2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题2.5对数与对数函数【六大题型】特训(学生版+解析)

专题2.5对数与对数函数【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1对数的运算】 2【题型2指数、对数问题的应用】 2【题型3对数函数的图象及应用】 3【题型4利用对数函数的单调性比较大小】 5【题型5解对数不等式】 5【题型6对数函数性质的综合应用】 61、对数与对数函数考点要求真题统计考情分析(1)理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数

(2)通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点(3)了解指数函数（a>0且a≠1）与对数函数（a>0且a≠1）互为反函数2022年天津卷：第6题，5分2022年浙江卷：第7题，5分2022年新课标I卷：第7题，5分2023年北京卷：第4题，5分2024年新课标I卷：第6题，5分2024年北京卷：第7题，5分对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.【知识点1对数运算的解题策略】1．对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【知识点2对数函数的常见问题及解题思路】1．对数函数图象的识别及应用(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.【题型1对数的运算】【例1】（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，则化简2log23+(a)2+b2的结果是（

）A．3+a+b B．3+a+C．2+a+b D．2+a+【变式1-1】（2024·青海·模拟预测）若a=log35，5b=6A．1 B．－1 C．2 D．－2【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且4a=6A．1a+1b=1c B．【变式1-3】（2024·辽宁丹东·一模）若2a=3，3b=5，5cA．−2 B．12 C．22【题型2指数、对数问题的应用】【例2】（2024·四川雅安·三模）二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么所有二维码大约可以用（

A．10117万年 B．10120万年 C．10123万年 【变式2-1】（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为y℃，可选择函数y=60×0.9t+20（参考数据：lg2≈0.30,A．2.5min B．4.5min C．6min 【变式2-2】（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pbn=logbn+1n，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若n=4kPA．11 B．15 C．19 D．21【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为F=Gm1⋅m2r2，其中F表示两个物体间的引力大小，G为引力常数，m1,m2分别表示两个物体的质量，rA．lnF1+C．lnF1⋅【题型3对数函数的图象及应用】【例3】（2024·湖北·模拟预测）函数fx=eA． B． C． D．【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=x−1A． B．C． D．【变式3-2】（2024·陕西宝鸡·二模）函数fx=1+A． B．C． D．【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）函数fx=xA．

B．

C．

D．

【题型4利用对数函数的单调性比较大小】【例4】（2024·天津滨海新·三模）已知a=2log20.4，b=logA．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b【变式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b【变式4-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知a=40.3,b=A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且在区间[1,+∞)上单调递减.设a=f(−ln1.1)，b=f2A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c【题型5解对数不等式】【例5】（2024·湖北·模拟预测）已知函数fx=lnx，若faA．5−12,1 B．0,5−12【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=3xA．−∞,8 B．0,8 C．18【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）“a>b”是“lna2+A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式5-3】（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数fx=ax+k−1a−x（a>0且A．2,+∞ B．0,C．12,2【题型6对数函数性质的综合应用】【例6】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(1)求fx(2)若关于x的方程fx=k在R上有解，求实数【变式6-1】（2024·陕西安康·一模）已知函数f(x)=log(1)若f(1)=3，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【变式6-2】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数fx(1)求实数a的值；(2)判断函数fx(3)设函数g(x)=log2x2⋅log2x4【变式6-3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数f(x)=log1(1)若y=lggx的值域为(2)若非常数函数f(x)是定义域为−2,2的奇函数，且∀x1∈[1,2)，∃x2一、单选题1．（2024·广东·二模）已知正实数m,n满足12lnm=lnm−2nA．1 B．14 C．4 D．1或2．（2024·四川·模拟预测）若实数m，n，t满足5m=7n=t且1A．23 B．12 C．5 D．3．（2024·上海·三模）已知函数f(x)=1+loga(2x−3) (a>0,a≠1)恒过定点(m,n)A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·江西鹰潭·模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pbn=logbn+1n，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若n=k2024PA．674 B．675 C．676 D．6775．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知a=log56，b=log28，c=e，则aA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=−14x−4,x≤3A．0,1 B．1,3 C．1,3 7．（2024·广西·模拟预测）已知函数fx=1−22x1+22x，A．ℎx=fxC．ℎx=fx8．（2024·江西·二模）已知定义在R上的函数fx满足fx+2=f−x=−fx，当0<x≤1时，fxA．−52+4k,−32+4k，C．−12+4k,12+4k，二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）已知a=log49，b=A．1<a<32 B．ab>1 C．a+b>2 10．（2024·河南·三模）已知函数fx=lgA．fx的定义域为B．fx的值域为C．fD．y=fx211．（2024·河南·一模）定义在R上的函数f(x)=loga(1+b2x2+bx)（a>0且a≠1A．若a>1，b>0，则实数m的取值范围为−2,2B．若0<a<1，b<0，则实数m的取值范围为−C．若a>1，b<0，则实数m的取值范围为−D．若0<a<1，b>0，则实数m的取值范围为2,+三、填空题12．（2024·上海·模拟预测）已知正实数a,b满足logab+logba=513．（2024·吉林·模拟预测）若函数f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围为14．（2024·陕西西安·模拟预测）函数y=logax+ax−1+2（a>0且a≠1）的图象恒过定点k,b，若m+n=b−k且m>0，四、解答题15．（2023·江苏连云港·模拟预测）计算：(1)27(2)log216．（2023·吉林长春·模拟预测）（1）求值：(3（2）已知lgx+lgy=217．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数fx=−log2x2+m(1)求实数m的值；(2)求函数fx18．（2024·陕西榆林·一模）已知fx是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(1)求fx(2)若fa−1−f119．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数f(x)=log(1)求a的值;(2)设g(x)=f(x)+x，ℎ(x)=x2−2x+m，若对任意的x1∈0,4，存在专题2.5对数与对数函数【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1对数的运算】 2【题型2指数、对数问题的应用】 3【题型3对数函数的图象及应用】 5【题型4利用对数函数的单调性比较大小】 7【题型5解对数不等式】 9【题型6对数函数性质的综合应用】 111、对数与对数函数考点要求真题统计考情分析(1)理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数

(2)通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点(3)了解指数函数（a>0且a≠1）与对数函数（a>0且a≠1）互为反函数2022年天津卷：第6题，5分2022年浙江卷：第7题，5分2022年新课标I卷：第7题，5分2023年北京卷：第4题，5分2024年新课标I卷：第6题，5分2024年北京卷：第7题，5分对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.【知识点1对数运算的解题策略】1．对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【知识点2对数函数的常见问题及解题思路】1．对数函数图象的识别及应用(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.【题型1对数的运算】【例1】（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，则化简2log23A．3+a+b B．3+a+C．2+a+b D．2+a+【解题思路】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.【解答过程】由2log23=3，2log故选：B.【变式1-1】（2024·青海·模拟预测）若a=log35，5b=6A．1 B．－1 C．2 D．－2【解题思路】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.【解答过程】由5b=6⇒所以ab−log32=log35⋅log5故选：A.【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且4a=6A．1a+1b=1c B．【解题思路】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可．【解答过程】依题意设4a=6b=9c所以1a则1a+1则1b则1a故选：D.【变式1-3】（2024·辽宁丹东·一模）若2a=3，3b=5，5cA．−2 B．12 C．22【解题思路】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.【解答过程】由2a=3，3b=5，所以abc=log23×故选：B.【题型2指数、对数问题的应用】【例2】（2024·四川雅安·三模）二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么所有二维码大约可以用（

A．10117万年 B．10120万年 C．10123万年 【解题思路】利用取对数法进行化简求解即可．【解答过程】∵1万年用掉3×10∴大约能用2441设x=24413×即x≈10故选：A．【变式2-1】（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为y℃，可选择函数y=60×0.9t+20（参考数据：lg2≈0.30,A．2.5min B．4.5min C．6min 【解题思路】令60×0.9t+20=60，则0.9【解答过程】由题可知，函数y=60×0.9令60×0.9t+20=60两边同时取对可得：lg0.9t=即t=lg2−lg故选：B.【变式2-2】（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pbn=logbn+1n，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若n=4kPA．11 B．15 C．19 D．21【解题思路】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解.【解答过程】n=4k即lgk+14=ln3故选：A.【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为F=Gm1⋅m2r2，其中F表示两个物体间的引力大小，G为引力常数，m1,m2分别表示两个物体的质量，rA．lnF1+C．lnF1⋅【解题思路】根据题意，由对数的运算代入计算，即可得到结果.【解答过程】由题意知，F1F2=r22故选：A.【题型3对数函数的图象及应用】【例3】（2024·湖北·模拟预测）函数fx=eA． B． C． D．【解题思路】根据x<0时f(x)的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【解答过程】fx因为当x<0时，y=e所以，y=ex−又因为f−x所以fx故选：A.【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=x−1A． B．C． D．【解题思路】先判断函数奇偶性排除选项A，再根据函数值正负排除B,C,即可得出答案.【解答过程】因为fx的定义域为−∞,0∪0,+∞，当x>1时，x−1x>0，lnx2>0，所以fx>0故选:D.【变式3-2】（2024·陕西宝鸡·二模）函数fx=1+A． B．C． D．【解题思路】利用函数的奇偶性和特殊值判断出选项．【解答过程】∵f−x=1+又f1故选：B.【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）函数fx=xA．

B．

C．

D．

【解题思路】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.【解答过程】fx=x2ln因为f−x=−fx当x∈0,1时，f故选：C.【题型4利用对数函数的单调性比较大小】【例4】（2024·天津滨海新·三模）已知a=2log20.4，b=logA．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b【解题思路】判断a，b，c与0和1的大小关系即可得到答案．【解答过程】a=2b=log0=log0.3⁡1<故c>a>b.故选：C.【变式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值“12【解答过程】因为y=0.5x在R上单调递减，则0.53.1又因为y=log0.9x在0,+∞上单调递减，则可得c=log1312则12=log综上所述：a<c<b.故选：D.【变式4-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知a=40.3,b=A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1，利用指对运算和指数函数单调性得到0<b<1，利用对数函数单调性得到c<0，则比较出大小.【解答过程】因为a=40.3>40c=log所以a>b>c，故选：A.【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且在区间[1,+∞)上单调递减.设a=f(−ln1.1)，b=f2A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c【解题思路】由f(x)=f(2−x)，得到对称轴为x=1，然后求解a=f(−ln1.1)=f(2+ln1.1)，进而利用【解答过程】由f(x)=f(2−x)，得到对称轴为x=1，则a=f(−ln而1<20.4<2+ln1.1<2+则f20.4>f(2+ln1.1)>故选：D.【题型5解对数不等式】【例5】（2024·湖北·模拟预测）已知函数fx=lnx，若faA．5−12,1 B．0,5−12【解题思路】结合函数y=fx的图象和函数y=fx+1的图象，由【解答过程】在同一坐标系中画出函数y=fx的图象和函数y=f设两图象交于点A，且点A的横坐标为a1由图象可得满足fa≤fa+1的实数a对于a1，由−lna所以a12+a1故选：C.【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=3xA．−∞,8 B．0,8 C．18【解题思路】根据函数的单调性和奇偶性结合对数函数的单调性解不等式即可.【解答过程】当x≥0时，fx因为函数y=3x,y=2x−1所以函数fx在区间0,+∞上单调递增，且又fx为R则flog2x−32<0，即所以log2x<3，解得1故选：C．【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）“a>b”是“lna2+A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】取a=1，b=−2即可说明不充分，结合对数函数单调性解不等式也可说明不必要由此即可得解.【解答过程】取a=1，b=−2可得lna若lna2+故a2>b2，得故“a>b”是“lna故选：D．【变式5-3】（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数fx=ax+k−1a−x（a>0且A．2,+∞ B．0,C．12,2【解题思路】根据fx是偶函数求得k=2，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于log【解答过程】∵fx∴f−x=f化简得k−2∴k=2，fx=ax+f'xa>1,0<a<1时都能得到f'x所以fx=a∴fx=ax+a−x∴flogkx即log2x>1，即解得x>2或0<x<12.即故选：B.【题型6对数函数性质的综合应用】【例6】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(1)求fx(2)若关于x的方程fx=k在R上有解，求实数【解题思路】（1）根据函数奇偶性求解析式；（2）求函数fx的值域，即可求k【解答过程】（1）当x>0时，−x<0，则f−x因为函数fx是定义在R所以f−x故fx当x=0时，f0综上，所以fx的解析式为f（2）当x<0时，fx因为x<0，所以−1<−2x<0所以−log由对称性可知，当x>0时，0<fx当x=0时，f0综上，−log所以实数k的取值范围是−log【变式6-1】（2024·陕西安康·一模）已知函数f(x)=log(1)若f(1)=3，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）利用f(1)=3求得a，结合复合函数单调性同增异减求得fx（2）根据fx的最小值为0列方程，从而求得a【解答过程】（1）∵f(1)=3，∴a+9=23，即f(x)=log2−解得−1<x<5，∴函数f(x)的定义域为(−1,5)，∵函数t=−x2+4x+5在(−1,2)又∵y=log2t∴函数f(x)的单调递增区间为(−1,2)，单调递减区间为(2,5).（2）设存在实数a，使函数f(x)的最小值为0，ℎ(x)=ax∵函数f(x)的最小值为0，∴函数ℎ(x)的最小值为1，所以a>0①，且20a−164a联立①②解得：a=1，∴存在实数a=1，使函数f(x)的最小值为0.【变式6-2】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数fx(1)求实数a的值；(2)判断函数fx(3)设函数g(x)=log2x2⋅log2x4【解题思路】（1）考虑a≥0和a<0两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.（2）确定定义域，设∀x1,x2（3）根据单调性确定x∈0,1时fx的值域A=3,+∞，设【解答过程】（1）由已知函数需满足2x+a≠0，当a≥0时，函数的定义域为函数fx=2即2−x+12−x+a=−2当a<0时，x≠log2−a又函数fx=2此时fx=2f−x综上所述：a=−1；（2）fx在−∞,0fx=2设∀x1,则f因为x1,x2∈所以fx1>fx2同理可证，所以fx在−所以fx在0,+∞，（3）函数fx在−∞,0且当x∈−∞,0时，fx<0x2∈0,1时，fx≥f1=3又gx设t=log2x,t∈当t=32时，取最小值为−14+m即gx在x∈2,8上的值域又对任意的x1∈2,8，总存在x即B⊆A，所以−14+m≥3，解得m≥【变式6-3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数f(x)=log1(1)若y=lggx的值域为(2)若非常数函数f(x)是定义域为−2,2的奇函数，且∀x1∈[1,2)，∃x2【解题思路】（1）根据函数y=lg[g(x)]的值域为R，可得函数g(x)的值域包含(0,+∞)，再分m=0，（2）根据函数的奇偶性求出函数f(x)的解析式，再根据∀x1∈[1,2),∃x2∈[−1,1],f(x1)−g(【解答过程】（1）因为函数y=lggx的值域为R，所以函数ggx当m=0时，gx=−2当m≠0时，令t=2x，t∈0,+当m>0时，ymin=m⋅2m2所以3−4m≤0当m<0时，2m<0，则函数y=mt2−4t+3的值域为−综上所述，0<m≤43，所以满足条件的整数m的值为（2）因为函数fx是定义域为−2,2所以f0=0f−1=−f1，即由函数fx不是常数函数，所以a=2经检验，符合题意，即fx由∀x1∈1,2，得∀x1∈1,2，只要fx当x∈1,2时，2−x所以函数fxmin=gx令n=2x，因为x∈−1,1函数y=m⋅n当m=0时，y=−4n+3，n∈12,2当m≠0时，函数y=m⋅n2−4n+3当m<0时，则n=2时，ymin当0<2m≤12，即m≥4时，则n=当2m≥2，即0<m≤1时，则n=2时，当12<2m<2，即1<m<4时，则n=2m综上所述，m的取值范围为−∞一、单选题1．（2024·广东·二模）已知正实数m,n满足12lnm=lnm−2nA．1 B．14 C．4 D．1或【解题思路】利用对数运算法则化简等式，列出关于nm【解答过程】由12lnm=lnm−2n整理得2(nm)2所以nm故选：B.2．（2024·四川·模拟预测）若实数m，n，t满足5m=7n=t且1A．23 B．12 C．5 D．【解题思路】根据指对数的互化可得m=log5t，n=log7【解答过程】因为5m=7n=t且1所以m=log5t所以1m=log所以1m+1故选：D．3．（2024·上海·三模）已知函数f(x)=1+loga(2x−3) (a>0,a≠1)恒过定点(m,n)A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】令2x−3=1，即可求解f(x)恒过定点(2,1)，进而求解.【解答过程】令2x−3=1，解得x=2，此时f(2)=1+log所以f(x)恒过定点(2,1)，则m=2,n=1，所以m+n=3.故选：C.4．（2024·江西鹰潭·模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pbn=logbn+1n，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若n=k2024PA．674 B．675 C．676 D．677【解题思路】结合条件及对数的运算法则计算即可.【解答过程】n=k2024P10n=故选：B.5．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知a=log56，b=log28，c=e，则aA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a【解题思路】由已知结合幂函数及对数函数单调性判断a，b，c的范围，即可比较a，b，c的大小．【解答过程】因为c=e>9a=log所以a<b<c．故选：A．6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=−14x−4,x≤3A．0,1 B．1,3 C．1,3 【解题思路】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于a的不等式，即可求解.【解答过程】根据题意，当x≤34时，fx=−1要使得函数fx=−则满足a>1，且loga4×3所以实数a的取值范围为1,3故选：B.7．（2024·广西·模拟预测）已知函数fx=1−22x1+22x，A．ℎx=fxC．ℎx=fx【解题思路】由函数的奇偶性结合函数的定义域和图象逐项分析即可；【解答过程】依题意可知，函数fx的定义域为R，f所以函数fx函数gx的定义域为xx≠0，所以函数gx对于A，ℎx=fx+gx对于B，函数ℎx=fx−gx对于C，函数ℎx=fxgx的定义域为{x|x≠0}，ℎ对于D，函数ℎx=fxg故选：C．8．（2024·江西·二模）已知定义在R上的函数fx满足fx+2=f−x=−fx，当0<x≤1时，fxA．−52+4k,−32+4k，C．−12+4k,12+4k，【解题思路】依题意可得fx的奇偶性、对称性与周期性，即可得到fx的图象，即可得到−1【解答过程】因为f−x=−fx又因为fx+2=f−x，所以f由fx+4=−fx+2=fx因为当0<x≤1时，fx=log2x+1函数fx根据图象可知，若fa+1>fa，则−解得−32+4k<a<所以实数a的取值范围是−32+4k,故选：D．二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）已知a=log49，b=A．1<a<32 B．ab>1 C．a+b>2 【解题思路】对A：使用换底公式化简可判断a的范围；对B：使用换底公式化简证明；对C：根据基本不等式证明；对D：根据函数y=x+1x在【解答过程】选项A：a=log选项B：ab=log选项C：a+b>2ab>2，（a>32，选项D：易知函数y=x+1x在32故选：BC.10．（2024·河南·三模）已知函数fx=lgA．fx的定义域为B．fx的值域为C．fD．y=fx2【解题思路】根据函数的解析式，求出函数的定义域值域即可判断A、B，求出f−1【解答过程】对AB，由1−x>0，得x<1，则fx的定义域为−∞,1对C，f−1对D，因为fx2=u=1−x2，令1−x内层函数u=1−x2，在−1,0上单调递增，所以y=fx2的单调递增区间为−1,0不是故选：ABC.11．（2024·河南·一模）定义在R上的函数f(x)=loga(1+b2x2+bx)（a>0且a≠1A．若a>1，b>0，则实数m的取值范围为−2,2B．若0<a<1，b<0，则实数m的取值范围为−C．若a>1，b<0，则实数m的取值范围为−D．若0<a<1，b>0，则实数m的取值范围为2,+【解题思路】先判断函数f(x)=loga(1+b2x2+bx)为奇函数，再分a>1和0<a<1讨论y=logat的单调性，分【解答过程】对于函数f(x)=loga(1+b2x不妨设t=1+b2对于A项，当a>1时，y=log因b>0，则t=1+b2x2+bx在由f(−m+m2+12)+f(−m)≥0⇔f(−m+m①当m≤0时，此时恒成立；②当m>0时，由（*）可得m2+12≥4m2，解得对于B项，当0<a<1时，y=logat在定义域内为减函数，因b<0，则t=1+b2x由A项分析可得，f(−m+m2+12对于C项，当a>1时，y=logat在定义域内为增函数，因b<0，则t=1+b2x由f(−m+m2+12)+f(−m)≥0⇔f(−m+m①当m≤0时，无解；②当m>0时，由（*）可得m2+12≤4m2，解得m≤−2或对于D项，当0<a<1时，y=logat在定义域内为减函数，因b>0，则t=1+b2x由C项分析可得，f(−m+m2+12故选：BD.三、填空题12．（2024·上海·模拟预测）已知正实数a,b满足logab+logba=52，【解题思路】令t=logab，则由logab+logba=5【解答过程】令t=logab由logab+log所以2t2−5t+2=0，解得t=所以logab=1所以a12=b当a12=b由aa=bb，得由2a=ba=b2，又a>0所以a+b=3当a2=b时，由aa=b由a=2ba2=b，又a>0所以a+b=3综上所述，a+b=3故答案为：3413．（2024·吉林·模拟预测）若函数f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围为−