专题08 奇偶性、对称性与周期性-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）

专题08奇偶性、对称性与周期性-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）考试要求：1.理解函数奇偶性的含义.2.了解函数的最小正周期的含义.3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a((3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(2.对称性的四个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a+b2对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.1．已知f(x)A．−2 B．−1 C．1 D．22．若f(x)=(x+a)ln2x−12x+1A．−1 B．0 C．12 3．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(xA．−21 B．−22 C．−23 D．−244．已知函数f(x)的定义域为R，且fA．−3 B．−2 C．0 D．15．已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则（）A．f(−12)=0 B．f(−1)=0 C．f(2)=06．设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6A．−94 B．−32 C．7．已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（）A．f(0)=0 B．f(1)=0C．f(x)是偶函数 D．x=0为f(x)的极小值点8．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为RA．f(0)=0 B．g(−129．若f(x)=(x−1)210．已知函数f(x)=x3(a⋅2一、【考点1】函数的奇偶性11．已知函数f(x)的定义域为R，且yf(x)−xf(y)=xy(x−y)，则下列结论一定成立的是（）A．f(1)=1 B．f(x)为偶函数C．f(x)有最小值 D．f(x)在[0,12．已知函数f(x)=(12)xA．−(12)x B．(113．已知函数f(x)为R上的奇函数，且在R上单调递增.若f(2a)+f(a−2)>0，则实数a的取值可以是（）A．−1 B．0 C．1 D．214．已知函数f(x)的定义域为R，f(x+y)−f(x−y)=f(x+32)f(y+A．f(32)=0 C．f(0)=−2 D．f(x)的一个周期为315．已知b>0，函数f(x)=a+4bx16．已知函数f(x)的定义域D=(−∞,0)∪(0,+∞)，对任意x1,x2∈D，恒有f(x1反思提升：1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.3.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.二、【考点2】函数的周期性及应用17．德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数D(A．D(D(x))C．D(x)是奇函数 18．定义在R上的函数f(x)满足f(x−3)A．f(x)的值域为[0B．f(x)图象的对称轴为直线x=4kC．当x∈(−3，−2)D．方程3f(19．已知函数fx定义域为R且不恒为零，若函数y=f2x−1的图象关于直线x=1对称，y=f2−xA．fx+6=fxC．x=7是fx图象的一条对称轴 D．56,0是f20．设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g'(x).若f(x+4)=g(−x)+2，A．函数f(x)的图象关于直线x=1对称B．g(2023)+g(2025)=−2C．k=1D．k=121．已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)是奇函数，f(x−1)22．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则f(2024)=．反思提升：1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.三、【考点3】函数的对称性23．下列关于函数f(A．f(x)的图象关于原点对称 B．fC．f(x)的图象关于直线x=π4对称 24．已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=−f(x+2)，且函数f(x+1)的图象关于(−1,0)对称，当x∈[−1,A．函数y=f(x)的图象关于点(k,B．函数y=f(x)的图象关于直线x=2k(k∈Z)对称C．函数y=|f(x)|的最小正周期为2D．当x∈[2,3]25．已知函数y=f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，当x∈[0，2)时，f(x)=2A．f(2)=0B．点(4，0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心C．函数y=f(x)在[−6，−2]上单调递增D．函数y=f(x)在[−6，6]上有3个零点26．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x)A．gB．函数y=f(x+1)x的图象关于点C．g(x+2)=g(x)D．k=127．已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x都有f(x+3)=f(x+2)f(x+1)，f(x)=f(2−x)成立，若f(2)=1，则k=1nf28．定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，函数g(x)反思提升：对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称.四、【考点4】函数性质的综合应用29．函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=4x−x2,0<x≤22|x−3|+13,x>2，A．1118 B．1712 C．530．已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y),A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<b<a31．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(x+3)=f(2024)，f(−x)=f(x+2)，且f(1A．f(x)的最小正周期为4 B．f(2)=0C．函数f(x−1)是奇函数 D．k=132．定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下列条件：（1）f(xy)=yf(x)−xf(y)A．f(1)=0 B．当0<x<1时，f(x)<0C．f(x2)≥2f(x) D．f(x)33．已知函数f(x)满足f(x+y)34．设函数y=fx的定义域为R，且fx+1为偶函数，fx−1为奇函数，当x∈−1,1时，f反思提升：1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解.3.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.4.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.五、【基础篇】35．若函数y=fx−1是定义在R上的奇函数，则A．3 B．2 C．−2 D．−336．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x都有f(x+2)=−f(x)A．-1 B．0 C．1012 D．202437．已知fx是定义域为R的偶函数，f5.5=4，gx=A．−6 B．−4 C．4 D．638．已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，若y=f(2x+1)的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（）①f(14③f(x)的一个对称中心为(1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个39．已知函数f(x)=sinA．f(x)是奇函数 B．f(x)的最小正周期为πC．f(x)的最小值为−12 D．f(x)在40．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)为奇函数，f(2x+1)为偶函数，则（）A．函数f(x)的图象关于点(2,B．函数f(x)的图象关于直线x=1对称C．f(1)+f(7)=0D．f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2024)=041．已知f(x)=sin(x+π6)A．将f(x)的图象向左平移π2个单位长度可以得到g(x)B．将f(x)的图象向右平移π2个单位长度可以得到g(x)C．f(x)的图象与g(x)的图象关于直线x=5πD．f(x)的图象与g(x)的图象关于直线x=7π42．函数g(x)=ex−e−x243．已知函数f(x)是偶函数，对任意x∈R，均有f(x)=f(x+2)，当x∈[0,1]时，f(x)=1−x，则函数g(x)=f(x)−log44．已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=−x545．已知函数f(x)=log2(（1）求实数k的值；（2）讨论函数g(x)=(46．求下列情况下a的值（1）若函数f(x)=x3(a⋅（2）已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−eax，若f(ln六、【能力篇】47．已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x1,x2∈(−∞,0)A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．c<a<b48．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若f(x)满足f(2+3x)=f(−3x)A．g(x)是偶函数 B．g(x)=g(x+4)C．f(x)+f(−x)=0 D．k=149．已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且f(x+1)+f(x+2)=0，当x∈[0,12]时，f(x)=6x50．已知函数f(x)是定义在R（1）证明：函数f(（2）当x∈[0,2]时，f七、【培优篇】51．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(y)=f(x+y)−2xy+2,f(1)=2，则下列结论正确的是（）A．f(4)=12 B．方程f(x)=x有解C．fx+12是偶函数 52．已知函数f(x)的定义域为R，且f(A．f(x)为偶函数C．f(−1)53．已知定义在0,+∞上的增函数fx满足：对任意的a,b∈0,+∞都有fab=fa+fb且f4=2，函数gx满足gx+g4−x=−2，g4−x=gx+2.当x∈0,1时，gx=fx+1−1，若g

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】∵fx=xexeax-1是偶函数，

∴fx-f-x=xexeax-1--xe-xe2．【答案】B【解析】【解答】解：f(x)=(x+a)ln2x−12x+1的定义域为2x−12x+1>0，求得x∈-∞，-12∪12，+∞，

∵f(x)=(x+a)ln2x−12x+1为偶函数，f(1)=(1+a)ln13，故答案为：B.

【分析】由偶函数的定义有f(1)=f(-1)，代入求出a，进而验证.3．【答案】D【解析】【解答】因为y=g(x)所以g(2−x)=g(x+2)，因为g(x)−f(因为f(x)代入得f(x)所以f(3)+f(5)+…+f(21)=(−2)×5=−10，f(4)+f(6)+…+f(22)=(−2)×5=−10.因为f(x)+g(2−x)因为g(x)−f(联立得，g(2−x)+g(x+4)=12，所以y=g(x)的图像关于点(3所以g(3)=6因为f(x)所以k=122故答案为：D

【分析】利用y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g(2−x)=g(x+2)，再利用g(x)−f(x−4f(3)+f(5)+…+f(21)，f(4)+f(6)+…+f(22)的值，再利用f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，进而得出f(0)的值，从而得出f(2)的值，再利用g(x4．【答案】A【解析】【解答】解：因为f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，令x=1,y=0可得，2f(1)=f(1)f(0)，所以f(0)=2，令x=0可得，f(y)+f(−y)=2f(y)，即f(y)=f(−y)，所以函数f(x)为偶函数，令y=1得，f(x+1)+f(x−1)=f(x)f(1)=f(x)，即有f(x+2)+f(x)=f(x+1)，

从而可知f(x+2)=−f(x−1)，f(x−1)=−f(x−4)，故f(x+2)=f(x−4)，即f(x)=f(x+6)，

所以函数f(x)的一个周期为6．因为f(2)=f(1)−f(0)=1−2=−1，f(3)=f(2)−f(1)=−1−1=−2，f(4)=f(−2)=f(2)=−1，f(5)=f(−1)=f(1)=1，f(6)=f(0)=2，

所以一个周期内的所以k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1−1−2−1=−3【分析】根据题意赋值求得函数f(x)5．【答案】B【解析】【解答】解：因为f(x+2)为偶函数，则有f(2+x)=f(2-x)，可得f(x+3)=f(1-x)，

又因为f(2x+1)为奇函数，则有f(1-2x)=-f(2x-1)，可得f(1-x)=-f(x+1)，

所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x)=f(x+4)

故函数f(x)的周期为T=4

又因为函数F(x)=f(2x+1)是奇函数，则F(0)=f(1)=0

故f(-1)=-f(1)=0

故答案为：B

【分析】推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.6．【答案】D【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，

又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，

由f(0)+f(3)=6得a=-2，

所以f92=f2+527．【答案】A,B,C【解析】【解答】Ａ：令ｘ＝ｙ＝0，则ｆ0＝0＋0＝0，故Ａ正确

Ｂ：令ｘ＝ｙ＝1，则ｆ1＝ｆ1＋ｆ1，即ｆ1＝0，故Ｂ正确

Ｃ：令ｘ＝-1，ｙ＝1，则ｆ-x＝ｆx＋ｆ1，结合B可得，ｆ-x＝ｆx

∴ｆｘ为偶函数，Ｃ正确

Ｄ：由f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，等式两边同除x2y2，则f(xy)x8．【答案】B,C【解析】【解答】解：因为f(32−2x)为偶函数，所以f(32−2x)=f(32+2x)，

即f(32−x)=f(因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2−x)，g(4−x)=g(x)，所以g(x)关于x=2对称，

由①求导，和g(x)=f若函数f(x)满足题设条件，则函数f故答案为：BC.【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，再根据函数的性质逐项判断即可.9．【答案】2【解析】【解答】∵fx=x-12+ax+sinx+π2=x2+1+a-2x+cosx，

∵y=cosx10．【答案】1【解析】【解答】因为f(x)=x3(a⋅因为f(x)为偶函数，故f(−x)=f(x)，时x3(a⋅2故a=1，故答案为：1

【分析】根据题意，利用f(−x)=f(x)，列出方程，即可求解.11．【答案】C【解析】【解答】解：由于函数f(x)的定义域为R，且yf(x)−xf(y)=xy(x−y)，令y=1，则f(x)−xf(1)=x(x−1)，得f(x)=xx=1时，f(1)=12+[f(1)−1]由于f(1)=1不一定成立，故f(x)=x由于f(x)=x2+[f(1)−1]x的对称轴为x=−故f(x)在[0,由于f(x)=x2+[f(1)−1]x故答案为：C.【分析】由题意，利用赋值法求出f(x)=x12．【答案】C【解析】【解答】解：当x>0时，则−x<0，因为x<0时，fx=1又因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，即−f(x)=2x⇒f(x)=−即g(x)=−2故答案为：C.【分析】根据函数为奇函数，结合题意求函数g(x)的解析即可.，13．【答案】C,D【解析】【解答】解：函数f(x)为R上的奇函数，则不等式f(2a)+f(a−2)>0，变形可得f(2a)>−f(a−2)=f(2−a)，因为函数f(x)在R上单调递增，所以不等式f(2a)>f(2−a)成立，则2a>2−a，解得a>2故答案为：CD.【分析】利用函数f(x)为奇函数，将不等式f(2a)+f(a−2)>0变形为f(2a)>f(2−a)，再根据函数f(x)在R上的单调递增，将不等式f(2a)>f(2−a)转化为2a>2−a求解即可得实数a的取值范围.14．【答案】A,C【解析】【解答】解：令x=y=0，则f(0)−f(0)=f2(令x=0，则f(y)−f(−y)=f(32)f(y+32f(3)=f(−3)，令x=y=32，则令x=y=−32，则f(−3)−f(0)=f所以(f2(0)+f(0))2=f2令y=−32，则所以f(x−32)+f(x+32)=0，故答案为：AC．【分析】根据条件等式，利用赋值法，求特殊函数值，以及判断函数的奇偶性和周期性.15．【答案】-1；1【解析】【解答】解：函数f(x)=a+4bx2x是定义域为R的奇函数，则f(0经检验a=−1，b=1满足题意，故a=−1，b=1.故答案为：−1；1.【分析】根据奇函数的定义列式求解即可，注意检验.16．【答案】(−∞【解析】【解答】解：由f(x1x设g(x)=f(x)+1x，则g(x1x取x1=x2=−1，得g(−1)=所以g(x)是偶函数，所以g(x)=g(|x|)，因为当x1>x2>0得x1f(x2)−即f(x2)+1x2>f(由g(−1)=0，得f(−1)=−1，由f(2)=−3，得g(2)=−1,所以(x+1)f(1x+1)+x+2>f(−1)即g(1|x+1|)>g(4)，所以1|x+1|<4所以不等式(x+1)f(1x+1)+x+2>f(−1)故答案为：(−∞,【分析】根据已知条件，构造函数g(x)=f(x)+1x，根据奇偶性、单调性的定义判断函数g(x)的奇偶性以及单调性，将问题转化为求解17．【答案】D【解析】【解答】解：A、因为Dx=0或Dx=1均为有理数，则D(D(x))=1>0，即D(D(x))无零点，故A错误；

B、因为D(1)=D(2)=1，D2=0，则D(1)=D(2)=1>D2=0，

即D(x)不是单调函数，故B错误；18．【答案】C【解析】【解答】解：因为f(x−3)=f(x+1)因为f(x)所以函数的值域为[0，函数的对称轴为x=2k(k∈Z)，B不符合题意；当x∈(−3，−1]时，x+4∈(1，3]，所以f(x)=f(x+4)=2−2|(x+4)−2|=2−2|x+2|，所以当方程3f(x)=x的解的个数，即f(x)=x故答案为：C

【分析】依题意可得，f(x)是以t为最小正周期的周期函数，再根据[-1，3]上的解析式，画出函数的部分图象，结合函数图象，逐项进行判断，可得答案.19．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因为y=f2x−1的图象关于直线x=1所以f2+2x−1=f2−2x−1所以f1+x所以fx的图象关于直线x=1因为y=f2−x+1的图象关于点所以f2−x+1+f2+x所以fx的图象关于点2,0所以fx令x=2，得f2由f1+x=f1−x，f故f2-x=-f4-x所以fx+4所以函数fx的周期T=4所以fx+6=fx+2所以fx+6因为f10因为fx的图象关于直线x=1对称，fx的图象关于点所以f3+x所以x=1,x=3为函数fx再结合函数的周期性可得，x=1+2k，k∈Z为函数fx所以x=7是函数fx因为f1+x=f1−x所以f−x所以原点为函数fx再结合函数周期性可得点2+2k,0，k∈Z为函数fx所以点56,0是函数fx故答案为：BCD.【分析】由已知条件证明直线x=1为函数fx的对称轴，根据点2,0为函数fx的对称中心，则结合周期函数的定义证出函数fx为周期函数，则判断出选项A；证明f20．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、因为g'(x)=f可得g(4−x)=f(2−x)+a，又因为f(x)−g(4−x)=2，可得f(x)=f(2−x)+a+2.令x=1，可得f(1)=f(1)+a+2，解得a=−2，可得f(x)=f(2−x)，所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，A正确；C、因为f(x+2)为奇函数，可知y=f(x)的图象关于点(2,0)对称，且令x=0，可得2f(2)=0，即f(2)=0；令x=1，可得f(1)+f(3)=0；令x=1，可得f(4)+f(0)=0；由函数f(x)的图象关于直线x=1对称，可得f(0)=0；所以f(4)=0，又因为f(x+2)=−f(−x+2)=−f(x)，则f(x)=−f(x+2)=f(x+4)，可知函数f(x)的周期T=4，所以k=1f(k)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=0B、由AC可知g(x)=f(x−2)−2=f(x+2)−2=−f(x)−2，可得g(2023)=f(2021)−2=f(1)−2，g(2025)=f(2023)−2=f(3)−2，所以g(2023)+g(2025)=f(1)−2+f(3)−2=−4，故B错误；D、可得k=1g(k)=故答案为：AC.【分析】由题意设g(x)=f(x−2)+a，根据题意分析可得a=−2，f(x)=f(2−x)即可判断A；结合奇偶性可得函数f(x)的周期为4，结合周期性分析求解即可判断C；由AC分析可得g(x)=f(x−2)−2=f(x+2)−2=−f(x)−2，根据周期性分析求解即可判断B；结合BC选项中的结论求解即可判断D.21．【答案】-1【解析】【解答】解：因为f(x+2)是奇函数，可得f又因为f(x−1)是偶函数，可得f所以f(所以f(x)是周期为12的周期函数，则f(故答案为：−1.【分析】由题意，结合f(x+2)为奇函数，f(x−122．【答案】-1【解析】【解答】解：函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，

令x=1,y=0，则因为f(1)=1，所以f(0)=2，令x=y=1，则f(2)+f(0)=f(1)f(1)，求得f(2)=−1，令y=1，则f(x+1)+f(x−1)=f(x)f(1)=f(x)，即f(x−1)=f(x)−f(x+1)，所以f(x)=f(x+1)−f(x+2)，所以f(x−1)=f(x+1)−f(x+2)−f(x+1)=−f(x+2)所以f(x+2)=−f(x+5)，所以f(x−1)=f(x+5)，即f(x)=f(x+6)，即函数f(x)是以6为周期的周期函数，则f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=−1，故答案为：−1.【分析】由题意，利用赋值法，先令x=1,y=0求出f(0)=2，再令x=y=1求得f(2)=−1，最后令y=1推出函数23．【答案】D【解析】【解答】解：A、要使f(x)=tan且满足f(−x)即函数f(B、因为f(所以π是函数f(x)的一个周期，由选项A知点(0则(π,0C、因为f(π所以函数f(x)D、因为函数y=x+1x在(0,1由复合函数的性质可知，函数f(x)故答案为：D．【分析】先求函数的定义域，再根据奇函数的定义即可判断A；根据函数的周期性即可判断B；根据函数的对称轴即可判断C；根据复合函数的性质即可判断D.24．【答案】C【解析】【解答】解：因为函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=−f(x+2)，

即f(x)=-f(x+2)=-[-f(x+4)]=f(x+4)恒成立，所以f(x)的周期为4，因为函数f(x+1)的图象关于(−1,0)对称，所以将y=f(x+1)的图象向右平移一个单位，

得到y=f(x)的图象，所以y=f(x)的图象关于故f(x+2)=-f(x)=f(−x)，因此f(x)的图象关于x=1对称，设x∈[1,3]，则因为函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=−f(x+2)所以f(x)=−f(x−2)=−tan所以f(x)=tanx作出y=f(x)的图象，如图所示：由图象可知，函数y=f(x)的图象关于点(2k,0)(k∈Z)中心对称，关于直线x=2k+1(k∈Z)对称，函数y=|f(x)|的图象可以看成y=f(x)的图象x轴上方的图象保留，把x轴下方的图象翻折到x轴上方，所以函数y=|f(x)|的最小正周期为2，故C正确.故答案为：C.【分析】求解函数的周期，利用函数的图象判断函数的对称性即可判断AB；求出新函数的周期即可判断C；求解函数的解析式即可判断D.25．【答案】A,B【解析】【解答】在f(x+4)=f(x)+f(2)中，

令x=−2，得f(−2)=0，

又函数y=f(x)是R上的奇函数，

所以f(2)=−f(−2)=0，f(x+4)=f(x)，

故y=f(x)是一个周期为4的奇函数，

因(0，0)是f(x)的对称中心，

所以(4，0)也是函数y=f(x)的图象的一个对称中心，A、B符合题意；

作出函数f(x)的部分图象如图所示，

易知函数y=f(x)在[−6，−2]上不具单调性，C不正确；

函数y=f(x)在[−6，6]上有7个零点，D不正确.故答案为：AB【分析】通过赋值法可得y=f(x)是一个周期为4的奇函数，作出f(x)的部分图象，数形结合即可得到答案.26．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、因为y=g(x+2)为偶函数，可得：g(−x+2)=g(x+2)，即g(−x)=g(x+4)，则g'(−x)+gB、因为y=f(x+1)−x为偶函数，所以y=f(x+1)−xy=f(x+1)x−1，则y=C、y=f(x+1)−x为偶函数，其导函数y'可得g(−x+1)−1=−[g(x+1)−1]，即g(−x+1)=−g(x+1)+2，得g(−x)=−g(x+2)+2，所以g(−x)=g(x+4)=−g(x+2)+2，即g(x+2)=−g(x)+2，则g(x+4)=−g(x+2)+2=−[−g(x)+2]+2=g(x)，可知g(x)的周期为4，故C错误；D、因为y=g(x+1)−1为奇函数，将x=0代入，得g(0+1)−1=g(1)−1=0，得g(1)=1，因为y=g(x+2)为偶函数，可得：y=g(x)关于x=2对称，由g(1)=1且g(x)关于x=2对称，知g(3)=1，又g(x)的周期为4，可得g(2k+1)=1（k∈N），选项C中有等式g(x+2)=−g(x)+2，即g(x)+g(x+2)=2，则有g(4k+2)+g(4k+4)=2（k∈N）成立，则k=1g(k)=g(1)+506×4=2025故答案为：ABD.【分析】根据题意结合函数的奇偶性、对称性以及符合函数的求导即可判断ABC；结合对称性，进行赋值求出g(x+2)=−g(x)+2，则有g(4k+2)+g(4k+4)=2成立，即可判断D.27．【答案】n【解析】【解答】解：由f(x)=f(2−x)可得函数f(x)图象关于直线x=1对称，因f(2)=1，故f(0)=1，在f(x+3)=f(x+2)f(x+1)中，令再令x=0，代入可得f(3)=1，再令x=1，代入可得故令x=n−3，代入可得f(n)故答案为：n.【分析】由函数f(x)满足f(x)=f(2−x)求得函数f(x)的对称性，再对f(x+3)=f(x+2)f(x+1)中的x进行赋值，求得f(0)=1，f(28．【答案】2499【解析】【解答】解：因为函数f(x)的图象关于点(则f(−x)又因为g(x)的图象关于直线x=2所以g(x+4)+g(x+2)=−2，即g(x+2)+g(x)=−2，可得g(x+4)因为g(0)=f(0)所以g(1)=f(1)−2=−1，所以f=−4×12−1−2+2550=2499.故答案为：2499.【分析】根据抽象函数的对称性、周期性计算即可.29．【答案】C【解析】【解答】解：函数y=f(x)+12是奇函数，则即f(−x)+f(x)=−1，则函数f(x)关于点(0,−1而y=kx−12也关于点(0,方程f(x)−kx+12=0根，即为函数y=f(x)因为两个函数都关于点(0,−12)画出两个函数的图象，如图所示：若i=1f(xi当直线y=kx−12过点(2,73当直线y=kx−12过点(2,2)时，所以满足条件的k的取值范围是[54,故答案为：C.【分析】由y=f(x)+12为奇函数求得函数f(x)关于点(0,−130．【答案】A【解析】【解答】解：已知(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y)令x=y=12，代入可得f(1)=1令x=y=1，代入可得2f(2)=f2(1)=令x=1,y=2，代入可得3f(3)=2f(1)f(2)=2e×e由e≈2.71828⋅⋅⋅可得±2e<e故答案为：A【分析】根据函数f(x)满足的表达式以及f(1)=e，利用赋值法即可计算出a,31．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、因为f(x+1)+f(x+3)=f(2024)，所以f(x)+f(x+2)=f(2024)，f(x+2)+f(x+4)=f(2024)，所以f(x+4)=f(x)，即f(x)的最小正周期为4，故A正确；B、因为f(x+1)+f(x+3)=f(2024)，令x=2021，则f(2022)+f(2024)=f(2024)，所以f(2022)=0，由A可知，f(2022)=f(4×505+2)=f(2)=0，故B正确；C、因为f(−x)=f(x+2)，①令x=0，则f(0)=f(2)=0，所以f(2024)=f(4×506)=f(0)=0，所以f(x)+f(x+2)=f(2024)=0，②由①②，所以f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数，若函数f(x−1)是奇函数，则f(−x−1)=−f(x−1)，所以f(−x−1)=f[−(x+1)]=−f(x+1)，即f(x−1)=f(x+1)，所以f(x+2)=[f(x+1)+1]=f[(x+1)−1]=f(x)，所以f(x)的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误；D、因为f(x)为奇函数，且f(12)=又因为f(x)的最小正周期为4，所以f(7因为f(−x)=f(x+2)，所以f(32)=f(−所以k=14k=5=5×f(=5×1以此类推，所以k=12024故答案为：AB.【分析】据题意，通过赋值得到f(x)+f(x+2)=f(2024)，f(x+2)+f(x+4)=f(2024)即可判断A；令x=2021，可求出f(2022)=0，由周期性即可判断B；令x=0，得到f(0)=f(2)=0，由周期性f(2024)=f(4×506)=f(0)=0，可证明函数f(x)是奇函数，假设函数f(x-1)是奇函数，推出矛盾即可判断C；由周期性及对称性即可判断D.32．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、由f(xy)=yf(x)−xf(y)，取x=y=1B、由f(xy)=yf(x)−xf(y)，取x=1，f(1)=0，故f当0<x<1时，1x>1，则f(1xC、由f(xy)=yf(x)−xf(y)，取x=y2，可得，f因y>0，y+1y≥2，当且仅当y=1时取等号，但因f(y)的符号不能确定，D、任取x1>x2>1，则x则x2f(x1)−x1f(x2)>0，即f(x1)x1>f(x故答案为：AB.【分析】取x=y=1求解即可判断A；取x=1，再由条件当0<x<1时，f(x)<0即可判断B；利用基本不等式，但因f(x)在(0,33．【答案】10100【解析】【解答】解：由函数f(x)取x=12,令x=n,y=1，可得f则f(100)===2×(故答案为：10100.【分析】由题意，取x=12,y=12求得f(34．【答案】−1【解析】【解答】解：因为函数y=fx的定义域为R，且fx+1为偶函数，则f1−x=f1+x所以，函数fx的图象关于直线x=1对称，也关于点−1,0所以，f−x=fx+2所以，fx+2=−fx−2所以，函数fx是周期为8当x∈−1,1时，fx=1−x2，则ff2=f0=1，f5=f−3所以，k=18又因为2023=8×253−1，所以，k=12023故答案为：−1.【分析】利用奇函数的和偶函数的性质和函数的图象的对称性，从而得出函数fx是周期为8的周期函数，再根据题中条件求出fkk=1,2,3,⋯,835．【答案】A【解析】【解答】解：设Fx=fx−1，

则即fx+f−x因为F0=f0−1=0，

所以故答案为：A.【分析】利用函数y=fx−1是定义在R上的奇函数，设Fx=fx−1，再根据奇函数的性质可得fx36．【答案】B【解析】【解答】解：由f(x+2)由f(x+1)为偶函数，可知f(x)关于x=1因为f(x+2)=−f(显然f(3)=−f(1)=−2,所以f(故答案为：B.【分析】由f(x+2)=−f(x)，推得函数f(x)37．【答案】D【解析】【解答】解：因为gx+1所以gx的图象关于直线x=1即gx即x−1f所以，fx所以，函数fx关于点(1,0)又因为fx是定义域为R所以fx所以fx−4即fx−4所以，函数fx所以，f(5.5)=f(1.5)=f(−2.5)=f(2.5)=4，所以，g(−0.5)=g(2.5)=1.5f(2.5)=6.故选：D.【分析】根据偶函数的图象的对称性和图象的平移变换，从而得到函数gx的对称轴，即gx=g(2−x)，再结合g(x)=x−1fx和函数f(x)为偶函数，可得到38．【答案】B【解析】【解答】解：∵y=f(2x+1)的最小正周期为1，∴y=f(x)的最小正周期为2，∴f(x)=f(2+x)，

∵y=f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(x)=-f(-x)，

②③∵f(x)=f(2+x)，f(x)=-f(-x)，∴f(2+x)=-f(-x)，即f(1+x)=-f(1-x)，∴f(x)的一个对称中心为(1，0)，

∴f(1+12)=-f(1-12)，∴f(故答案为：B.

【分析】由y=f(2x+1)的最小正周期为1得y=f(x)的最小正周期为2，结合y=f(x)是定义域为R的奇函数，得f(2+x)=-f(-x)，所以f(x)的一个对称中心为(1，39．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、易知函数f(x)定义域为R，且满足f(−x)=sin(−x)⋅|cosB、f(−π4)=则f(−π4+π)≠f(−π4C、f(x)=sinx⋅|cosx|≥−|sinxcosx|=−1D、f(π2)=sinπ2⋅|cosπ2|=0故答案为：AC.【分析】先求函数的定义域，结合奇偶函数的定义判断A；计算f(−π4)，f(3π440．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、因为f(x+2)为奇函数，所以f(−x+2)+f(x+2)=0，则f(2−x)+f(2+x)=0，即f(x)的图象关于点(2,B、由f(2x+1)为偶函数，可得f(−2x+1)=f(2x+1)，于是f(1−2x)=f(1+2x)，即f(1−x)=f(1+x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，故B正确；C、f(x+2)=−f(2−x)=−f(1−(1−x))=−f(x)，从而f(x+4)=f(x)，所以f(x)以4为周期，可得f(7)+f(1)=f(3)+f(1)，由f(2−x)+f(2+x)=0中，令x=1，得f(1)+f(3)=0，故C正确；D、由前面的分析可得f(4)+f(0)=0，f(2)=f(0)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2024)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0，故D正确．故答案为：BCD.【分析】由题意，根据函数的奇偶性推得函数的对称性和周期，结合选项逐项判断即可.41．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、因为f(x)=sin(x+π6)y=sin(x+πB、因为f(x)=sin(x+π6)y=sin(x+πC、与f(x)的图象关于直线x=5πy=f(2×5πD、与f(x)的图象关于直线x=7πy=f(2×7π故答案为：BD．【分析】根据正弦性函数的图象变换，结合函数的对称性逐项判断即可.42．【答案】-2【解析】【解答】解：g(−x)=e则g(x)+g(−x)=e故g(−a)=4−g(a)=−2.故答案为：−2.【分析】由题意，求得g(−x)=e−x−43．【答案】4【解析】【解答】解：因为函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，

由f(x)=f(x+2)，可得函数f(x)的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象与y=log如图所示，共有4个不同的交点，即g(x)=f(x)−log故答案为：4.【分析】由题意求得函数的对称轴以及周期，问题转化为函数y=f(x)的图象与y=log44．【答案】4【解析】【解答】解：由题意可得f0=a−1=0，解得所以，当x≥0时，fx所以f−a故答案为：4.【分析】由奇函数性质可求得a的值，再结合f−a=−fa45．【答案】（1）解：函数f(x)是定义域在R上的偶函数，则f(x)−f(−x)=0⇒log⇒log因为x∈R，所以k=1；（2）解：函数g(x)=(2k)即4令2x=t①当m=1时，t=−1，此时方程(*)无解；②当m>1时，函数y=(m−1)t2−mt−1则t只有一解，此时方程(*)只有一解；③当0<m<1时，函数y=(m−1)t2−mt−1函数的对称轴t=m2(m−1)<0综上，当0<m≤1时函数g(x)无零点，当m>1时函数g(x)有一个零点.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数，满足f(x)−f(−x)=0列式求解即可；

（2）由题意将零点问题转化为方程解的问题，利用换元法，结合二次函数的性质分类讨论求解即可.46．【答案】（1）解：因为f(x)=x3(a⋅因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，所以x3整理得到(a−1)(2x+（2）解：因为f(x)是奇函数，且当x>0时，−x<0,因为f(lnln2>0所以e−a化简可得−aln解得：a=−3.【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，代入化简求解即可；

（2）根据奇函数的定义，先求出x>0的解析式，再将ln247．【答案】C【解析】【解答】解：当x1,x2∈(−∞,0)又有f(x)为R上的偶函数，所以f(x)在(0,log即log23>0a=f(log123)=f(−log23)=f(lo故答案为：C.【分析】根据已知条件判断函数f(x)的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系转化求解即可.48．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、因为函数g(x−2)则g(2−x−2)=g(2+x−2)，即g(−x)=g(x)，所以，函数g(x)为偶函数，故A正确；B、因为f(2+3x)=f(−3x)，令t=3x，可得f(t+2)=f(−t)，即f(x+2)=f(−x)，对等式f(x+2)=f(−x)两边求导得f'(x+2)=−f故g(x+2)+g(x)=0，所以g(x+4)=−g(x+2)=g(x)，故B正确；C、因为g(x)=f'(x)令h(x)=f(x)+f(−x)，则h'(x)=f设h(x)=f(x)+f(−x)=C，其中C为常数，当C≠0时，f(−x)=C−f(x)≠−f(x)，故C错误；D、因为g(x+2)⊥g(−x)