2025版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第9讲函数模型及其应用分层演练理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第9讲函数模型及其应用1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()解析：选D.因为左侧部分面积为y，随x的改变而改变，最初面积增加得快，后来匀称增加，最终缓慢增加，只有D选项适合．2．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：x0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：选D.依据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以解除A；依据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以解除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满意题意．3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝eq\f(x2,10)－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A．240吨 B．200吨C．180吨 D．160吨解析：选B.依题意，得每吨的成本为eq\f(y,x)＝eq\f(x,10)＋eq\f(4000,x)－30，则eq\f(y,x)≥2eq\r(\f(x,10)·\f(4000,x))－30＝10，当且仅当eq\f(x,10)＝eq\f(4000,x)，即x＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．(2024·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A．8 B．9C．10 D．11解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)<eq\f(1,1000)得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油解析：选D.依据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．6.有一批材料可以建成200m长的围墙，假如用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为xm，宽为eq\f(200－x,4)m，则S＝x·eq\f(200－x,4)＝eq\f(1,4)(－x2＋200x)．当x＝100时，Smax＝2500m2.答案：2500m27．(2024·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲运用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络月租费本地话费长途话费甲：联通13012元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若用联通130应最少打________秒长途电话才合算．解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x分钟，所需话费为y元，若运用联通130，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝12＋0.36×5x＋3.6x＝5.4x＋12；若运用移动“神州行”，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝0.6×5x＋4.2x＝7.2x.若用联通130合算，则5.4x＋12≤7.2x，解得x≥eq\f(20,3)(分钟)＝400(秒)．答案：4008．一个工厂生产某种产品每年须要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还须要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0＜x≤20，,160－x，x＞20))(x∈N*)．当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利润．答案：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0＜x≤20，,160－x，x＞20))(x∈N*)169．A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市平安，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解：(1)x的取值范围为10≤x≤90.(2)y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．(3)因为y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(50000,3)，所以当x＝eq\f(100,3)时，ymin＝eq\f(50000,3).故核电站建在距A城eq\f(100,3)km处，能使供电总费用y最少．10．某书商为提高某套丛书的销量，打算举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为协作该书商的活动，确定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋eq\f(10,5)＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15－0.1x>0，,x>0，))得0<x<150.设单套丛书的利润为P元，则P＝x－(30＋eq\f(10,15－0.1x))＝x－eq\f(100,150－x)－30，因为0<x<150，所以150－x>0，所以P＝－[(150－x)＋eq\f(100,150－x)]＋120，又(150－x)＋eq\f(100,150－x)≥2eq\r(（150－x）·\f(100,150－x))＝2×10＝20，当且仅当150－x＝eq\f(100,150－x)，即x＝140时等号成立，所以Pmax＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的随意时刻买卖这两种商品，且买卖能够马上成交(其他费用忽视不计)．假如他在t4时刻卖出全部商品，那么他将获得的最大利润是()A．40万元 B．60万元C．120万元 D．140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C.2．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)()A．2[x＋1] B．2([x]＋1)C．2{x} D．{2x}解析：选C.如x＝1时，应付费2元，此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，解除A，B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1解除D，故选C.3．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与贮存温度x(单位：℃)满意函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．解析：由已知条件，得192＝eb，所以b＝ln192.又因为48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，所以e11k＝(eq\f(48,192))eq\s\up6(\f(1,2))＝(eq\f(1,4))eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\f(1,2).设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×(eq\f(1,2))3＝24.答案：244．某超市2024年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型．①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.(1)能较精确反映超市月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________．(2)若所选函数满意f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)min＝________．解析：(1)因为f(x)＝pqx，f(x)＝logpx＋q是单调函数，f(x)＝x2＋px＋q中，f′(x)＝2x＋p，令f′(x)＝0，得x＝－eq\f(1,2)p，f(x)有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应选③f(x)＝x2＋px＋q模拟函数．(2)因为f(1)＝10，f(3)＝2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋p＋q＝10，,9＋3p＋q＝2，))解得，p＝－8，q＝17，所以f(x)＝x2－8x＋17＝(x－4)2＋1，所以f(x)min＝f(4)＝1.答案：(1)③(2)15．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较志向的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))得Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10－6,10－12)))＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))得10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))＝0.所以eq\f(I,10－12)＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.(3)当声强为5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5×10－7,10－12)))＝10lg(5×105)＝50＋10lg5，因为50＋10lg5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息．6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现打算制定一个对科研课题组的嘉奖方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型y＝f(x)制定嘉奖方案，请你依据题意，写出嘉奖函数模型应满