2024-2025学年广东省珠海市高一上册第一次月考数学学情检测试卷（含解析）

2024-2025学年广东省珠海市高一上学期第一次月考数学学情检测试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.2.下列命题中，存在量词命题的个数是（）①实数的绝对值是非负数；②正方形的四条边相等；③存整数n，使n能被11整除.A.1 B.2 C.3 D.03.已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.54.设a，b是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知集合，，则中元素的个数为（）A2 B.3 C.4 D.66.已知，则的最小值为（）A3 B.2C.4 D.17.已知集合，，则（）A. B. C. D.8.已知，则的最小值是A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列各组中表示不同集合的是（）A.，B，C.，D.，10.下列命题中，正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”必要不充分条件C.“”是“”的充要条件D.“”是“”的必要不充分条件11.设，，且，则（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.高一（1）班共有学生50人，班级设置了数学和物理两个理科兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有30人，参加物理兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有15人，则两个兴趣小组都没有参加的学生有____人．13.已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．14.已知，则的最小值为____________四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.（1）求A∪B，；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围.16.设全集，集合，集合.（1）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围；（2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围.17.不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：（1）已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式（2）甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.18.（1）已知，求证.（2）已知，求代数式和的取值范围．19.《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．例如，，求证：．证明：原式．波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：（1）已知，求的值．（2）若，解关于的方程．（3）若正数，满足，求的最小值．2024-2025学年广东省珠海市高一上学期第一次月考数学学情检测试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】易得阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解.【详解】由题意得，阴影部分表示的集合为．故选：C.2.下列命题中，存在量词命题的个数是（）①实数的绝对值是非负数；②正方形的四条边相等；③存在整数n，使n能被11整除.A.1 B.2 C.3 D.0【正确答案】A【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的概念，即可得答案.【详解】①可改写为，任意实数的绝对值是非负数，故为全称量词命题；②可改写为：任意正方形的四条边相等，故为全称量词命题；③是存在量词命题.故选：A3.已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【正确答案】B【分析】采用列举法列举出中元素的即可.【详解】由题意，，故中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.4.设a，b是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】利用充分性和必要性知识解决即可．详解】若，则不能判断正负，则推不出.若，即，即也推不出．故”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D.5.已知集合，，则中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.6【正确答案】C【分析】采用列举法列举出中元素的即可.【详解】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.6.已知，则的最小值为（）A.3 B.2C.4 D.1【正确答案】A【分析】因为，所以，将分离常数既可以用基本不等式求最值.【详解】因为，所以，由均值不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为3，故选：A本题主要考查了基本不等式求和的最小值，属于基础题.7已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】理解含义后运算【详解】由题意得，是所有奇数的集合，是所有被4除余的整数集故，故选：C8.已知，则的最小值是A. B. C. D.【正确答案】B【分析】将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案．【详解】因为，又，所以，当且仅当时取，故选B．本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列各组中表示不同集合的是（）A.，B.，C.，D.，【正确答案】ABD【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故；选项B中，与表示不同的点，故；选项C中，，，故；选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故.故选：ABD10.下列命题中，正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.“”是“”的充要条件D.“”是“”的必要不充分条件【正确答案】AB【分析】A项：利用不等式知识即可判断；B，C项：根据充分条件与必要条件知识即可判断；D项：根据交并集知识即可判断.【详解】对于A项：由“”可以推出，但反之不可以，故A项正确.对于B项：由“”推不出“”，但反之可以，故B项正确.对于C项：由“”可以推出“”，但反之不可以，故C项错误.对于D项：由题意知：是(A∩B)∪C的子集，所以“”可以推出“，但反之不可以，故D项错误.故选:AB.11.设，，且，则（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为【正确答案】ACD【分析】利用基本不等式可判断A选项；求出的取值范围，可得出的取值范围，可判断B选项；利用二次函数的最值可判断C选项；求得，将与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，由基本不等式可得，可得，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，由可得，解得，所以，，B错；对于C选项，由可得，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对；对于D选项，，因为，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.高一（1）班共有学生50人，班级设置了数学和物理两个理科兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有30人，参加物理兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有15人，则两个兴趣小组都没有参加的学生有____人．【正确答案】9【分析】根据集合交集定义，结合文氏图进行求解即可.【详解】记高一（1）班的学生组成全集U，参加数学和物理兴趣小组的学生分别组成集合A和B，用文氏图表示它们之间的关系如图所示，可得数学、物理两个兴趣小组都没有参加的学生有9人．故913.已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．【正确答案】【分析】利用集合法，将是的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于的不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】因为，，且是的必要不充分条件，所以是的真子集，且不是空集.所以且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围是，故答案为:.解决根据充分条件和必要条件条件求参数取值范围的问题：一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系，列出关于参数的不等式(组)求解.14.已知，则的最小值为____________【正确答案】【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】由于，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.（1）求A∪B，；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围.【正确答案】（1）A∪B＝{x|1<x≤8}，{x|1<x<2}（2）{a|a<8}【分析】（1）根据集合的交并补的定义，即可求解；（2）利用运算结果，结合数轴，即可求解.【小问1详解】A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}.∵＝{x|x<2或x>8}，∴∩B＝{x|1<x<2}.【小问2详解】∵A∩C，作图易知，只要a在8的左边即可，∴a<8.∴a的取值范围为{a|a<8}.16.设全集，集合，集合.（1）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围；（2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由充分条件的定义可得，进而建立不等式组，解之即可求解；（2）由题意可得，易知当时符合题意；当时，根据集合的包含关系建立不等式组，解之即可求解.【小问1详解】∵是充分条件，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴实数的取值范围为；【小问2详解】∵命题“，则”是真命题，∴.①当时，∴，∴，∴，符合题意；②当时，∵，，且B是A的子集，∴，∴，a无解；综上所述：实数a的取值范围.17.不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：（1）已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式（2）甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.【正确答案】（1），证明见解析（2）见解析【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可；（2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济.【小问1详解】该不等式为证明：因为，所以，于是.【小问2详解】若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为，若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为，又，所以当时，两种方案一样；当时，第二种方案比较经济.18.（1）已知，求证.（2）已知，求代数式和的取值范围．【正确答案】（1）证明见解析；（2），【分析】(1)根据题意，将原式变形化为完全平方式的形式，即可得证；（2）根据题意，结合不等式的性质及运算即可得到结果.【详解】（1）（当且仅当等号成立）（2）∴．由，得①．由，得②