2024年四川省宜宾市中考数学试卷（附答案）

第1页（共1页）2024年四川省宜宾市中考数学试卷（附答案）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）（2024•宜宾）2的绝对值是A．2 B． C． D．2．（4分）（2024•宜宾）下列计算正确的是A． B． C． D．3．（4分）（2024•宜宾）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟），67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是A．方差为0 B．众数为75 C．中位数为77.5 D．平均数为754．（4分）（2024•宜宾）如图，是的直径，若，则的度数等于A． B． C． D．5．（4分）（2024•宜宾）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是A．5天 B．10天 C．15天 D．20天6．（4分）（2024•宜宾）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是A．8 B．18 C．28 D．327．（4分）（2024•宜宾）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是A．点 B．点 C．点 D．点8．（4分）（2024•宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱9．（4分）（2024•宜宾）如图，内接于，为的直径，平分交于，则的值为A． B． C． D．10．（4分）（2024•宜宾）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点、及的中点，轴，与轴交于点．则的值为A． B． C． D．11．（4分）（2024•宜宾）如图，在中，，，以为边作，，点与点在的两侧，则的最大值为A． B． C．5 D．812．（4分）（2024•宜宾）如图，抛物线的图象交轴于点、，交轴于点．以下结论：①；②；③当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点，若，则的最小值为．其中正确结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．13．（4分）（2024•宜宾）分解因式：．14．（4分）（2024•宜宾）分式方程的解为．15．（4分）（2024•宜宾）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是．16．（4分）（2024•宜宾）如图，在平行四边形中，，，、分别是边、上的动点，且．当的值最小时，则．17．（4分）（2024•宜宾）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．18．（4分）（2024•宜宾）如图，正方形的边长为1，、是边、上的动点．若，则的最小值为．三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（10分）（2024•宜宾）（1）计算：；（2）计算：．20．（10分）（2024•宜宾）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：．插花组；．跳绳组；．话剧组；．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）本次共调查了名学生，并将条形统计图补充完整；（2）话剧组所对应扇形的圆心角为度；（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．21．（10分）（2024•宜宾）如图，点、分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点．求证：．22．（10分）（2024•宜宾）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点、，在地标广场上选择两个观测点、（点、、、在同一水平面，且．如图2所示，在点处测得点在北偏西方向上，测得点在北偏东方向上；在处测得点在北偏西方向上，测得点在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，23．（12分）（2024•宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）利用图象，直接写出不等式的解集；（3）已知点在轴上，点在反比例函数图象上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．24．（12分）（2024•宜宾）如图，内接于，，过点作，交的直径的延长线于点，连结．（1）求证：是的切线；（2）若，求和的长．25．（14分）（2024•宜宾）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为．（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；（2）在轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点在以点为圆心，1为半径的上，连结，以为边在的下方作等边三角形，连结．求的取值范围．

2024年四川省宜宾市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）（2024•宜宾）2的绝对值是A．2 B． C． D．【解答】解：，．故选：．2．（4分）（2024•宜宾）下列计算正确的是A． B． C． D．【解答】解：、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；、，故不符合题意；故选：．3．（4分）（2024•宜宾）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟），67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是A．方差为0 B．众数为75 C．中位数为77.5 D．平均数为75【解答】解：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80中，平均数，65，67，75，65，75，80，75，88，78，80按从小到大的顺序排序为65，65，67，75，75，75，78，80，80，88，中位数，众数为75，方差，故选：．4．（4分）（2024•宜宾）如图，是的直径，若，则的度数等于A． B． C． D．【解答】解：是的直径，，，，，故选：．5．（4分）（2024•宜宾）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是A．5天 B．10天 C．15天 D．20天【解答】解：设快马追上慢马的天数是天，根据题意得：，解得：，快马追上慢马的天数是20天．故选：．6．（4分）（2024•宜宾）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是A．8 B．18 C．28 D．32【解答】解：．8的因数有：1，2，4，8；，8不是“完美数”，故错误；．18的因数有1，2，3，6，9，18；，18不是“完美数”，故错误；．28的因数有：1，2，4，7，14，28；，28是“完美数”，故正确；．32的因数有：1，2，4，8，16，32，，32不是“完美数”，故错误；故选：．7．（4分）（2024•宜宾）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是A．点 B．点 C．点 D．点【解答】解：把图形围成立方体如图所示：所以与顶点距离最远的顶点是，故选：．8．（4分）（2024•宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱【解答】解：设可以装箱大箱，箱小箱，根据题意得：，，又，均为自然数，或或，或9或10，所装的箱数最多为10箱．故选：．9．（4分）（2024•宜宾）如图，内接于，为的直径，平分交于，则的值为A． B． C． D．【解答】解：如图，连接、，是的直径，，平分，，，，在四边形中，，，绕点逆时针旋转，则，，三点共线，如图所示，，由旋转可知，，，在等腰直角三角形中，，．故选：．10．（4分）（2024•宜宾）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点、及的中点，轴，与轴交于点．则的值为A． B． C． D．【解答】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，在等腰三角形中，，是中点，设，，由中点为，，在等腰三角形中，，，的中点为，，即，由在反比例函数上得，，解得：，由题可知，，，故选：．11．（4分）（2024•宜宾）如图，在中，，，以为边作，，点与点在的两侧，则的最大值为A． B． C．5 D．8【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，，，，，又，，，，在中，，当，，三点共线时，有最大值，的最大值，故选：．12．（4分）（2024•宜宾）如图，抛物线的图象交轴于点、，交轴于点．以下结论：①；②；③当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点，若，则的最小值为．其中正确结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：抛物线的图象交轴于点，，故①正确；抛物线的图象交轴于点、，，，，，，，，故②正确；抛物线的对称轴为直线，，、，，，当时，则，，解得或（不合题意，舍去），当时，，，解得（负数舍去），综上，当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；当时，，则，如图所示，取点，，连接，则，，，，，，，，，当、、共线时，的值最小，即此时的最小，最小值为，在中，，故④正确；故选：．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．13．（4分）（2024•宜宾）分解因式：．【解答】解：，故答案为：．14．（4分）（2024•宜宾）分式方程的解为．【解答】解：去分母得：，解得，检验：当时，，是原方程的解．故答案为：．15．（4分）（2024•宜宾）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是．【解答】解：连接交于，如图：五边形是正五边形，，，，，，，，，，，，即，解得或（小于4，舍去），经检验，符合题意；故答案为：．16．（4分）（2024•宜宾）如图，在平行四边形中，，，、分别是边、上的动点，且．当的值最小时，则．【解答】解：如图，延长至，使，连接，四边形是平行四边形，，，，，又，，，，，当点，点，点三点共线时，有最小值，此时：，，，，，故答案为：．17．（4分）（2024•宜宾）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是乙槽（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．【解答】方法一：三次操作相同，且总得分是分．一次操作的总分，即三个球数字之后为，则有以下情况：，其中只有1，4，8这一组能同时满足三个数组合相加得20，10，9；，第一次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为4，8，1；第二次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，1；第三次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，1；第二次操作计分最低的是乙槽．方法二：设乙第一，第二，第三次操作计分分别为、、．则，不可能为9，否则出现为0的情况，与题意矛盾．所以最大为8，此时，1已经是最小了，所以第二次操作计分最小的是乙槽．故答案为：乙槽．18．（4分）（2024•宜宾）如图，正方形的边长为1，、是边、上的动点．若，则的最小值为．【解答】解：如图，延长到点，使．四边形为正方形，，，，又，，，，，，，，即，在和中，，，．设，，则，．，，，在中，由勾股定理得：，即，整理可得：，，，此时．故：的最小值为三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（10分）（2024•宜宾）（1）计算：；（2）计算：．【解答】解：（1）原式；（2）原式．20．（10分）（2024•宜宾）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：．插花组；．跳绳组；．话剧组；．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）本次共调查了40名学生，并将条形统计图补充完整；（2）话剧组所对应扇形的圆心角为度；（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．【解答】（1）此次调查的学生人数为：（人，“”类兴趣课的人数为：（人，补全条形统计图如下：故答案为：40；（2）“”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为：；故答案为：72；（3）将1名女生记为，3名男生分别记为，，，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：，，，，，，共6种，刚好抽到1名男生与1名女生的概率为．21．（10分）（2024•宜宾）如图，点、分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点．求证：．【解答】证明：为等边三角形，，，在和中，，，．22．（10分）（2024•宜宾）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点、，在地标广场上选择两个观测点、（点、、、在同一水平面，且．如图2所示，在点处测得点在北偏西方向上，测得点在北偏东方向上；在处测得点在北偏西方向上，测得点在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，，，由题意得：，设，在中，，，在中，，，在中，，，，，解得：，，长江口的宽度的值约为．23．（12分）（2024•宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）利用图象，直接写出不等式的解集；（3）已知点在轴上，点在反比例函数图象上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的