2024年四川省自贡市中考数学试卷（附答案）

第1页（共1页）2024年四川省自贡市中考数学试卷（附答案）一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）在0，，，四个数中，最大的数是A． B．0 C． D．2．（4分）据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界用科学记数法表示为A． B． C． D．3．（4分）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则A． B． C． D．4．（4分）（2024•自贡）下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是A． B． C． D．5．（4分）（2024•自贡）学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是A．3，4 B．4，4 C．4，5 D．5，56．（4分）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点逆时针旋转到位置．则点坐标为A． B． C． D．7．（4分）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形8．（4分）（2024•自贡）关于的方程根的情况是A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根9．（4分）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则的取值范围是A． B． C． D．10．（4分）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是A．3 B．4 C．5 D．611．（4分）如图，等边钢架的立柱于点，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢A． B． C． D．12．（4分）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点，分别落在边、上的点，处，，分别交于点，．若，，则的长为A． B． C． D．5二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）（2024•自贡）分解因式：．14．（4分）计算：．15．（4分）（2024•自贡）凸七边形的内角和是度．16．（4分）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值．17．（4分）龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条，夹角为，长，扇面的边长为，则扇面面积为（结果保留．18．（4分）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙于点（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得，，，，，班长买来可切断的围栏，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）计算：．20．（8分）（2024•自贡）如图，在中，，．（1）求证：；（2）若，平分，请直接写出的形状．21．（8分）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．22．（8分）在中，，是的内切圆，切点分别为，，．（1）图1中三组相等的线段分别是，，；若，，则半径长为；（2）如图2，延长到点，使，过点作于点．求证：是的切线．23．（10分）（2024•自贡）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）．学生体质健康统计表成绩频数百分比不及格3及格良好45优秀32（1）如表中，，；（2）请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标；（3）点在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出点坐标．25．（12分）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为；（2）如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面，两点始终处于同一水平线上．如图5，在支架上端处，用细线系小重物，标高线始终垂直于水平地面．如图6，在江姐故里广场上点处，同学们用注水管确定与雕塑底部处于同一水平线的，两点，并标记观测视线与标高线交点，测得标高，．将观测点后移到处．采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到．26．（14分）如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为．（1）求抛物线的解析式及点坐标；（2）抛物线交轴于点，经过点，，的圆与轴的另一个交点为，求线段的长；（3）过点的直线分别与抛物线、直线交于轴下方的点，，直线交抛物线对称轴于点，点关于的对称点为，轴于点．请判断点与直线的位置关系，并证明你的结论．

2024年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）在0，，，四个数中，最大的数是A． B．0 C． D．【考点】算术平方根；实数大小比较【专题】计算题；数感【分析】根据大小比较，选出最大的数．【解答】解：，最大的数为，故选：．2．（4分）据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界用科学记数法表示为A． B． C． D．【考点】科学记数法—表示较大的数【专题】计算题【分析】70000用科学记数法表示为．【解答】解：70000用科学记数法表示为，故选：．3．（4分）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则A． B． C． D．【考点】菱形的判定与性质；作图—基本作图【专题】作图题；几何直观；运算能力【分析】判断出四边形是菱形，可得结论．【解答】解：由作图可知，四边形是菱形，．故选：．4．（4分）（2024•自贡）下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是A． B． C． D．【考点】简单几何体的三视图【专题】投影与视图；几何直观【分析】根据圆锥、圆柱、正方体和棱台的主视图、俯视图进行判断即可．【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故不符合题意正方体的主视图和俯视图都是正方形，故符合题意；棱台的主视图是梯形，俯视图是正方形，故不符合题意；故选：．5．（4分）（2024•自贡）学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是A．3，4 B．4，4 C．4，5 D．5，5【考点】中位数；众数【专题】数据的收集与整理【分析】将数据从小到大排列，中间的数为中位数；出现次数最多的数为众数．【解答】解：将数据从小到大排列为：3，4，5，5，7，中位数是5，众数是5，故选：．6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点逆时针旋转到位置．则点坐标为A． B． C． D．【考点】坐标与图形变化旋转【专题】平面直角坐标系【分析】根据点的坐标得出，，根据旋转得出，，从而得到的坐标为．【解答】解：，，，旋转，，，，故选：．7．（4分）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形【考点】轴对称图形；勾股定理的证明；中心对称图形【专题】几何直观；平移、旋转与对称【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，结合选项分析即可．【解答】解：“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形．故选：．8．（4分）（2024•自贡）关于的方程根的情况是A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【考点】根的判别式【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．【解答】解：关于的方程中，，，，△，方程有两个不相等的实数根．故选：．9．（4分）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】一次函数图象与系数的关系；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系【专题】函数的综合应用；运算能力【分析】根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论．【解答】解：根据题意得，解得，的取值范围是，故选：．10．（4分）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是A．3 B．4 C．5 D．6【考点】规律型：图形的变化类；平行四边形的性质【专题】分类讨论；方程思想；多边形与平行四边形；梯形；几何直观【分析】由已知可得，从到需，从到（或从到需，设，运动时间为，分三种情况画出图形：①当时，过作于，过作于，由四边形是等腰梯形，可得，；当四边形是平行四边形时，，得；②当时，若四边形是平行四边形，可得，；而四边形是等腰梯形，则，这种情况在时不存在；③当时，若四边形是平行四边形，，得，即可得到答案．【解答】解：由已知可得，从到需，从到（或从到需，设，运动时间为，①当时，过作于，过作于，如图：由题可知，，，，，四边形是等腰梯形，，，，，，，解得；当四边形是平行四边形时，如图：此时，，解得，为或时，；②当时，若四边形是平行四边形，如图：此时，，，，，，解得；由①知，若四边形是，为腰的等腰梯形，则，这种情况在时不存在；为时，；③当时，若四边形是平行四边形，如图：此时，，，解得，为时，；综上所述，为或或或时，；故选：．11．（4分）如图，等边钢架的立柱于点，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢A． B． C． D．【考点】等边三角形的性质【专题】等腰三角形与直角三角形【分析】根据特殊直角三角形求出，和的长，从而得出减少用钢的长度．【解答】解：是等边三角形，，，，，，，，减少用钢为，故选：．12．（4分）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点，分别落在边、上的点，处，，分别交于点，．若，，则的长为A． B． C． D．5【考点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力【分析】由，推出，，推出，推出，可得．解得，再证明，利用勾股定理求出，再利用平行线分线段成比例定理求出．【解答】解：四边形是矩形，，，，，，．，平分，，，，，，，，．故选：．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）（2024•自贡）分解因式：．【考点】因式分解提公因式法【专题】计算题；因式分解【分析】原式提取即可得到结果．【解答】解：原式，故答案为：14．（4分）计算：1．【考点】分式的加减法【专题】计算题；运算能力【分析】利用分式的化简方法逐步化简即可．【解答】解：，故答案为：1．15．（4分）（2024•自贡）凸七边形的内角和是900度．【考点】多边形内角与外角【专题】计算题【分析】根据多边形内角和公式计算即可．【解答】解：，内角和为：，故答案为：900．16．（4分）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值1．【考点】一次函数的性质【专题】一次函数及其应用【分析】根据一次函数的值随的增大而增大，得出，写一个满足条件的的值即可．【解答】解：的值随的增大而增大，，，可以为：1，故答案为：1．17．（4分）龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条，夹角为，长，扇面的边长为，则扇面面积为（结果保留．【考点】扇形面积的计算【专题】与圆有关的计算【分析】根据扇形公式进行计算即可．【解答】解：扇面面积扇形的面积扇形的面积，故答案为：．18．（4分）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙于点（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得，，，，，班长买来可切断的围栏，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是46.4．【考点】二次函数的应用【专题】应用意识；二次函数图象及其性质【分析】要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，那么由图可知，我们尽量利用围墙的段和段，也就是说：矩形的两个边，一边在射线上．一边在射线上．设射线上的这一段边长为．可能小于等于的长8，也有可能大于的长8，所以分成两种情况进行讨论【解答】解：设矩形在射线上的一段长为．（1）当时，当时，，（2）当时．，由于在的范围内，均小于46.4．所以由于（1）（2）得最大面积为．故答案为：46.4．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值【专题】实数；运算能力【分析】先根据零指数幂的运算法则，绝对值的性质及数的开方法则分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．【解答】解：．20．（8分）（2024•自贡）如图，在中，，．（1）求证：；（2）若，平分，请直接写出的形状．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形【分析】（1）根据，得到，再根据，得到，从而得到，得出；（2）通过（1）得出，再根据角平分线，得出，由此得出是等腰直角三角形．【解答】（1）证明：，，，，，；（2）解：，，平分，，，，是等腰直角三角形．21．（8分）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．【考点】分式方程的应用【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识【分析】设乙组同学平均每小时包个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程，求解即可．【解答】解：设乙组同学平均每小时包个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据题意得，解得，经检验，是原方程的解，．答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子．22．（8分）在中，，是的内切圆，切点分别为，，．（1）图1中三组相等的线段分别是，，；若，，则半径长为；（2）如图2，延长到点，使，过点作于点．求证：是的切线．【考点】切线的判定与性质；三角形的内切圆与内心【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力【分析】（1）连接，，由切线长定理可知，，，根据，是的内切圆，可得，，故四边形是正方形，设，可得，解得，即半径长为1；（2）过作于，连接，，，根据，，，可得，从而，即可得，又，有，证明四边形是矩形，即可得，即是的半径，故是的切线．【解答】（1）解：连接，，如图：由切线长定理可知，，，，是的内切圆，，，四边形是正方形，设，则，，，，解得，，即半径长为1；故答案为：，，1；（2）证明：过作于，连接，，，如图：，，，，，，，即，同（1）可知，，，，四边形是矩形，，，即是的半径，，是的切线．23．（10分）（2024•自贡）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）．学生体质健康统计表成绩频数百分比不及格3及格良好45优秀32（1）如表中，，；（2）请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．【考点】用样本估计总体；频数（率分布表；条形统计图；列表法与树状图法【专题】概率及其应用；应用意识【分析】（1）先根据选取的优秀人数和百分比求出选取的人数，再根据总数、频数、百分比的关系即可求得答案；（2）根据及格的人数，补全条形统计图即可；（3）画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中两人均为“良好”的结果，利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）这次调查的人数为：（人，，，，故答案为：，20，；（2）补全条形统计图如下：（人；（3）设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁，画树状图如图：共有12种等可能的结果，其中恰好选中两人均为“良好”的结果有6种，所抽取的两人均为“良好”的概率为．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标；（3）点在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出点坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力【分析】（1）把代入得，可得反比例函数的解析式为，即可求出，再用待定系数法得一次函数的解析式为；（2）设直线交直线于，求出，由的面积为21，可得，，故的坐标为或；（3）过作轴交直线于，设，可得，，，故，即，解出的值并检验可得的坐标为，或．【解答】解：（1）把代入得：，，反比例函数的解析式为；把代入得：，，把，代入得：，解得，一次函数的解析式为；（2）设直线交直线于，如图：在中，令得，，的面积为21，，即，，，，的坐标为或；（3）过作轴交直线于，如图：设，在中，令得，，，，的面积为21，，即，或，解得或或，经检验，，符合题意，的坐标为，或．25．（12分）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为11.3；（2）如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面，两点始终处于同一水平线上．如图5，在支架上端处，用细线系小重物，标高线始终垂直于水平地面．如图6，在江姐故里广场上