专题03诱导公式重难点题型专训（6大题型15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升（2020）（原卷版）

专题03诱导公式重难点题型专训（6大题型+15道提优训练）题型一利用诱导公式求值题型二利用诱导公式化简题型三利用诱导公式证明恒等式题型四正切函数的诱导公式题型五诱导公式的综合问题题型六诱导公式和三角形内角的综合应用知识点01诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到πα与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2πα与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]【经典例题一利用诱导公式求值】【例1】（2425高一下·上海青浦·期末）求值：(1)；(2).1．（2425高一下·上海虹口·阶段练习）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2425高一下·上海嘉定浦·阶段练习）若是第三象限角，且，求的值3．（2425高一下·上海杨浦·阶段练习）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若终边经过点.(1)计算的值.(2)求的值.【经典例题二利用诱导公式化简】【例2】（2425高一下·上海金山·阶段练习）化简求值：(1)；(2).1．（2324高一下·上海长宁·阶段练习）化简：（

）A．1 B．0 C． D．22．（2324高一下·上海崇明·阶段练习）化简：.3．（2324高一·全国·随堂练习）化简：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【经典例题三利用诱导公式证明恒等式】【例3】（2425高一下·上海·课堂例题）证明：．1．（2425高一下·上海·课后作业）已知，求证：.2．（2024高三·全国·专题练习）求证：当k＝2或3时，.3．（2324高一下·上海青浦·期末）已知函数的定义域为，且的图象连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质．(1)已知函数，判断是否具有性质，并说明理由；(2)求证：任取，函数，具有性质；(3)已知函数，，若具有性质，求的取值范围．【经典例题四正切函数的诱导公式】【例4】（2324高一下·上海闵行·期中）已知函数(1)求的定义域；(2)若，且，求的值.1．（2324高一下·上海静安·阶段练习）已知是方程的根，且是第三象限角，求的值.2．（2324高一下·上海徐汇·期末）已知(1)求的值．(2)求3．（2324高一下·上海宝山·阶段练习）已知．(1)化简,并求的值;(2)若,且,求的值．【经典例题五诱导公式的综合问题】【例5】（2425高一下·上海青浦·阶段练习）已知是第三象限角，且．(1)求的值；(2)求的值；(3)角的终边与角的终边关于轴对称，求的值．1．（2425高一下·上海杨浦·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点.(1)求和的值；(2)求的值.2．（2425高一下·上海奉贤·期末）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线，将射线绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中．(1)求出m的值和锐角的大小；(2)求的值；(3)记点B的横坐标为，若，求的值．3．（2425高一下·上海长宁·阶段练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.(1)求的值，并求，，的值.(2)求的值；(3)若，求的坐标.【经典例题六诱导公式和三角形内角的综合应用】【例6】（2425高一下·上海·随堂练习）已知为的内角，求证：，，.1．（2324高一·全国·课后作业）已知A，B，C为的三个内角，求证：(1)；(2)．2．（2324高一下·上海徐汇·期末）已知(1)化简；(2)若角是三角形ABC的内角，且，求的值．3．（2425高一下·上海黄浦·阶段练习）（1）化简，并求时该式的值；（2）设的三个内角为A，B，C，且，判断的符号并说明理由.1．（2425高一下·上海虹口·阶段练习）已知函数，则（

）A． B． C． D．2．（2425高一下·上海嘉定·阶段练习）化简的结果是（

）A． B． C． D．3．（2025高一·全国·专题练习）英国著名数学家布鲁克・泰勒（BrookTaylor）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限项连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（

）A． B． C． D．4．（2425高一下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（

）A． B． C． D．5．（2425高一下·上海宝山·阶段练习）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石.”黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.由此我们可得（

）A． B． C． D．6．（2425高一下·上海青松江·阶段练习）已知，且，则=.7．（2425高一下·上海青浦·期末）已知函数，则.8．（2324高一下·上海杨浦·阶段练习）若、是关于的方程的两个根，则.9．（2425高一下·上海嘉定·阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则角的一个可能值为.10．（2324高一下·上海青浦·期末）如图，单位圆被点，，，…，平均分成份，以轴的正半轴为始边，（…）为终边的角记为，则=，=．（说明：∑是一个连加符号，…）11．（2425高一下·上海闵行·期末）（1）已知，求的值；（2）若，求的值12．（2324高一下·全国·课后作业）已知是关于x的方程的两实根，且，求的值.13．（2324高一下·上