专题34 等比数列及其前n项和-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）

专题34等比数列及其前n项和-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）考试要求：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．1.等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).数学语言表达式：anan-1=q((2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{an2}，1an，{an·bn}，2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列，通常设为xq，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为xq3，xq，xq一、单选题1．设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和Sn，若a1A．158 B．658 C．152．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4A．120 B．85 C．−85 D．−1203．已知等比数列{an}的前3项和为168，aA．14 B．12 C．6 D．3二、填空题4．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S5．已知{an}为等比数列，a2a4三、解答题6．已知等比数列{an}的前n项和为S（1）求{a（2）求数列{Sn}【考点1】等比数列基本量的运算四、单选题17．设Sn为数列{an}的前n项和，若A．4 B．8 C．18 D．8．已知a=5+26，c=5−26，若a，b，c三个数成等比数列，则A．5 B．1 C．−1 D．−1或1五、多选题19．若α、β∈R(αβ≠0)，α、β、α2成等差数列，A．25−32 B．3−52 10．设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列；{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．已知数列A．a1=−2 B．b1=1 C．六、填空题111．有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为盏．12．数列{an}满足an+1=2an（n为正整数），且反思提升：1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn【考点2】等比数列的判定与证明七、解答题213．已知数列{an}的前n项和为S（1）求数列{a（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为3n14．已知Sn为数列{an}的前（1）求证：数列{a（2）令bn=2an15．记等差数列{an}的前n项和为Sn，（1）求{an}（2）证明{n16．已知数列{an}的首项a1=3（1）求证：数列{a（2）记bn=log2(an−1)，求数列17．已知数列{an}（1）证明：数列{a（2）若bn=a2n，求数列{n⋅18．已知数列{an}的前n项和为S（1）证明：{a（2）设bn=(−1)反思提升：1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.【考点3】等比数列的性质及应用八、单选题319．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8A．40 B．-30 C．30 D．-30或4020．设Sn为正项等比数列{an}的前n项积，若{aA．162 B．32 C．642九、多选题321．在等比数列{an}中，a1>1，a2023a2024>0，a2024−1a2023A．{an}为单调递增数列C．T2023为{Tn}的最大项22．已知n,m∈N∗，将数列{4n+1A．aB．aC．{an}的前D．{an}的前十、填空题323．已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*都有424．设{an}是等比数列，且a1+a反思提升：(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.【基础篇】十一、单选题425．已知等比数列{an},A．8 B．±8 C．10 D．±1026．记等比数列{an}的前n项和为SA．121 B．63 C．40 D．3127．在等比数列{an}中，若aA．2 B．22 C．4 28．等比数列{an}公比为q(q≠1)，a1>0，若Tn=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件十二、多选题429．已知{an}是等比数列，SA．若{an}B．Sn，S2n−C．若存在M>0，使|an|≤M对n∈D．若存在M>0，使|an|≤M对n∈30．已知实数数列{an}的前nA．若数列{an}B．若数列{an}为等差数列，则S3，C．若数列{an}为等比数列，且a3D．若数列{an}为等比数列，则S3，31．Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在A．a+c=0 B．b是数列{aC．ac<0 D．{a十三、填空题432．已知等差数列{an}的公差d≠0，首项a1=12，a4是a2与a833．若实数0,x,y,6成等差数列，34．在等比数列{an}中，a3十四、解答题435．已知数列{an}，{bn}中，a1（1）求数列{b（2）求数列{bn}的前n36．已知数列{an}的各项均不为零，Sn为其前（1）证明：an+2（2）若a1=−1，数列{bn}为等比数列，b1=【能力篇】十五、单选题537．已知等比数列{an}中，a1+A．26 B．32 C．512 D．1024十六、多选题538．关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（）A．若数列{an}为等比数列，且其前n项的和B．若数列{an}为等比数列，且C．若数列{an}为等比数列，Sn为前n项和，则SnD．若数列{an}为等差数列，2十七、填空题539．已知等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=−15×(12十八、解答题540．已知Tn为正项数列an的前n项的乘积，且a1（1）求数列an（2）设bn=an−1an+1，数列【培优篇】十九、单选题641．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形ABCD边长为a1，后续各正方形边长依次为a2,a3,⋯,a①a②③④an⋅A．1 B．2 C．3 D．4二十、多选题42．已知{an}是等比数列，公比为q，若存在无穷多个不同的nA．q>0 B．q<0 C．|q|>1 D．|q|<1二十一、填空题643．定义：对于函数fx和数列xn，若xn+1−xnf'xn+fxn=0，则称数列xn具有“fx函数性质”.已知二次函数fx图象的最低点为0,−4，且fx+1=f

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由题知1+q+q即q3+q4=4q+4q2，

由题知q>0，所以q=2，所以S4故答案为：C.【分析】利用已知条件和等比数列的前n项和公式，再解方程结合公比的正负，从而得出公比的值，再结合等比数列的前n项和公式得出S42．【答案】C【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q若q=1，则S6=6a由S4=−5，S6=21S由①化简得，1+q2+所以S8故答案为：C．【分析】先验证q=1时是不成立，再利用等比数列前n项和公式求出q23．【答案】D【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q若q=1，则a2所以q≠1，由题意可得a1+a所以a6故选：D.【分析】设等比数列{an}的公比为q，首项为a4．【答案】−【解析】【解答】当q=1时，显然8S6≠7S3，不满足题意；

当q≠1时，Sn=a1qn-1q-1

∵8S6=75．【答案】−2【解析】【解答】设{an}首项为a1，公比为q，

则a2a4a5=a13q8，a3a6=a12q7，a9a10=a12q17

∵a26．【答案】（1）解：因为2Sn=3所以2an=3an+1−3a故2a1=3a2−3=3a（2）解：由等比数列求和公式得Sn所以，数列{ST=3【解析】【分析】（1）利用已知条件和Sn,an的关系式得出公比的值，结合等比数列的通项公式得出首项，再根据等比数列的通项公式得出数列{an}的通项公式.

7．【答案】B【解析】【解答】解：当n≥2时，Sn−1=2an−1−1整理得an=2a故答案为：B．【分析】利用已知条件和Sn，a8．【答案】D【解析】【解答】解：由题意知a=5+26，c=5−26，a，b，则b2=ac=(5+26故答案为：D.【分析】利用已知条件和等比中项公式，从而得出b的值.9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因为β、α2、β2成等比数列，

又因为α、β、α2成等差数列，则可得(αβ)整理可得(q−1)(q2−3q+1)=0，

解得q=1或q=结合选项可知：A错误，B、C、D正确，故答案为：BCD.【分析】利用等比数列的定义和等差数列的定义，从而解方程，进而得出等比数列的公比的值.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：当q=1时，Sn当q≠1时，Sn∵Sn=n2−n+2n−1，

∴d所以d+q=4.故答案为：BC．【分析】利用分类讨论的方法和分组求和的方法，再结合等差数列的前n项和公式、等比数列前n项和公式，从而建立方程组，进而得出等差数列的首项、等比数列的首项、公差、公比的值，从而找出正确的选项.11．【答案】30【解析】【解答】解：六层高的商场，每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，

可设从下往上每层灯的数据构成等比数列{an}，

则公比q=2，n=6于是S6=a所以底层所开灯的数量为30盏.故答案为：30【分析】每层灯的数据构造等比数列，再利用等比数列的Sn12．【答案】1【解析】【解答】解：因为数列{an}满足an+1=2不妨设其公比为q，则q=2，因为a2与a所以a2+a4=10，即a故答案为：1．【分析】利用已知条件和递推公式，再结合等比数列的定义，从而判断出数列{an}13．【答案】（1）解：因为Sn当n=1时，S1=3当n≥2时，Sn−1所以an=S所以数列{a所以，数列{an}（2）解：因为an由题意得：3n+1=3所以n=99.【解析】【分析】（1）利用已知条件和Sn，an的关系式，再结合等比数列的定义，从而判断出数列{an}14．【答案】（1）证明：由Sn当n=1时，a1=2a当n≥2时，Sn−1=2a则aan=2a即an+4=2(又因为a1所以数列{a（2）解：由（1）得an+4=6⋅2n−1，设b1则T==令13×(即2n−1<20，即又因为n∈N*，25所以满足条件的最大整数为n为5.【解析】【分析】（1）利用已知条件和Sn,an的关系式和等比数列的定义，从而证出数列{an+4}15．【答案】（1）解：由题意，设等差数列{an}则S10=10×2+10×9则an设正项等比数列{bn}的公比为q(q>0)，由题意，可得2q2−2q=4，

解得q=2故bn（2）证明：令cn=n故{nan⋅b【解析】【分析】（1）利用已知条件和等差数列前n项和公式得出公差的值，结合等差数列的通项公式，从而得出数列{an}的通项公式，再结合等比数列的通项公式得出公比的值，从而根据等比数列的通项公式得出数列{bn}的通项公式.

(2)由（1）中数列{a16．【答案】（1）解：由an+1=2a又因为a1−1=2，

所以（2）解：由（1）知，an−1=2×2n−1=所以1b则S=1−1当n∈N∗时，Sn【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推公式，再利用等比数列的定义，从而证出数列{an−1}为等比数列.

（2）由（1）结合等比数列的通项公式和bn=log2(an−1)，从而得出数列{bn}的通项公式，进而得出数列17．【答案】（1）证明：因为an+1所以a=2=2(则数列{a（2）解：由（1）可得a2n−1−6=2则bn所以n⋅(数列{n⋅(bn−32S两式相减可得−S化简可得Sn【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推数列，再结合等比数列的定义，从而证出数列{a2n−1−6}为等比数列.

（2）利用（1）结合等比数列的通项公式得出数列{a2n}的通项公式，从而得出数列{bn18．【答案】（1）证明：在数列{an}中，4Sn=5an−2又因为a1=S1=54所以，数列{an}（2）解：由（1）知，bn所以T(−199+201)=2+2+2+⋯+2=2×50=100．【解析】【分析】（1）利用已知条件和Sn，an的关系式以及等比数列的定义，从而证出数列{an}是等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列{an}的通项公式.19．【答案】A【解析】【解答】解：因为S8+S所以S8=10，S24所以S24S8=1−q241−q由等比数列性质可知，S8,所以S16−10=10×q故答案为：A.【分析】利用已知条件结合等比数列的前n项和公式，从而解方程得出q8的值，再利用等比数列的性质得出S20．【答案】D【解析】【解答】解：在正项等比数列an中，q=2,a4a6所以S9故答案为：D.【分析】利用已知条件和等比中项公式，从而得出数列第五项的值，再结合等比数列的性质，从而得出S921．【答案】B,C【解析】【解答】解：由a2023a2024又因为a1>1，则当q≥1时，an=a1qn−1>1因此0<q<1，则{a因为S2024−S又因为{an}由a2024−1a2023−1所以，当n≤2023时，TnTn−1当n>2023时，TnTn−1因此{Tn}故答案为：BC.【分析】利用已知条件和等比数列的性质，从而得出公比的正负，再结合a1>1得出数列的通项的正负，再根据分类讨论的方法和等比数列的通项公式以及数列的单调性，则判断出选项A；利用等比数列前n项和公式的定义和已知条件比较出S202322．【答案】B,C【解析】【解答】解：令4n+1=5所以n=5当m=1时，n=1，所以数列{5m}所以an=5n(n=1,2,3⋯)故答案为：BC.【分析】令4n+1=5m(n,m∈N*23．【答案】{【解析】【解答】解：由题意知：a1=S当n≥2时，an=S∴{an}是首项为3，公比为−3∴60≤|Sm|≤200当n为奇数时，−79≥(−3)当n为偶数时，81≤(−3)∴m的取值集合为{4故答案为：{4【分析】利用已知条件和Sn,an的关系式和等比数列的定义，从而判断出数列{an}24．【答案】189【解析】【解答】解：由{an}则a1+a4，a3+a∵a3+则a7故答案为：189.【分析】利用已知条件和等比数列的性质，从而得出a725．【答案】A【解析】【解答】解：根据等比中项知，a62=a2a10又因为a6=a故答案为：A.【分析】利用已知条件和等比中项公式和等比数列的性质，从而得出数列第六项的值.26．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，设等比数列{an}若a1a2a3又因为a5=81，则q3故a1则S5故答案为：A.【分析】利用已知条件和等比中项公式得出数列第二项的值，再结合等比数列的性质得出公比的值，根据等比数列的通项公式得出首项的值，从而由等比数列前n项和公式得出S527．【答案】C【解析】【解答】解：因为数列{a则a2a3所以a4故答案为：C.【分析】利用已知条件和等比数列的性质，从而得出a428．【答案】B【解析】【解答】解：因为等比数列{an}所以Tn当a1=12,q=2时，当“数列{Tn}因为a1>0，所以q<0，例如a1=1,q=−1，

显然有T1因此有a1>0，所以，由Tn+1当a1≥1,q>1时，显然当a1≥1,0<q<1时，a1当0<a1<1,q>1时，a当0<a1<1,0<q<1因此“q>1”是“数列{T故答案为：B.【分析】利用已知条件和分类讨论的方法，再结合数列的单调性和充分条件、必要条件的判断方法，从而得出“q>1”是“数列{T29．【答案】A,C【解析】【解答】解：A选项，设公比为q，故q2=q+2，解得q=−1或q=2，若{an}是正项数列，

则a1>0,q>0，故q=2>1，故{an}是单调递增数列，故A正确；

B选项，当q=−1且n为偶数时，Sn,S2n−Sn,S3n−S2n均为0，不合要求，故B错误；

C选项，若q=2，则{|an|}单调递增，此时不存在M>0，使|an|≤M对n∈N*都成立，若q=−1，此时|an|=|a1|，故存在M=|a1|，使得|an|≤M对n∈N*都成立，此时{|an|}为常数列，为公差为0的等差数列，故C正确；30．【答案】B,D【解析】【解答】解：若数列{an}为等差数列，不妨设其公差为d，

显然当a1因为S3=a1+若数列{an}为等比数列，且a3=7则a1q2=7a1(1+q+q2)=21由题意得，数列{an}即S3k≠0,且a3k⋅(1+q+故答案为：BD.【分析】利用已知条件和等差数列的通项公式，则判断出选项A；利用等差数列前n项和公式和作差法，从而判断出选项B；利用等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，从而得出公比的值，再结合等比数列的通项公式得出数列第四项的值，则判断出选项C；由题意得，数列{an}各项均不为0，在实数范围内，1+q+q2≠0，即S3k≠0,31．【答案】A,B,C【解析】【解答】设等比数列{an}当q=1，当q≠1，所以c=a即a+c=0，ac=−a故答案为：ABC.

【分析】设等比数列{an}的公比为q，分q是否为1两种情形，分别表示出该等比数列的前n项和的公式，并与S32．【答案】105【解析】【解答】解：在等差数列{an}中，a1=12，a所以a42=解得d=12或所以S20故答案为：105．【分析】利用已知条件和等比中项公式和等差数列的通项公式，从而得出公差的值，再结合等差数列的前n项和公式得出S2033．【答案】−8【解析】【解答】解：因为实数0,x,y,又因为−12,a,由于等比数列奇数项同号，

所以b<0，所以b=−14，

则故答案为：−8.【分析】利用等差数列的性质和等比数列的性质，再结合等比数列奇数项同号，从而得出b的正负，进而得出b的值，则得出y−xb34．【答案】4【解析】【解答】解：在等比数列an中，a由等比数列的性质，a3a7又因为a3a11故答案为：4.【分析】利用已知条件和等比数列的性质，从而得出满足要求的a735．【答案】（1）解：由题意，可得an故an=n+3，∵数列{an+∴a∴bn=（2）解：由题意和（1），可得bn则T===2【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式，再结合等比数列的通项公式得出数列{bn}的通项公式.

（2）利用已知条件和（1）中数列{b36．【答案】（1）证明：因为anan+1=2Sn−1②-①得：an+1(an+2−所以an+2（2）解：由a1=−1得：a3由b1=−1得：数列{b所以bn=(由a1a2由an+2−a因此T2022=−a【解析】【分析】（1）利用anan+1=2Sn−1①得出an+1an+2=2Sn+1−1②，再结合作差法和数列37．【答案】D【解析】【解答】解：设等比数列{an}因为a1+a所以a1+a由(a1+a1q2)q所以a10故答案为：D.【分析】利用已知条件和等比数列的通项公式得出首项和公比的值，再结合等比数列的通项公式得出a1038．【答案】C,D【解析】【解答】解：对于A，由Sn=2n−1+t，得a1=S1对于B，在等比数列{an}中，由a2a7+对于C，等比数列{an}的公比q=−1，

当n为偶数时，Sn=0，S对于D，设等差数列{an}的公差为d，

由2整理得a1+9d=0，当d<0时，故答案为：CD.【分析】利用已知条件和Sn,an的关系式和等比数列的定义，从而得出t的值，则判断出选项A；利用已知条件和等比数列的性质，则判断出选项B；利用等比数列的定义判断出选项C；利用已知条件和等差数列的通项公式、等差数列前n项和公式，再结合公差的正负，从而得出当39．【答案】3【解析】【解答】解：因为a1=S1=−又因为{an}是等比数列，所以a22数列{an}是以152