高考数学（理）答题模板：专题01 复数的概念与运算

专题1复数的概念与运算

---------知识寻源-----------

【复数的概念】

形如a+bi(a,beR)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表

zjxo

复数的表示：

复数通常用字母Z表示，即2=@+杭(a,beR),这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实

部，b叫复数的虚部。

【复数的运算】

1、复数Zi与Z2的和的定义：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；

2、复数zi与Z2的差的定义：zi-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；

3、复数的乘法运算规则：设zi=a+bi,Z2=c+di(a、b、c、d£R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)

(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把

i?换成-1,并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。

a--\---b-i=-(-a--+-b-i-)-(-c---d-i-)=-a-c--+--b-d-+-b-e---a-d-J.

4、复数的除法运算规则：c+出(c+di)«-成)。

共朝复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共扼复数.

虚部不等于0的两个共加复数也叫做共聊虚数。

-a-+-b--i=-(--a-+-b--i-Y-c----d-i-)=-a--c-+--b-d-+,-b-e----a--dJ

复数z=a+bi和c+力(c+di)(c-di)=a-bi(a、beR)互为共扼复数。

【复数的运算律】

1、复数的加法运算满足交换律：Z1+Z2=Z2+Z1；

结合律：(Zi+Zz)+Z3=Z1+(Z2+Z3)；

2、减法同加法一样满足交换律、结合律。

3、乘法运算律：(1)zi(Z2Z3)=(Z1Z2)Z3；(2)zi(Z2+Z3)=Z1Z2+Z4；(3)Zt(Z2+Z3)=Z&+Z1Z3

---------示范例题-----------

【2017年高考全国I卷，理3】

设有下面四个命题

Pi:若复数z满足一wR,则z€R；

z

p2：若复数z满足则zwR；

p3：若复数4*2满足Z]Z2£R，则Z1=Z2；

〃4：若复数zeR,则三ER.

其中的真命题为

ZP\，P3B.PrP4C.P2，P3D.p29p4

【答案】B

【解析】

试题分析：令z=a+加3）6出），则由1=」^=勺丝七五得方=0,所以ZW及,故Pl正确；

当z=i时,因为z?=产=-lwK,而z=i名及知,故p：不正确；

当z】=ZN=i时,满足々n?=-le&，但4工4>知n不正确；

对于P4,因为实数没有虚部，所以它的共瓶复数是它本身，也属于实数，故外正确，故选B.

【考点】复数的运算与性质.

【点拨】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共辄复数，化简成2=。+尻（4,6£/?）的形式进行判断,

共枕复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.

答题思路

【命题意图】高考对本部分内容的考查主要体现在以下几个方面：1.理解复数的基本概念.理解复数相

等的充要条件：2.了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的发数在复平面上用点或向量表

示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示：3.会进行复数代数形式的四则运算：4.了

解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

【命题规律】从近三年高考情况来看，本部分内容为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数相等，

复数的四则运算以及共挽复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一般为选择题或填空题，难度

不大，解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解.

【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下三步：

第一步：构造（求出）未知复数设2=。+〃（。*£/?）,根据具体的要求设定。力（或求出4,6）；

©a+bi（a+bi）（c-di）ac~\~bd

第二步：借助复数四则运算，求出需求结果由一=工^=~

z2c-rdi（c+di）（c—di）c-\-d

（hr刀ci）

，/+；/—i（/+dW0）；Zi•为=（a+历）・（c+di）=（a。-A）+（ad+bc）i等求出需求的结

果;

第三步：关注易错点，检验①共聊复数：a^biUOWR)与c+di(c,d£R)互为共聊复数=a=c,

b=-d\②|z|=|d+bi|=«W+4.

【方法总结】

1.复数的相关概念

⑴对于复数a+历(a,6WR),当且仅当8=0时，是实数；当6#0时，是虚数；当a=0且好0时，

是纯虚数.

(2)复数相等：如果a,b,c,d都是实数，那么a+8i=c+dioa=c且力=d；a+6i=0oa=0且Z?

=0.

(3)共枕复数：a+历(a,b£R)与c+小(c,d£R)互为共枕复数oa=c,b=~d.

2.复数的运算法则

设©=a+Z?i,Z2=c+成(a,b,c,d£R).

运算法则运算形式

加法z】+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+加i

减法zi-Z2=(a+历)—(c+di)=(a~c)+(b-cbi

乘法Z\•Z2=(a+历)•(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

z\a+bi(a+bi)(c-di)ac+bd(be-ad).

zic+di(c+M)(c—di)/+d/+d1

除法

(c+^0)

3.常用结论

(l)i4fl=l,i4fl+，=i,i4fl+2=-l,i，o+3=-i,〃£M.

(2)(l±i)a=±2i,(a+bi)(a—bi)=，+反

4.复数的几何意义

复数z=a+bi-对座》复平面内的点Z(a,b)

(1)复数加法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则;

(2)复数减法的几何意义：复数减法即向量的减法，满足三角形法则.

5.复数的模

向量应的长度叫作复数z=&+bi（&》£R）的模，记作|z|,即量|=|&+历|=\/才+$.

6.模的运算性质

⑴|Z『=|；|2=Z・；；

⑵|0•勿I=I21II为I;

⑶国=B1.

真题练习

1.【2017年高考全国in卷】复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由题意：z=-l-2z,在第三象限.所以选C.

【考点】更数运算

【点拨】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.deR).其次要熟悉及数相关基本概念，如复数

〃+加(。,办£R)的实部为。、虚部为力、模为+3、对应点为(。,方)、共胡为。一瓦.

2.【2017年高考全国H卷】含■一()

A.1+2/B.1-2/C.2+iD.2-i

【答案】D

【解析】

试题分析：由复数除法的运算法则有：把:")(1)=27,故选D。

1+Z2

【考点】复数的除法

【点拨】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。除法实际上是分母实数化的过程。在做复数的除

法时，要注意利用共趣复数的性质：若Z,Z2互为共扼复数，则©-Z2=|ZF=|切2,通过分子、分母同

乘以分母的共枕复数将分母实数化。

3.【2017年高考北京卷，理2】若复数(l-i)(〃+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范

围是

(A)(-8,1)(B)(-8,-1)

(C)(1,+8)(D)(-1,+8)

【答案】B

【解析】

试题分析：z=(lT)g+i)=(a+l)+(l-a)i,因为对应的点在第二象限，所以“_口＞0，解得：

a<-1,故选B.

【考点】复数的运算

【点拨】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复

数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.狂数z=a十加二一对号狂平面内的点Z(a,

A)(a,Z?eR).复数z=a+Z?i(a,Z?eR).“叫平面向量OZ.

4.【2017年高考山东卷，理2】已知。€R,i是虚数单位，若z=a+®,z.z=4,则a;

(A)1或-1(B)V7或-V7(C)-6(D)6

【答案】A

【解析】试题分析：由z=〃+J8i,z・z=4得/+3=4,所以。=±1,故选A.

【考点】1.好数的概念.2.好数的运算.

【点拨】复数。+〃(。1£1^)的共规复数是。一方(4功£1<),据此结合已知条件，求得4的方程即可.

5.【2017年高考浙江卷，理12]已知a,beR,(a+^i)2=3+4i(i是虚数单位)则/+匕2=,

ab=.

【答案】5,2

【解析】

试题分析：由题意可得/+2Mi=3+4i,则"=3,解得=4,则/+从=5,灿=2

ab=2[Z;2=l

【考点】复数的基本运算和复数的概念

【点拨】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌

握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b.c.dGK).其次要熟悉复数

相关基本概念，如复数。+瓦(。淮£氏)的实部为。、虚部为6、模为H、对应点为(。,6)、共趣为

a-w-

6.【2017湖南娄底二模】若复数z满足i(z-l)=l+i(i为虚数单位)，则2=()

A.2-iB.2+iC.l-2iD.l+2i

【答案】A

【解析】由已知得iz=l+2i,所以"匕二=2T,选A.

i

7.【2017河北唐山二模】设复数z满足三1=1-3八则恸=()

z-2।1

A.5B.y/5C.2D.41

【答案】B

【解析】由三\二1-3晨得z+l=z-2-3zi+6i,即z=2+i,则|z|=JL故选B.

8.【2017江西4月质检】已知z=N-（，是虚数单位），则复数z的实部是（）

-2/+1

A.0B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】因为z=2-=i02）=i,所以复数z的实部为0,故选A.

-2/+1-2i+l

9.【2017福建4月质检】已知彳是z的共挽复数，且目-彳=3+4"则z的虚部是（）

77

A.-B.一一C.4D.-4

66

【答案】C

【解析】设z=〃+=得同=0上+/,所以原式为J^TP'-a+Z?i=3+4i,

虚部为b所以选C

“2+从一〃=3

10.【2017四川资阳4月模拟】已知i为虚数单位，若复数z=〃2-i+0+〃）i（其中）为纯虚

【答案】B

4，—1=0

【解析】解：复数Z为纯虚数，贝U：{.二，解得：4=1,即:

1+4工0

本题选择B选项.

11.【2017安徽池州4月联考】设i是虚数单位，彳是复数z的共粗复数，若z巨=2仁+i）,则z=（）

A.-\-iB.-1+iC.1+iD.\-i

【答案】C

【解析】设z=a+砥wR)，由z・l=2(1+i)有(〃+bi)(a-bi)=2(a-bi+i),解得〃=8=1,

所以z=l+i,选C.

12.12017四川泸州四诊】己知复数z满足(l+i)z=2i(，是虚数单位)，则同=()

A.—B.-C.五D.2

22

【答案】C

2/'则同=曰=舄

【解析】由题意可得：z=------

1+Z

本题选择C选项.

13.12017重庆巴蜀中学三诊】已知i为虚数单位，复数z满足iz+2=z-2i,则|z|二

【答案】2

【解析】2=2(1+"),所以2=2乙国=2.填2.

1—/

14.12017河北武邑中学三模】设z=」一+i,则⑸=

【答案】—

2

15.12017福建泉州考前适应模拟一】若复数z满足z・(l+i)2=|l+i。贝ijz=.

【答案】T

(解析］z-2z=(Vi+T)2=2,z=^=-i,故答案为T.

16.【2016年高考全国I卷，理2】设(l+i)x=l+yi,其中心y是实数，则上+圳二

(A)1(B)x/2(C)百(D)2

【答案】B

【解析】

试题分析：因为(l+i)/=l+yi,所以x+3=l+)，i,所以x=l,y=x=l,故仅+yi|=|l+i|=J5,故选B.

【考点】复数运算

【点拨】复数题也是每年高考的必考内容，一般以客观题的形式出现，属得分题.高考中考查频率较高

的内容有：复数相等、复数的几何意义、共枕复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,

但容易出现运算错误，特别是i?=-1中的负号易忽略，所以做复数题时要注意运算的准确性.