2024年四川省乐山市中考数学试卷（附答案）

第1页（共1页）2024年四川省乐山市中考数学试卷（附答案）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）（2024•乐山）不等式的解集是A． B． C． D．2．（3分）（2024•乐山）下列文物中，俯视图是四边形的是A．带盖玉柱形器 B．白衣彩陶钵 C．镂空人面覆盆陶器 D．青铜大方鼎3．（3分）（2024•乐山）2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为A． B． C． D．4．（3分）（2024•乐山）下列多边形中，内角和最小的是A． B． C． D．5．（3分）（2024•乐山）为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为交通方式公交车自行车步行私家车其它人数（人3051582A．100 B．200 C．300 D．4006．（3分）（2024•乐山）如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是A．， B．， C．， D．，7．（3分）（2024•乐山）已知，化简的结果为A． B．1 C． D．8．（3分）（2024•乐山）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为A． B． C． D．69．（3分）（2024•乐山）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是A． B． C． D．10．（3分）（2024•乐山）如图，在菱形中，，，点是边上一个动点，在延长线上找一点，使得点和点关于点对称，连结、交于点．当点从点运动到点时，点的运动路径长为A． B． C． D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）（2024•乐山）计算：．12．（3分）（2024•乐山）一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米时）．那么这5辆车的速度的中位数是．13．（3分）（2024•乐山）如图，两条平行线、被第三条直线所截．若，那么14．（3分）（2024•乐山）已知，，则．15．（3分）（2024•乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点，若，则16．（3分）（2024•乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；①；②；③．（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则的取值范围为．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）（2024•乐山）计算：．18．（9分）（2024•乐山）解方程组：．19．（9分）（2024•乐山）如图，是的平分线，，求证：．20．（10分）（2024•乐山）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下：解：①②③④⑤当时，原式．（1）小乐同学的解答过程中，第步开始出现了错误；（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．21．（10分）（2024•乐山）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽取的游客总人数为人，扇形统计图中的值为；（2）请补全条形统计图；（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．22．（10分）（2024•乐山）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．（1）求、的值和一次函数的表达式；（2）连结，求点到线段的距离．23．（10分）（2024•乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含、和的式子表示；如果不能，请说明理由．24．（10分）（2024•乐山）如图，是的外接圆，为直径，过点作的切线交延长线于点，点为上一点，且．（1）求证：；（2）若垂直平分，，求阴影部分的面积．25．（12分）（2024•乐山）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线为常数且与轴交于点．（1）若，求抛物线的顶点坐标；（2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求的取值范围；（3）若抛物线与直线交于、两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求的取值范围．26．（13分）（2024•乐山）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在中，，，点、在边上，且，，，求的长．解：如图2，将绕点逆时针旋转得到，连结．由旋转的特征得，，，．，，．，，即．．在和△中，，，，①_____．．又，在中，②_____．，，③_____．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：；“②”处应填：；“③”处应填：．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明．【拓展应用】如图4，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：（直接写出结论，不必证明）．【问题再探】如图5，在中，，，，点、在边上，且．设，，求与的函数关系式．最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．

2024年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）（2024•乐山）不等式的解集是A． B． C． D．【考点】解一元一次不等式【专题】运算能力；一元一次不等式（组及应用【分析】通过移项求得原不等式的解集即可．【解答】解：，移项，得．故选：．2．（3分）（2024•乐山）下列文物中，俯视图是四边形的是A．带盖玉柱形器 B．白衣彩陶钵 C．镂空人面覆盆陶器 D．青铜大方鼎【考点】简单几何体的三视图；多边形【专题】空间观念；投影与视图【分析】根据简单几何体三视图的画法得出各个几何体的俯视图即可．【解答】解：选项中的“带盖玉柱形器”的俯视图是圆形，因此选项不符合题意；选项中的“白衣彩陶钵”的俯视图是圆形，因此选项不符合题意；选项中的“镂空人面覆盆陶器”的俯视图是圆形，因此选项不符合题意；选项中的“青铜大方鼎”的俯视图是四边形，因此选项符合题意．故选：．3．（3分）（2024•乐山）2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为A． B． C． D．【考点】科学记数法—表示较大的数【专题】数感；实数【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】解：40000000000用科学记数法表示为．故选：．4．（3分）（2024•乐山）下列多边形中，内角和最小的是A． B． C． D．【考点】多边形内角与外角【专题】几何直观；多边形与平行四边形【分析】根据多边形内角和定理，结合各个选项的图形，分别求出三角形、四边形、五边形和六边形的内角和，然后进行判断即可．【解答】解：三角形的内角和为，四边形的内角和为：，五边形的内角和为：，六边形的内角和为：，，在三角形、四边形、五边形和六边形中，内角和最小的是三角形，故选：．5．（3分）（2024•乐山）为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为交通方式公交车自行车步行私家车其它人数（人3051582A．100 B．200 C．300 D．400【考点】用样本估计总体；统计表【专题】数据的收集与整理；数据分析观念【分析】用800乘样本中乘坐公交车上学的人数所占比例即可．【解答】解：（人，即估计该年级学生乘坐公交车上学的人数大约为400人．故选：．6．（3分）（2024•乐山）如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是A．， B．， C．， D．，【考点】平行四边形的判定【专题】多边形与平行四边形；推理能力【分析】根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可．【解答】解：、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；、根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；、一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，故不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意；故选：．7．（3分）（2024•乐山）已知，化简的结果为A． B．1 C． D．【考点】二次根式的性质与化简【专题】二次根式；运算能力【分析】根据运用二次根式的知识对该式进行化简、计算．【解答】解：，，故选：．8．（3分）（2024•乐山）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为A． B． C． D．6【考点】根与系数的关系【专题】应用意识；一元二次方程及应用【分析】由根与系数的关系可得：，，再结合所给的条件从而要求解．【解答】解：关于的一元二次方程两根为、，，，，，即，解得：．故选：．9．（3分）（2024•乐山）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】二次函数的最值；二次函数的性质【专题】二次函数图象及其性质；推理能力【分析】根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题．【解答】解：因为，所以抛物线的对称轴为直线，且顶点坐标为．因为，所以和时的函数值相等．因为，当时，函数取得最大值，所以，又因为当时，函数取得最小值，所以，所以，解得．故选：．10．（3分）（2024•乐山）如图，在菱形中，，，点是边上一个动点，在延长线上找一点，使得点和点关于点对称，连结、交于点．当点从点运动到点时，点的运动路径长为A． B． C． D．【考点】轨迹；菱形的性质；等边三角形的判定与性质；中心对称【专题】几何直观；动点型【分析】菱形有内角为必定有等边，又因为、关于点对称，所以点一定在上运动，再把点对称点找到，则运动路径就是这一段，再进行求解即可．【解答】解：如图过作，交于点，作关于的对称点，连接和交于点．四边形是菱形，，是等边三角形，垂直平分，、关于点对称，一定在直线上，从点运动到点，可以得到点的运动轨迹就是这一段．，，△，，，即点的运动路径长为．故选：．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）（2024•乐山）计算：．【考点】合并同类项【专题】整式；运算能力【分析】运用合并同类项的知识进行求解．【解答】解：，故答案为：．12．（3分）（2024•乐山）一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米时）．那么这5辆车的速度的中位数是66千米时．【考点】中位数【专题】数据分析观念；数据的收集与整理【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：数据从小到大的顺序排列为57，58，66，69，71，这组数据的中位数是66千米时．故答案为：66千米时．13．（3分）（2024•乐山）如图，两条平行线、被第三条直线所截．若，那么【考点】平行线的性质【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力【分析】由平行线的性质推出，由邻补角的性质得到．【解答】解：，，．故答案为：．14．（3分）（2024•乐山）已知，，则29．【考点】完全平方公式【专题】整式；运算能力【分析】根据代入计算即可．【解答】解：，，，故答案为：29．15．（3分）（2024•乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点，若，则【考点】梯形；相似三角形的判定与性质【专题】图形的相似；推理能力【分析】先根据两平行线之间的距离和三角形面积公式得到，再证明，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．【解答】解：，点到的距离等于点到的距离，，，，．故答案为：．16．（3分）（2024•乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是③（填序号）；①；②；③．（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则的取值范围为．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征【专题】运算能力；函数的综合应用；新定义【分析】（1）分别计算各函数与两坐标轴的交点，与增减性结合可作判断；（2）分两种情况：或，分别画图计算边界点可解答．【解答】解：（1）①当时，，当时，，，与两坐标的交点分别为和，函数的图象上不存在“近轴点”；②中，在每一象限内随的增大而减小，当时，，当时，，函数的图象上不存在“近轴点”；③，当时，；当时，；函数的图象上存在“近轴点”；故答案为：③；（2），一次函数经过，分两种情况：①当时，如图1，当时，，一次函数图象上存在“近轴点”，，；②当时，如图2，由①知：点的坐标为当时，，一次函数图象上存在“近轴点”，，；综上，的取值范围为：或．故答案为：或．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）（2024•乐山）计算：．【考点】零指数幂；实数的运算【专题】运算能力；实数【分析】先计算绝对值、零次幂和算术平方根，再计算加减运算．【解答】解：．18．（9分）（2024•乐山）解方程组：．【考点】解二元一次方程组【专题】计算题【分析】用加减法，两式相加消元，从而求出的值，然后把的值代入一方程求的值．【解答】解：，①②，得，（3分）解得．（4分）把代入②，得．（7分）原方程组的解是．（9分）19．（9分）（2024•乐山）如图，是的平分线，，求证：．【考点】全等三角形的判定与性质【专题】推理能力；图形的全等【分析】由角平分线的定义可得，利用可判定，从而可求得．【解答】证明：是的平分线，，在和中，，，．20．（10分）（2024•乐山）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下：解：①②③④⑤当时，原式．（1）小乐同学的解答过程中，第③步开始出现了错误；（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．【考点】分式的化简求值【专题】计算题；运算能力【分析】（1）根据上述解题过程可以看出，第③步开始出现了错误，分子应该是，而不是；（2）根据分式的混合运算法则进行化简，再将代入计算即可．【解答】解：（1）第③步开始出现了错误，分子应该是，故答案为：③．（2），当时，原式．21．（10分）（2024•乐山）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽取的游客总人数为240人，扇形统计图中的值为；（2）请补全条形统计图；（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．【考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法【专题】数据分析观念；概率及其应用；统计的应用；运算能力【分析】（1）由喜好跷脚牛肉的人数除以所占百分比得出本次抽取的游客总人数，即可解决问题；（2）求出喜好甜皮鸡的人数，补全条形统计图即可；（3）画树状图，共有12种可能出现的结果，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽取的游客总人数为（人，，故答案为：240，35；（2）喜好甜皮鸡的人数为：（人，补全条形统计图如下：（3）把四种美食分别记为：麻辣烫，：跷脚牛肉，：钵钵鸡，：甜皮鸭，画树状图如下：共有12种可能出现的结果，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果有2种，选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率为．22．（10分）（2024•乐山）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．（1）求、的值和一次函数的表达式；（2）连结，求点到线段的距离．【考点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征【专题】运算能力；一次函数及其应用；反比例函数及其应用【分析】（1）把点、代入反比例函数中求出、，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）连结．过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，利用同一三角形面积的不同计算方法求出即可．【解答】解：（1）点、在反比例函数图象上，，．又一次函数过点，，，解得，一次函数表达式为．（2）如图，连结．过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．，，轴，．点，，，点，，．在中，，又，即，，即点到线段的距离为．23．（10分）（2024•乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含、和的式子表示；如果不能，请说明理由．【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用；数学常识【专题】应用意识；解直角三角形及其应用；运算能力【分析】（1）设绳索有尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）在△和△中，解直角三角形得到，，即可求得答案．【解答】解：（1）如图，过点作于点．设秋千绳索的长度为尺．由题可知，尺，尺，尺，尺．在△中，由勾股定理得：，，解得．答：秋千绳索的长度为14.5尺；（2）能．由题可知，，．在△中，，，同理，，，，，．24．（10分）（2024•乐山）如图，是的外接圆，为直径，过点作的切线交延长线于点，点为上一点，且．（1）求证：；（2）若垂直平分，，求阴影部分的面积．【考点】线段垂直平分线的性质；切线的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形的外接圆与外心【专题】与圆有关的计算；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力；与圆有关的位置关系【分析】（1）由余角的性质推出，由圆周角定理得到，因此，推出；（2）连结、，由线段垂直平分线的性质推出．判定为等边三角形，得到，求出，由等腰三角形的性质得到．由平行线的性质推出，由含30度角的直角三角形的性质推出，得到，求出，求出的面积，扇形的面积，即可求出阴影的面积．【解答】（1）证明：为的切线，点在上，，，为直径，，．，，，，，，；（2）解：连结、，垂直平分，，，为等边三角形．，，，．，．，，，，，，的面积，扇形的面积，阴影的面积扇形的面积的面积．25．（12分）（2024•乐山）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线为常数且与轴交于点．（1）若，求抛物线的顶点坐标；（2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求的取值范围；（3）若抛物线与直线交于、两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求的取值范围．【考点】二次函数综合题【专题】函数及其图象；模型思想【分析】（1）将代入求抛物线解析式即可得出顶点坐标；（2）根据“完美点“定义可得二次函数与抛物线交点得范围，依据题意列出不等式即可；（3）易知抛物线的顶点坐标为，过点，，，显然，“完美点”，，符合题意，再将和代入即可．【解答】解：（1）当时，抛物线，抛物线的顶点坐标；（2）当时，，即抛物线与轴的交点坐标为，线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，即“完美点”的个数为4个或5个，而，当“完美点”个数为4个时，这4个“完美点”的坐标分别为，，，，当“完美点”个数为5个时，这5个“完美点”的坐标分别为，，，，，，的取值范围是；（3）易知抛物线的顶点坐标为，过点，，．显然，“完美点”，，符合题意．下面讨论抛物线经过，的两种情况：①当抛物线经过时，解得．此时，，，．如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．②当抛物线经过时，解得．此时，，，．如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．的取值范围是．26．（13分）（2024•乐山）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在中，，