令g(x)=xf(x)，则g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，所以g(x)为偶函数，对于∀x1,x2∈(0,+∞所以g(x)在(−∞由f(1)=4，得g(1)=4，g(−1)=4，当x>0时，f(x)>4x变形为xf(x)>4，即g(x)>g(1)，解得当x<0时，f(x)>4x变形为xf(x)<4，即g(x)<g(−1)，解得综上，不等式f(x)>4x的解集为故选：B.【题型5对称性与周期性的综合应用】【例5】（2024·全国·模拟预测）若定义在R上的函数fx满足fx=fx，且A．f8+x=fx B．fC．f201=3 D．【解题思路】本题考查抽象函数的图象与性质内容，根据已有条件fx=fx和f【解答过程】由fx=f又f2+x+f2−x=6，所以所以f8+x由A可得，f8+x=f−x，所以f由A可得，fx是周期为8的函数，f又由f2+x+f2−x=6,f3对于D，由f2+x+f2−x=6所以y=fx+2故选：C.【变式5-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在R上的函数fx满足f2−x=f①直线x=1为曲线y=fx的对称轴；②点23,0为曲线y=fx的对称中心；③函数fx其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据f2−x=fx可得函数对称轴，可判断①；根据ft+2=−f【解答过程】由f2−x=fx因为ft+2=−f所以fx由f3x+2为奇函数有f−3x+2=−f3x+2，令t=3x得f−t+2又直线x=1为曲线y=fx的对称轴，以f则fx的对称中心为2k,0令t=0，则f2=−f2，所以f2=0，在f于是f1=2，f2=0，f3=−f1因为fx的图象关于点2,0对称⇒f所以fx=−f−x故选：C.【变式5-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，记gx=f′x，函数f2x+3A．gx不为周期函数 B．fx的图象不关于点C．g211=1【解题思路】利用函数成中心对称的恒等式来证明新函数的对称性，再利用双对称来证明函数的周期性，从而就可以来判断各选项.【解答过程】因为函数f2x+3的图象关于点−1,1所以f2x−1+3则fx的图象关于点1,1由fx+3=x+f3−x令ℎx=fx由ℎx+3=ℎ3−x，得ℎ又fx的图象关于点1,1对称，则f所以ℎx+1+1则可得ℎx的图象关于点1,故ℎx为周期函数，且周期为8，ℎ所以，f985又fx=ℎx所以f′x=f′x+8，由由fx+3=x+f3−x由gx=f′x得：g利用gx的周期为8，则g故选：C．【变式5-3】（2024·陕西榆林·一模）定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f(0)<0，f(3−x)=f(1+x)，g(2−x)+g(x)=2，g(x+12)=f(2x)+1，则下列说法中错误A．x=6是函数f(x)图象的一条对称轴B．2是g(x)的一个周期C．函数f(x)图象的一个对称中心为3,0D．若n∈N∗且n<2023，f(n)+f(n+1)+⋯+f(2023)=0，则【解题思路】由已知可推得gx关于直线x=32对称，g2−x−1=gx+1−1.又有g1−x−1=−g1+x+1.进而得出g1−x=−g2−x，即有g−x=g−x+2，即可得出B项；根据gx的周期可得出fx【解答过程】由f(3−x)=f(1+x)可得f(2−x)=f(2+x)，所以f(x)关于直线x=2对称，所以f2x关于直线x=1对称，即gx+1所以gx+12关于直线x=1对称，所以g所以有g3−x=gx，所以有g又由g2−x+g(x)=2可得，g1−x+g1+x所以g1−x对于B项，因为g2−x−1=gx+1所以，g1−x=−g2−x所以，gx的周期为T=2对于A项，由已知f2x=gx+因为f(x)关于直线x=2对称，所以x=6是函数f(x)图象的一条对称轴，故A项正确；对于C项，gx关于点1,1对称，所以f2x=g所以fx关于点1,0对称，所以f又f(x)关于直线x=2对称，所以f4+x所以f4+x=−f2−x所以函数f(x)图象的一个对称中心为3,0，故C项正确；对于D项，由C知，fx关于点1,0对称，fx关于点所以，f0+f2=0，又fx的周期为4，所以对k∈Z，因为f2023则当n=2时，有f(n)+f(n+1)+⋯+f(2023)=f2因为f0+f2当n=1时，f(n)+f(n+1)+⋯+f(2023)=f1当n=3时，f(n)+f(n+1)+⋯+f(2023)=f3故n的最小值为3，D错误.故选：D.【题型6类周期函数】【例6】（2024·山东青岛·模拟预测）函数fx的定义域为R，满足fx=2fx−1，且当x∈0,1时，fx=x1−x.若对任意A．115 B．145 C．3215【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【解答过程】因f(x)=2f(x−1)，又当x∈0,1时，f(x)=−当x∈(k,k+1]，k∈N∗，时，则f(x)=2f(x−1)=2f(x)=2当x∈(−k,−k+1]，k∈N∗，时，则f(x)=2f(x)=2作出函数fx对任意x∈−∞,m设m的最大值为t，则ft=所以−22所以m的最大值为115故选：A.【变式6-1】（2024·云南昆明·二模）定义“函数y=fx是D上的a级类周期函数”如下:函数y=fx,x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有afx=fx+T恒成立，此时T为fx的周期.若y=fx是1,+∞上的a级类周期函数，且T=1，当x∈1,2A．56,+∞ B．2,+∞ C．【解题思路】由题可得fx=a【解答过程】∵x∈1,2时,f∴当x∈2,3时,f当x∈n,n+1时,f即x∈n,n+1时,f∵f(x)在1,+∞∴a>0且an−1解得a≥5∴实数a的取值范围是53故选：C.【变式6-2】（2024·河南新乡·三模）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x−2)=2f(x)，且当x∈(0,2]时，f(x)=x(2−x).若对任意x∈[a,+∞)，都有f(x)≤38成立，则A．72,+∞C．−∞,−3【解题思路】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出m的取值范围.【解答过程】因为当x∈(0,2]时，f(x)=x(2−x)；f(x−2)=2f(x)，所以f(x)=12f(x−2)，即若f(x)在(0,2]上的点的横坐标增加2，则对应y值变为原来的1当x∈(0,2]时，f(x)=x(2−x)=−(x−1)2+1故当a<0时，对任意x∈[a,+∞)，当x∈(2,4]时，f(x)=1同理当x∈4,6时，f(x)=−以此类推，当x>4时，必有f(x)≤3函数fx和函数y=因为当x∈(2,4]时，f(x)=−1令−12(x−3)2+因为当x∈a,+∞时，f(x)≤3故选：A.【变式6-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）定义在R上的函数fx满足fx+1=12fx，且当x∈0,1时，fxA．278 B．298 C．134【解题思路】根据已知计算出fx=12n1−2x−【解答过程】由题意得，当x∈1,2时，故f当x∈2,3时，故f可得在区间n,n+1n∈Z上，所以当n≥4时，fx≤3

当x∈72,4时，由f所以m的最小值为29故选：B.【题型7抽象函数的性质及其应用】【例7】（2024·山西吕梁·一模）已知函数fx满足fx+y+fA．f0=3 B．函数f2x−1C．fx+f0≥0【解题思路】解法一：令x=1，y=0代入判断A；令x=0，利用奇偶性和对称性的概念判断B；令y=x判断C；令y=1，利用周期性的概念判断D；解法二：构造函数f(x)=3cos【解答过程】解法一：令x=1，y=0，则2f1=2令x=0，则fy所以fy=f−y所以f2x−1=f−2x+1=f2令y=x，则f2x令t=2x，则ft+f0令y=1，则fx+1所以fx+2①②联立得fx+2所以fx+3=−fx，fx+6=−f解法二：构造函数f(x)=3cos满足f1=3f0f2x−1因为f2x−1表示y=3cos2π3x的图象向右平移所以f2x−1关于直线x=由余弦函数的图象和性质可知fxfx的周期T=故选：D.【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）已知定义域为R的函数fx,gx满足：g0≠0，fA．g0=1 B．C．若f1+g1=1，则f【解题思路】B选项，根据fxgy−fygx=fx−y得到fy−x=−fx−y，故fx为奇函数；A选项，由B可知f0=0，赋值得到g【解答过程】B选项，由fxgy所以fy−x=−fx−yA选项，由fx是奇函数得f0=0由gxgy又g0≠0，得D选项，由gxgy−fxfyC选项，由题意得f=f令y=1得fx−1当f1+g1故f2−g2f2024故选：D.【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）设函数fx的定义域是0,+∞，且对任意正实数x，y都有fxy=fx+fy(1)求f1(2)判断y=fx在区间0,+(3)解不等式f2x【解题思路】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解.【解答过程】（1）由题意，函数fx对任意的正实数x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)令x=y=1，可得f(1)=f(1)+f(1)，所以f1令x=2,y=12，可得f(1)=f(2)+f(12)（2）函数fx设x1,x令x=x1,y=x2又由x>1时，f(x)>0，因为x2x1>1，可得f(x所以函数y=f(x)在(0,+∞（3）由题意和（1）可得：f(8x−6)−1=f(8x−6)+f(1又由不等式f(2x)>f(8x−6)−1，即可得2x>4x−34x−3>0，解得即不等式f(2x)>f(8x−6)−1的解集为【变式7-3】（2024·江西·模拟预测）已知函数p(x)，q(x)的定义域均为R，且满足：①∀x>0，p(x)>0；②q(x)为偶函数，q(x)≥q(0)=1；③∀x，y∈R，p(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y).(1)求p(0)的值，并证明：p(x)为奇函数；(2)∀x1,①p(x②p(x)单调递增.【解题思路】（1）用赋值法，令x=y=0可求得p(0)，再令y=−x，使用q(x)≥1>0恒成立可证得p(x)是奇函数；（2）①由x1②设x1由p(x1)=p(x1【解答过程】（1）证明：在p(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y)中令x=y=0，则p(0)=p(0)q(0)+q(0)p(0)=2p(0)，所以p(0)=0，令y=−x，则p(0)=p(x)q(−x)+q(x)p(−x)，q(x)是偶函数，所以p(x)q(x)+p(−x)q(x)=0，又q(x)>0，所以p(x)+p(−x)=0，即p(−x)=−p(x)，所以p(x)是奇函数；（2）证明：①p(x②设x1<x2，则x2由①可得p(x又p(x)是奇函数，q(x)是偶函数，所以p(=p所以p(x所以p(x1)<p(【题型8函数性质的综合应用】【例8】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知fx=ax2(1)求fx(2)设函数gx=x2−2mx+4m∈R【解题思路】（1）根据函数的奇偶性即可得c=0，进而结合f(1)=1（2）将问题转化为gx【解答过程】（1）x∈−2,2，且fx+f将x=0代入fx+f−x=0可得f0即fx=ax2+bx4+解得a=0b=1，故ffx=x（2）只要gx2max<fx∵1≤x1<x2≤2，∴故函数fx=x法一：gx=xy=x+195x在1,95当x=1时，x+195x=245故当x=1时，x+195xmax法二：gx=x当m≤32时，gxmax=g(2)<当m>32时，gxmax=g(1)<15综上所述：m>12【变式8-1】（2024·上海宝山·一模）已知函数fx=x(1)判断函数fx(2)若函数Fx=x⋅fx在x=1处有极值，且关于x的方程F(3)记gx=−ex（e是自然对数的底数）.若对任意x1、x2∈【解题思路】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；（2）根据极值，求出a=1，得到F(x)=x3−x2（3）根据g(x)的单调性，问题转化为gx1−gx2<fx1−fx2【解答过程】（1）fx=x2−ax−a，因为f(x)的对称轴为x=a2，故当a=0时，f(x)的对称轴为y（2）Fx=x⋅fx在x=1处有极值，因为F(x)=x3−axF(x)=x3−故x∈(−∞,−13)和(1,+∞)因为关于x的方程Fx=m有3个不同的实根，根据函数的图象，当F(1)<m<F(−13（3）gx=−ex，g(x)单调递减，对任意x1g(x2)−g(则对任意x1、x2∈0,e转化为，对任意x1、x2∈0,ef(x所以，函数f(x)+g(x)在[0,e]上单调递减，函数f(x)−g(x)在①函数f(x)+g(x)在[0,e]上单调递减，即f′又因为，fx=x2−ax−a得2x−ex≤a在[0,e]上恒成立，令ℎ(x)=2x−ex，ℎ′(x)=2−ex，令ℎ′(x)=0②函数f(x)−g(x)在[0,e]上单调递增，即f′又因为，fx=x2−ax−a2x+ex≥a在[0,e]上恒成立，因为函数y=2x+ex综上所述，实数a的取值范围为：2ln【变式8-2】（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数f(x)的定义域为R，∀a,b∈R，fa+b+fa−b=3fa(1)求证：f(x)+f(0)≥0；(2)求f(1)+f(2)+⋯+f(2023)的值；(3)当x∈R时，求不等式3f(2x)+4≤9f(x)的解集．【解题思路】（1）借助赋值法令a=b=x（2）借助赋值法可得f(x)为周期为6的周期函数、并可计算出f0、f1、⋯、（3）借助赋值法令a=b=x，可将原不等式转化为9f2x【解答过程】（1）令a=b=x2，则有由f2x2（2）令b=1，则有f(a+1)+f(a−1)=3f(a)f(1)=fa则f(a)+f(a−2)=fa−1，即f(a)=f故f(a+1)+f(a−1)=fa−1−f(a−2)，即则fa−3+1=−fa−3−2故f(a+1)=f(a−5)，即有fx故函数f(x)为周期为6的周期函数，令a=1、b=0，则有f1+f1令a=1、b=1，则有f2+f0由f(a+1)=−f(a−2)，故f3f4=−f1=−1故f(1)+f(2)+⋯+f(2023)=337=3371（3）令a=b=x，则有f2x即f2x则3f2x即3f(2x)+4≤9f(x)可化为9f即解9f2x即13由f(1)=13、f(0)=23，且故x∈0,1又f(a−2)=−f(a−5)，即fx故f(x)在区间[3,6]上单调递增，又f(5)=13、f(6)=2又函数f(x)为周期为6的周期函数，故该不等式的解集为6k,6k+1∪【变式8-3】（2023·上海浦东新·模拟预测）已知定义域为D的函数y=fx.当a∈D时，若gx=fx−fax−a（(1)判断函数y=2x2+x+2（x∈R(2)若定义域为0 , +∞的T0函数y=sx(3)设P是满足下列条件的定义域为R的函数y=Wx组成的集合：①对任意u∈R，Wx都是Tu函数；②W0=W2=2，W−1=W【解题思路】（1）将x=1代入解析式，根据gx（2）由T0函数可知gx=sxx是0, +∞上的增函数，s（3）由题可知Wx是T0函数，也是T2函数，结合已知函数值及函数单调性，可得当x<0，或当x>2时，Wx>2，再讨论当0<x<2，结合W−1=W3=3可判断Wx>maxx, 2−x【解答过程】（1）是，理由：由题，gx=2x2故y=2x2+x+2（x∈R（2）因为y=sx是T0函数，且s0=0，所以因为s2λ有意义，所以λ≥0，显然，λ=0时不等式不成立，下设λ>0此时s2λ<λs2由gx的单调性得，2λ<2，即所求不等式的解集为0（3）由题意，Wx是T0函数，故y=Wx−2x是增函数，从而当x<0时，Wx−2x<W2−22=0当0<x<2时，同理可得，Wx−2x>W−1−2−1=−1因此，当m≤1时，Wx≥m对一切下证，任意m>1均不满足要求，由条件②知，m≤2.另一方面，对任意M∈1 ,对条件①，任取u∈R，有WM注意到y=x+u−2是增函数，而对ℎx=x−1−u−1x−u，当u<1时，因为M−14所以条件①成立.从而WMx∈P故m<M，从而m=1为所求最大值.一、单选题1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数fx=xx，则关于x的不等式fA．13,+∞ B．−∞,1【解题思路】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.【解答过程】由fx=xx=x由f2x>f1−x，有2x>1−x故选：A.2．（2024·陕西渭南·二模）已知函数f(x)=x2−2ax,x≥1a2x−1,x<1是A．(0,45) B．(0,45]【解题思路】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.【解答过程】由f(x)=x2−2ax,x≥1a2x−1,x<1是所以实数a的取值范围是(0,4故选：B.3．（2024·上海黄浦·二模）设函数fx=−x2+ax+20,−4≤x≤0aA．1,+∞ B．C．516,1 【解题思路】分−4≤x≤0和0<x≤4两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.【解答过程】当−4≤x≤0时，−x2+ax+20>0当x=0时，上式成立；当−4≤x<0，a<x−20x，明显函数y=x−20所以ymin=−4−20当0<x≤4时，ax2−2x+3>0令t=1x∈14又y=2t−3t2开口向下，对称轴为所以y=2t−3t2的最大值为所以a>1综上：实数a的取值范围是13故选：D.4．（2024·西藏·模拟预测）若函数fx=x−xA．fx+1−2 B．fx−1−2 C．【解题思路】变形得到fx=x+1+1【解答过程】因为fx所以fx−1由于gx=x+1又g−x故gx=x+1其他选项均不合要求.故选：C．5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x=f1−x，且fx在A．f4<f1C．f1<f2【解题思路】由f3+x=f1−x【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f又因为fx在2，+所以f4<f3故选：A．6．（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为xx≠0的函数fx满足fx+yfx+fy=fxA．f23=6C．fx为奇函数 D．fx在区间【解题思路】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D.【解答过程】令x=y=13，则所以2f23f13所以2f2令x=23，即2f23由题意，函数fx的定义域为(−令y=−2x，则fx−2xf令−x代换x,y，则f−x−xf−x所以2f−2x=f−x，令−x代换x由将2f−2x=f−x可得f−xfx所以f(x)为奇函数，故C正确；令x=y=1，则f2f1+f1故选：C.7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，函数Fx=f1+x−A．函数fx的一个对称中心为2,1 B．C．函数fx为周期函数，且一个周期为4 D．【解题思路】对于A，由G(x)为奇函数，则G(−x)=−G(x)，再将Gx=f2+3x−1代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得f(2)=1，再由F(x)为偶函数可得f(1+x)−f(1−x)=2x，令x=1可求出f(0)；对于C，由fx的图象关于点(2,1)【解答过程】对于A，因为Gx所以G(−x)=−G(x)，即f(2−3x)−1=−[f(2+3x)−1]，所以f(2−3x)+f(2+3x)=2，所以f(2−x)+f(2+x)=2，所以函数fx的图象关于点(2,1)对于B，在f(2−x)+f(2+x)=2中，令x=0，得2f(2)=2，得f(2)=1，因为函数Fx=f1+x所以f1−x所以f(1+x)−f(1−x)=2x，令x=1，则f(2)−f(0)=2，所以1−f(0)=2，得f(0)=−1，所以B正确，对于C，因为函数fx的图象关于点(2,1)对称，f(0)=−1所以f(4)=3，所以f(0)≠f(4)，所以4不是fx对于D，在f(2−x)+f(2+x)=2中令x=1，则f(1)+f(3)=2，令x=2，则f(0)+f(4)=2，因为f(0)=−1，所以f(4)=3，因为f(2)=1，所以f1故选：C.8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数y=fx是定义在R上的函数，f1+x=f1−x，函数fx+1的图象关于点−1,0对称，且对任意的x1,①fx+2②f−③函数y=fx在2,4④不等式fx≥0的解集为A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据题意可知函数fx是以4为周期的周期函数，且在−1,1上单调递增，在1,3上单调递减，3,5【解答过程】由函数fx+1的图象关于点−1,0对称，得fx的图象关于点0,0对称，即函数由f1+x=f1−x，得ff(x+4)=f[(x+3)+1]=f[1−(x+3)]=f(−x−2)=−f(x+2)=−f[(x+1)+1]=−f[1−(x+1)]=−f(−x)=f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数，①正确；对任意的x1,x不妨设x1>x2，则x13−f(−132)=f(−由函数fx是R上的奇函数，在0,1上单调递增，得函数fx在在1,3上单调递减，3,5上单调递增，③错误；由f(2)=f(0)=0，fx在−1,1上单调递增，在1,3上单调递减，得当x∈[−1,3]时，fx≥0又函数fx是以4为周期的周期函数，因此不等式fx≥0故选：C.二、多选题9．（2024·河北沧州·二模）已知fx是定义在0,+∞上的单调递增且图象连续不断的函数，若∀x,y∈0,+∞，恒有fx+yA．fB．∃C．fD．f【解题思路】对于A：令y=0，结合单调性分析即可判断；对于B：假设存在x0使得fx0=1，分析可知fx恒等于1，结合单调性分析判断；对于CD：利用反证法证明∀x∈0,+∞,fx【解答过程】对于选项A：令y=0，得fx+0=f因为fx在0,+∞上单调递增，可知fx所以f0对于选项B：若存在x0使得f令y=x0，得fx+这与fx单调递增矛盾，故∀x∈对于选项CD：若存在x1，使得f因为fx的图象连续不断，f故存在x2，使得fx2故∀x∈0,+∞,f则fx当且仅当fx又因为x1≠x令y=x≥0时，可得f2x则fx当x∈0,1时，令gx=因为y=1x+x,x∈可知gx=2又因为g0=0，则∀x∈0,1因为gf可知gfx1故选：AD.10．（2024·新疆·三模）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意实数x，y满足fx+y−fx−yA．f0=0 C．fx为奇函数 D．【解题思路】令y=0即可判断A；令x=y=1即可判断B；令x=1可得f(x)=f(1−x)−f(1+x)，结合奇函数的定义即可判断C；由选项C，令x=1−x可得f(1−x)=f(x)+f(x−2)，求出f(x)的周期即可求解.【解答过程】f(x+y)−f(x−y)=2g(x)f(y).A：令y=0，得f(x)−f(x)=2g(x)f(0)=0，则f(0)=0，故A正确；B：令x=y=1，得f(2)−f(0)=2g(1)f(1)，即f(2)=2g(1)f(1)，又f(2)+f(1)=0且f(2)f(1)≠0，所以2g(1)f(1)+f(1)=0，解得g(1)=−1C：令x=1，得f(1+y)−f(1−y)=2g(1)f(y)，即f(1+y)−f(1−y)=−f(y)，得f(y)=f(1−y)−f(1+y)，所以f(x)=f(1−x)−f(1+x)，得f(−x)=f(1+x)−f(1−x)，所以f(x)+f(−x)=0，则f(x)为奇函数，故C正确；D：由选项C知f(x)=f(1−x)−f(1+x)，又−f(1+x)=f(−x−1)，得f(x)=f(1−x)+f(−x−1)①，令x替换成1−x，得f(1−x)=f(x)+f(x−2)②，①②相加，得f(−x−1)+f(x−2)=0，则f(x−2)=−f(−x−1)=f(x+1)，得f(x)=f(x+3)，即f(x)的周期为3，所以f(0)=f(3)=0，因为f(1)+f(2)+f(3)=0,2024=674×3+2，所以n=12024故选：ABC.11．（2024·江西上饶·模拟预测）已知函数fx的定义域为R,∀x,y∈R,fx+yA．fx为偶函数 B．C．fx的周期为2 D．【解题思路】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解.【解答过程】因为f(x)定义域为R，∀x,y∈R，f(x+y)−f(x−y)=2f(12−x)f(y)A选项，令x=0，则f(y)−f(−y)=2f(1即f(−y)=−f(y)，所以f(x)为奇函数，故A错误；B选项，用x2替换x，用x2替换则f(x2+又f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0，因此f(x)=2f(1−xC选项，令x=12，则所以f(12+y)=f(又f(−x)=−f(x)，所以f(x+1)=−f(x)，因此f(x+2)=−f(x+1)=−[−f(x)]=f(x)，故C正确；D选项，令y=12−x即1−f(2x−1令x=12−y即1−f(12−2y)=2①+②整理得2=2f(即f(x)2故选：BCD.三、填空题12．（2024·青海海西·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且满足fx+20．【解题思路】根据题意，由函数的奇偶性以及fx+2=−f−x【解答过程】函数fx是定义在R上的奇函数，有f又由fx=−f−x和f可得函数fx的周期为2，则f故答案为：0.13．（2024·天津·一模）记不超过x的最大整数为[x]．若函数f(x)=|2x−[2x+t]|既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是12≤t<1【解题思路】根据题意取2x+t=m+n,(m∈Z,n∈0,1)，则f(x)=n−t，将问题转化g(n)=n−t在区间0,1上既有最大值也有最小值，然后分t≤0，【解答过程】取2x+t=m+n,(m∈Z,n∈0,1所以函数f(x)=|2x−[2x+t]|既有最大值也有最小值，即g(n)=n−t在区间0,1当t≤0时，g(n)=n−t在区间0,1上单调递增，只有最小值，无最大值，不合题意，当0<t<12时，g(n)=n−t在区间0,t又g(0)=t,g(1)=1−t，则g(0)<g(1)，此时g(n)=n−t当12≤t<1时，g(n)=n−t在区间0,t又g(0)=t,g(1)=1−t，则g(0)≥g(1)，此时g(n)=n−t有最大值为g(0)，最小值为g(t)=0当t≥1时，g(n)=t−n在区间0,1上单调递减，只有最大值，无最小值，不合题意，综上所述，实数t的取值范围是12故答案为：1214．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知fx,gx是定义域为R的函数，且fx是奇函数，gx是偶函数，满足fx+gx=ax2【解题思路】根据题意，得到−fx+gx=ax2−x+2，联立方程组，求得g(x)=ax2【解答过程】因为fx是奇函数，gx是偶函数，满足可得f−x联立方程组fx+gx又因为对任意的1<x1<所以gx1−g构造ℎ(x)=g(x)+3x=ax所以由上述过程可得ℎ(x)=ax2+3x+2(i)若a<0，则对称轴x0=−3(ii)若a=0，ℎ(x)=3x+2在x∈(1,2)单调递增，满足题意；(iii)若a>0，则对称轴x0综上可得，a≥−34，即实数a的取值范围为故答案为：−3四、解答题15．（2024·上海·三模）已知fx=ax−b4−x2，函数(1)求fx(2)判断y=fx【解题思路】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0，求出b的值，结合函数的解析式求出a的值，计算可得答案；（2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案．【解答过程】（1）根据题意，f(x)=ax−b