2024年四川省达州市中考数学试卷（附答案）

第1页（共1页）2024年四川省达州市中考数学试卷（附答案）一、单项选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）（2024•达州）有理数2024的相反数是A．2024 B． C． D．2．（4分）（2024•达州）大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为A． B． C． D．3．（4分）（2024•达州）下列计算正确的是A． B． C． D．4．（4分）（2024•达州）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是A．热 B．爱 C．中 D．国5．（4分）（2024•达州）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差6．（4分）（2024•达州）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，，则的度数为A． B． C． D．7．（4分）（2024•达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件，可列方程为A． B． C． D．8．（4分）（2024•达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为A．2 B． C． D．39．（4分）（2024•达州）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是A． B． C． D．10．（4分）（2024•达州）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）（2024•达州）分解因式：．12．（4分）（2024•达州）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是．13．（4分）（2024•达州）若关于的方程无解，则的值为．14．（4分）（2024•达州）如图，在中，，分别是内角，外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线，且，，，以此规律作下去，若，则度．15．（4分）（2024•达州）如图，在中，，点在线段上，且，若，，则的面积是．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）16．（8分）（2024•达州）（1）计算：；（2）解不等式组：．17．（6分）（2024•达州）先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值．18．（8分）（2024•达州）2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑，本次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题，旨在增强全市民众科学健身意识，推动全民健身活动．本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：等级分数段频数44028040请根据表中提供的信息，解答下列问题：（1）此次调查共抽取了名选手，，；（2）扇形统计图中，等级所对应的扇形圆心角度数是度；（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．19．（8分）（2024•达州）如图，线段，相交于点，且，于点．（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）（2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）20．（8分）（2024•达州）“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图，在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，是彩亭的中轴，甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩亭中轴的距离米，乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的俯角，点、之间的距离是4米，已知彩亭的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到0.1米，参考数据，21．（9分）（2024•达州）如图，一次函数，为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点，．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点是轴正半轴上的一点，且，求点的坐标．22．（10分）（2024•达州）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件品种柑橘礼盒和15件品种柑橘礼盒的总价共3500元．（1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？（2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共1000盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？23．（10分）（2024•达州）如图，是的直径，四边形内接于，连结，且，以为边作交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）过点作交于点，若，求的值．24．（11分）（2024•达州）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；（3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）（2024•达州）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．（1）四边形是菱形，，，．又，，．化简整理得．类比探究（2）如图2，若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．拓展应用（3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度．

2024年四川省达州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）（2024•达州）有理数2024的相反数是A．2024 B． C． D．【解答】解：2024的相反数是，故选：．2．（4分）（2024•达州）大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为A． B． C． D．【解答】解：2亿用科学记数法表示为，故选：．3．（4分）（2024•达州）下列计算正确的是A． B． C． D．【解答】解：不能化简，故选项错误；，故选项错误；，故选项正确；，故选项错误；故选：．4．（4分）（2024•达州）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是A．热 B．爱 C．中 D．国【解答】解：根据图示知：“我””与“爱”相对；“热”与“国”相对；“们”与“中”相对．故选：．5．（4分）（2024•达州）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【解答】解：一组数据“12，12，28，35，■”，该数据■在之间，四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项错误．众数也变化，选项错误．中位数是28，不变，选项正确．因为平均数改变，方差随着改变，选项错误．故选：．6．（4分）（2024•达州）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：如图，，，，，，故选：．7．（4分）（2024•达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件，可列方程为A． B． C． D．【解答】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，根据题意得．故选：．8．（4分）（2024•达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为A．2 B． C． D．3【解答】解：如图，延长交格点于，连接，由题意可得：，，，，故选：．9．（4分）（2024•达州）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是A． B． C． D．【解答】解：抛物线与轴交于两点，分别为，和，，且，，，，，由根与系数的关系可得，，，故选：．10．（4分）（2024•达州）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【解答】解：①是等腰直角三角形，，，，，由勾股定理得：，，，，，又，，，故结论①正确；②，，，，故结论②正确；③以为斜边在外侧构造等腰，作的外接圆，过点作于，的延长线交于，连接，，过点作交的延长线于，连接交于，如下图所示：，，，点在上运动，，当点与点重合时，的面积为最大，最大值为的面积，根据等腰直角三角形的性质得：，，，在中，由勾股定理得：，，，，故结论③正确；④点在上运动，当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，，，，四边形为矩形，，，，在中，由勾股定理得：，，即的最小值是，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②③④．故选：．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）（2024•达州）分解因式：．【解答】解：，，．故答案为：．12．（4分）（2024•达州）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是．【解答】解：，故答案为：．13．（4分）（2024•达州）若关于的方程无解，则的值为2或．【解答】解：方程去分母得：解得：，①当时分母为0，方程无解，即，时方程无解；②当即时，方程无解；故答案为：2或．14．（4分）（2024•达州）如图，在中，，分别是内角，外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线，且，，，以此规律作下去，若，则度．【解答】解：由题意，，设，，则，，由三角形的外角的性质得：，，，同理可求：，，，即，故答案为：．15．（4分）（2024•达州）如图，在中，，点在线段上，且，若，，则的面积是．【解答】解：过作，交于点，，，，，，，，，，，，，，即①，②，①变形得，③，②化简得，④，将①、③代入④并化简得，，解得：，，，故答案为：．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）16．（8分）（2024•达州）（1）计算：；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）原式；（2），解不等式①得，解不等式②得，所以不等式组的解集为．17．（6分）（2024•达州）先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值．【解答】解：原式，且且且，可以取1，当时，原式．18．（8分）（2024•达州）2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑，本次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题，旨在增强全市民众科学健身意识，推动全民健身活动．本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：等级分数段频数44028040请根据表中提供的信息，解答下列问题：（1）此次调查共抽取了800名选手，，；（2）扇形统计图中，等级所对应的扇形圆心角度数是度；（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．【解答】解：（1）此次调查共抽取的选手总人数为（名；所以，所以，即；故答案为：800，40，5；（2）扇形统计图中，等级所对应的扇形圆心角度数；故答案为：126；（3）用、、分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．画树状图为：共有6种等可能的结果，其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为2种，所以恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．19．（8分）（2024•达州）如图，线段，相交于点，且，于点．（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）（2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）【解答】解：（1）如图，、、为所作；（2）四边形平行四边形．理由如下：，，，，，，在和中，，，，而，四边形平行四边形．20．（8分）（2024•达州）“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图，在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，是彩亭的中轴，甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩亭中轴的距离米，乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的俯角，点、之间的距离是4米，已知彩亭的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到0.1米，参考数据，【解答】解：过点作，垂足为．由题意知，四边形是矩形．米，米，（米．在中，，（米．在中，，（米．，（米．答：中轴上的长度为1.5米．21．（9分）（2024•达州）如图，一次函数，为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点，．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点是轴正半轴上的一点，且，求点的坐标．【解答】解：（1）将点、的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：，，即反比例函数的表达式为：，点，将点、的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，则一次函数的表达式为：；（2）设点，由点、、的坐标得，，，，，则，即，解得：或（舍去），即点．22．（10分）（2024•达州）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件品种柑橘礼盒和15件品种柑橘礼盒的总价共3500元．（1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？（2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共1000盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？【解答】解：（1）设种柑橘礼盒每件的售价为元，则种柑橘礼盒每件的售价为元，由题意得：，解得：，，答：种柑橘礼盒每件的售价为80元，种柑橘礼盒每件的售价为100元；（2）设销售种柑橘礼盒为盒，则销售种柑橘礼盒为盒，由题意得：，解得：，设收益为元，由题意得：，，随的增大而减小，当时，有最大值，此时，，答：使农户收益最大，应该安排销售种柑橘礼盒为595盒，种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元．23．（10分）（2024•达州）如图，是的直径，四边形内接于，连结，且，以为边作交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）过点作交于点，若，求的值．【解答】（1）证明：如图所示，连接，是的直径，，，，，，，，，，，又是的半径，是的切线；（2）解：如图所示，延长交于，延长交于，连接，是的直径，，即，，，垂直平分，，，，，，又，，，，，，，设，则，，，，，，，，，，，．24．（11分）（2024•达州）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）