考研数学公式大全考研同学

考研数学公式（全）

■平方关系:

sinA2(a)+cosA2(a)=1

tanA2(a)+1=secA2(a)

cotA2(a)+1=cscA2(a)

•积的关系：

sina=tana*cosa

cosa=cota*sina

tana=sina*seca

cota=cosa*csca

seca=tana*csca

csca=seca*cota

・倒数关系：

tana-cota=1

sinacsca=1

cosaseca=1

直角三角形ABC中，

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边，

・三角函数恒等变形公式

•两角和与差的三角函数：

cos(a+p)=cosacosp-sina-sinp

cos(a-p)=cosacosp+sina-sinp

sin(a±p)=sina-cosp±cosasinp

tan(a+p)=(tana+tanp)/(1-tana-tanp)

tan(a-p)=(tana-tanp)/(1+tana-tanp)

•三角和的三角函数：

sin(a+p+Y)=sinacosp-cosY+cosa-sinpcosY+cosa-cospsinY-sina-sinp-sinY

cos(a+p+Y)=cosacospcosY-cosasinpsinY-sina-cosp-sinY-sina-sinpcosY

tan(a+p+Y)=(tana+tanp+tanY-tana-tanp-tanY)/(1-tana-tanp-tanp-tanY-tanYtan

a)

•辅助角公式：

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)

cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)

tant=B/A

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B

•倍角公式：

sin(2a)=2sina-cosa=2/(tana+cota)

cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

tan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]

・三倍角公式：

sin(3a)=3sina-4sinA3(a)

cos(3a)=4cosA3(a)-3cosa

•半角公式：

sin(a/2)=±^((1-cosa)/2)

cos(a/2)=±^((1+cosa)/2)

tan(a/2)=±^((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

•降幕公式

sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))

・万能公式:

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

•积化和差公式：

sina-cosp=(1/2)[sin(a+p)+sin(a-p)]

cosa-sinp=(1/2)[sin(a+p)-sin(a-p)]

cosa-cosp=(1/2)[cos(a+p)+cos(a-p)]

sinasinp=-(1/2)[cos(a+p)-cos(a-p)]

•和差化积公式：

sina+sinp=2sin[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

sina-sinp=2cos[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

cosa+cosp=2cos[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

cosa-cosp=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

•推导公式

tana+cota=2/sin2a

tana-cota=-2cot2a

1+cos2a=2cosA2a

1-cos2a=2sinA2a

1+sina=(sina/2+cosa/2)A2

•其他：

sina+sin(a+2TT/n)+sin(a+2TT*2/n)+sin(a+2TT*3/n)+......+sin[a+2iT*(n-1)/n]=0

cosa+cos(a+2Tr/n)+cos(a+2TT*2/n)+cos(a+2TT*3/n)+......+cos[a+2n*(n-1)/n]=0

以及

sinA2(a)+sinA2(a-2TT/3)+sinA2(a+2TT/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O

三角函数的角度换算

[编辑本段]

公式一：

设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kn+a)=sina

cos(2kir+a)=cosa

tan(2ku+a)=tana

cot(2kTT+a)=cota

公式二：

设a为任意角，TT+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：

sin(u+a)=­sina

cos(TT+Q)=­cosa

tan(ir+a)=tana

cot(TT+Q)=cota

公式三：

任意角a与-a的三角函数值之间的关系：

sin(—a)=­sina

cos(—a)=cosa

tan(—a)=­tana

cot(—a)=­cota

公式四：

利用公式二和公式三可以得到TT-a与a的三角函数值之间的关系：

sin(IT—a)=sina

cos(IT—a)=­cosa

tan(IT—a)=­tana

cot(TT—a)=­cota

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2iT-a与a的三角函数值之间的关系:

sin(2n—a)=­sina

cos(2TT—a)=cosa

tan(2TF—a)=­tana

cot(2TF—a)=­cota

公式六：

TT/2±a及3TT/2±Q与a的三角函数值之间的关系：

sin(u/2+a)=cosa

cos(TT/2+Q)=­sina

tan(TT/2+Q)=—cota

cot(TT/2+Q)=-tana

sin(TT/2—a)=cosa

cos(TT/2—a)=sina

tan(TT/2—a)=cota

cot(TT/2—a)=tana

sin(3TT/2+Q)=­cosa

cos(3n/2+a)=sina

tan(3n72+a)=—cota

cot(3TT/2+Q)=-tana

sin(3TT/2—a)=­cosa

cos(3TT/2—a)=—sina

tan(3TT/2—a)=cota

cot(3TT/2—a)=tana

(以上k£Z)

部分高等内容

［编辑本段］

•高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得下

sinx=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i)cosx=[eA(ix)+eA(-ix)]/2

tanx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z)=1+z/1!+zA2/2!+zA3/3!+zA4/4!+...

+zAn/n!+...

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

•三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组y=-y";y=y"",有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有

很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

特殊三角函数值

aO'30'45'60'90'

sina01/2也/2匕/21

cosa143/2d2/21/20

tana043/3143None

cotaNone1d3/30

(fgx)'=sec2x(arcsinx)'=/，

yi—x2

(ctgx\=-csc^x

(v1

(secxy=secx-tgx(arcCOST)=——.

(cscxY=-cscx-ctgx/、，i

(arctgx)=------

(ax\=axIna1+x

,、，1

(log“x)'=一(arcctgx)=------r

xlna1+JT

J，gMr=-ln|cosx|+Cdx=jsec2xdx-tgx+C

cos2x

Jctgxdx=]n\smx|+C

dx=jcsc2xdx--ctgx+C

Jsecxcbc=]n\secx+tg^+Csin2x

jsecx-tgxdx=secx+C

Jcscxdx=In|cscx-c/gM+C

rdx1x.|cscx-ctgxdx=-cscx+C

——^=-arctg-+C

Ja+xaa

axdx^—+C

dx1,x-aIn。

=——In--+--C--

x-a2ax+ashxdx=chx+C

dx1,a+x八

———=——In-----+Cchxdx=slu+C

a-x72aa-x

dx22

=arcsin—+CJj.:x2=ln(x+Vx±a)+C

J/a

nK

22i

In=jsin"xdx=fcos"xdx=-----In_2

00〃

.____________________2__________

Jyjx1+crdx=—y)x2+a2+—ln(x+-Jx2+a2)+C

2-x2dx--^Ja2-x2+—arcsin—+C

22a

导数公式:

基本积分表：

三角函数的有理式积分:

,2u1—〃2X,2du

sinx=------cosx=------------ax------------r

l+〃~l+〃~1+w2

一些初等函数:两个重要极限:

双曲正弦:'「sinx।

lim-------=1

2X

双曲余弦:Mx=e'+',lim(l+与=e=2.718281828459045...

100

2x

双曲正切:位3也=。-*'

chxex+ex

arshx=ln(x+Vx2+1)

tzrc/zx=±ln(x+Vx2-1)

21-x

三角函数公式:

■诱导公式：

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

1800+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

a+£a-B

sin(a±4)=sinacos夕土cosasin°sina+sin0=2sin-------cos

2-------2

cos0±P)=cosacos/?¥sinasinp

..a+.a-p

tgattg(3sina-sinp-2cos—^-sin—

tg(a±/3)

l+tga-tg/3ca+0a-'

cos«+cos/>o=2cos-----cos-----

c，g(a力滔厂22

ctgp±ctgacostz-cosZ?=2sin^—^-sin―—―

22

■和差角公式:'和差化积公式:

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

sin3a=3sina-4sin3a

cos2a=2cos2a—1=l-2sin2a=cos?a-sin2a

+octg2a-\cos3a=4cos%-3cosa

ctgla=—2--------

2ctga-3次。一次3a

tg3a=^——J

2tga1-3%2a

tgla=

1一吆2a

•半角公式:

.a

sin—=±

2

a,1-C0S6Z1-coscrsina

吆一=±J----------=-----------=-----------

2V1+C0S6Zsina1+cosa

•正弦定理：，L=—L=，=2R・余弦定理：C?=a2+h2-2ahcosC

sinAsinBsinC

71

■反三角函数性质：arcsinx=--arccosxarctgx=--arcctgx

2

高阶导数公式一莱布尼兹(Leibniz)公式:

(〃“")=£G：""1网

k=0

=u(")v+nu("~')v'+皿心"2、“+...+如-1)-(〃/+1)匕3)+・・・+〃网

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：/3)-./■(&)=

■TC)

柯西中值定理JS)一"")

F(b)—F(a)FC)

当F(x)=x时，柯西中值定理就孰格朗日中值定理,

曲率:

弧微分公式：ds=Jl+y'2dx，其中y，=fga

|普卜a:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。

平均曲率宣

Aada

M点的曲率：K=lim

加―。Nsds7a+/2)3'

直线：K=0;

半径为a的圆：K=L

a

定积分的近似计算:

bh-n

矩形法:J/(x)*—^(y0+必+…+X,-1)

a

梯形法J/(x)q夕:g(y()+K)+yi+…+yn~\}

a

抛物线法：jf(x)«^—^[(yo+yn)+2(%+乂+…+y.2)+4(弘+%+…+)]

定积分应用相关公式:

功：W^Fs

水压力：F=p・A

引力：2等次为引力系数

1b

函数的平均值$=Jfkx)dx

b-a

f2(t)dt

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：d=|M%|=）（/一%）2+。2-M）2+（Z2-Z1）2

Pr/“（q+G）=Pr四+Pr必2

=|同.b卜05。=“也++a也，是一个数量

两向量之间的夹角cos6=I%%+a也：a也

ijk

c=axb=axay4,同=同而卜山/例：线速度：v=wxr.

.by么

4ay%

向量的混合积E拓司瓦by瓦巾x斗同cosa,a为锐角时,

%J%

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式：A（x-xo）+B（y-yo）+C（z-zo）=O,其中而={4台,。},%^,九*。）

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=O

3、截距世方程）+工+三=1

abc

平面外任意一点到该祠的距离：4=左庠色士刍士0

7A2+B2+C2

x=x+mt

空间直线的方程二殳=匕%=三且=f,其中§={〃7,〃,0}渗数方程1=＞0。+小

mnp

[z=zQ+pt

二次曲面：

222

1、椭球面3+4+一1

a2b2c2

22

2、抛物面l—F--=z,（p,q同号）

2p2q

3、双曲面：

222

单叶双曲面当+4—==1

CTb~c~

222

双叶双曲面:-4+3=1（马鞍面）

abc

多元函数微分法及应用

人，蛇八,Sz.dz,,du,du,du,

[戒jy：dz——dx~\----dydu——dx-\-----dy-\-----dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：AzHdz=fr(x,y)Av+fy(x,y)Ay

多元复合函数的求导法

dzdudzdv

z=/[w(r),v(r)]

dtdtdvdt

dzdudzdv

z=f[u(x,y),v(x,y)]

dudxdvdx

当〃=u(x,y),v=v(x,y)时，

.du.du,5v.5v.

du=——ax+——atydv=—dx-\-----dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式：

隐函数F(x,y)=O,曳=-&,右^=。(-生)+。(-二).史

2

dxF、dxdxF、.dyFydx

RzFAzF

隐函数F(x,y,z)=O,—=-^,丝=_」

dxF.dyF.

dF

隐函数方程组°j_a(F,G)du

G(x,y,w,v)=O5(w,v)dG

du

曳

1d(F,G)a&-vS(£G)

ax/d(x,v)d(u,x)

a¥w1d(F,G)a-va(F,G)

a\(5yd(u,y)

微分法在几何上的应用:

X=＜p（t）

空间曲线y=〃0）在点M（x°,yo，z。）处的切线方程与々=

/八。伉）“依）。）

z-a）（t）00

在点M处的法平面方程:d«o）（x-Xo）+/«o）（y—yo）+0Go）（z—Zo）=O

若空间曲线方程为"（"'，'"户。,则切向蓟=｛。’?，凡以工

（）

]Gx,y,z=OGyG:G:G、'G,Gv

曲面77(x,y,z)=0上一点M(Xo，yo，Zo),则：

1、过此点的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),F2(x0,y0,z0)}

2、过此点的切平面方程工(%,yo，z())(x—Xo)+&(%,%,z())(y-%)+£(%,)o，Zo)(z-Zo)=0

3、过此点的法线方程：入—=——=—」一

工（Xo，＞o，Zo）G（Xo，yo，Zo）工（%，%*0）

方向导数与梯度：

函数z=/（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向/的方向导数为幺=或cOS/+或sin夕

dloxdy

其中夕为X轴到方向/的转角。

函数z=/（x,y）在一点p（x,y）的梯度：gray（x,y）=^i+g]

oxdy

它与方向导数的关系;^g=grad/（x,y＞。，其中。=cospj+sin°・],为/方向上的

01

单位向量。

g是graeXx,＞）在/上的投影。

01

多元函数的极值及其求法：

期(%，%)=力(工0，%)=°，令:/»(Xo，%)=A,fXy(x0,y0)=B,fyy(xo,yo)=c

AC-B2〉o时＜0，（/，为）？[及北

A＞0,（%,y°）为极小值

则：｛AC—B2＜O时，无极值

AC—Im时，不确定

重积分及其应用:

jjf(x,y)dxdy=f{rcosO,rsm6)rdrd0

DDf

dzdz\

曲面z=/(x,y)的面积A=JJdxdy

Ddx

平面薄片的重心：元=也Dy__D_____________

y

MjJ「(x,yMcrM^p[x,y)d(y

DD

平面薄片的转动惯量：对于x轴/〈=JJy2P（x.yMb,对于y轴/v=JJx2p（x,y）db

DD

平面薄片（位于toy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a>0）的引力：F={Fx,Fy,F:},其中:

居=川o(x，y)x『―JJ'，>))『£=-/叫

D{x2+y2+a2yD(x2+y2+a2)2D{x2+y2+a2y

柱面坐标和球面坐标:

x=rcosO

柱面坐标：y=rsin^,jjjf(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,O,z)rdrdddz,

z=zQ

其中：尸(r,6,z)=/(rcos6,rsin6,z)

x=rsin(pcos0

球面坐标，y=rsin^sin^,dv=rd(p-rs\n(p-dO'dr=r2s\n(pdrd(pd9

z=rcos(p

2TTnr(。，)

jj|/(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,(pf)户sM(pdrd(pde=Jd0^d(pjF(r,(pf)，sin^Zr

Qcooo

重心：‘=抑卜加匕尸春妒M，2=卷妒刖,其中M=x=JJJpdv

Q

22

转动惯量：/,.=J”（y+z2）〃y,/?=jjj（X+Z）/^V,4=J0(/+y2)*u

QQc

曲线积分:

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

设/Xx,y）在L上连续，L的参数方程为/=*"）,（a《云夕）,则:

J/(x,y)ds=j\/Io(r),^(r)]Jo'2«)+"'2«)df(a</3)特殊情况《

Lay=M）

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

卜="),则:

设L的参数方程为

P

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=J{PSQ),"⑺]°'Q)+⑺,-«)]/«)}dt

两类曲线积分之间的：jPdx+Qdy=卜Pcosa+Qcos]3)ds,其中a和力分别为

LL

L上积分起止点处切向醐方向角。

格林公式：Jj—^-)dxdy-，Pdx+Qdy格林公式:“-^^)dxdy=§Pdx+Qdy

当P=-y,Q=x,BP：--—=2tbj",得至ij£＞的面积：/4=jjdxdy=—Ixdy-ydx

drdy2{

・平面上曲线积分与路彳疣关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数且吆=名。注意奇点，如：0,0),应

oxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

•二元函数的全微分求积

在义="时，Pdx+Qdy才是二元函数w(x,y)的全微分，其中：

oxdy

(3)

“(x,y)=JP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设％=y()=0。

(•Wo)

曲面积分:

对面积的曲面积分jj/(x,y,z)ds=JJf[x,y,z(x,y)]J1+z；(x,y)+zj(尤,y)dxdy

E%

对坐标的曲面积分JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中:

ax,y,z)dxdy=±jj7?[x,y,z(x,y}]dxdy,取曲面的上侧时取正号;

%

x,y,z)dydz=±|JP[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号；

ED”

羽y,z)dzdx=±JJQx,y(z,x),zjdzdx取曲面的右侧时取。

0。(f

%

两类曲面积分之间的：jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=^(Pcosa+Qcos/?+Rcosy)ds

zz

高斯公式:

)dv=gPdydz+Qdzdx+Rdxdy=g(Pcosa+Qcosft+Rcosy)ds

9憔胃+称z

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：div哈丝+义+理,即：单位体积内所产生的流体质量，若div"O,则为消失…

dxdydz

通量:A-nds=JJAnds=(Pcosa+Qcos/?+Rcosy)ds,

zz

因此，高斯公式又可写成:JJJdivAJvAads

Q2

斯托克斯公式—曲线积分与曲面积分的关系:

rr.3/?随、」」QF

---)dydz+(—［更)dzdx+-—)dxdy=fPdx+Qdy+Rdz

*dydzdzdxdxdy*

dydzdzdxdxdycosacos/?cos/

上式左端又可写成gaddddd

dx8ydz叩z6xdydz

pQRPQR

dRcdP_dRdQdP

空间曲线积分与路径赛的条件3Q

dy3z,dzdxdx

ijk

_a__5__a_

旋度：rotA=

dxdydz

PQR

向量场4沿有向闭曲线T的环流量，Pdx+Qdy+Rdz^^A-Ids

r

常数项级数:

等比数歹汽+4+夕2+・・・+/1=匕《

i-q

等差数歹!J：l+2+3d----\-n=("+1)"

2

调和级数a+'+’H----1■，是发散的

23n

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西罚别法)：

「＜1时，级数收敛

设：p=lim'Ju~,则夕＞1时，级数发散

"TOO

2=1时，不确定

2、比值审敛法:

「＜1时，级数收敛

设：p=hm^-^

,则夕〉1时，级数发散

“TOOTJ

-n

P=1时，不确定

3、定义法：

s”=%+〃2+…+存在，则收敛；否则制:。

交错级数W1-〃2+〃3-“4+…(或-〃1+〃2-〃3+…＞0)的审敛法----莱布尼兹定理:

如果交错级数满国u„氤＞u*

那么级数收敛且其和＜人,其余项G的绝对偏“＜un+l

、“一＞00

绝对收敛与条件收敛:

⑴〃]+〃2~*-----…，其中〃〃为任意实数；

⑵同+同+间+…+履+…

如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对攵敛级数;

如果(2)发散，而(1)收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数》3发散，而24厂收敛；

级数无《收敛；

P＜1时发散

P级数

,p〉l时收敛

幕级数:

,3„/凶＜1时，收敛于j-

1+x+x+X'+•,■+X+••,(1—X

\国21时，发散

对于级数(3)4+研+“2》2+…+a“x"+…，如果它不是仅在原点I攵敛，也不是在全

的＜7?时收敛

数轴上都收敛，则必存ER,使时发散，其中R称为收敛半径。

\k|=R时不定

时，R」

求收敛半径的方法：设im%L=p,其中q，4用是⑶的系数，贝j2=(»寸，R=+oo

”\p=+8时,R=0

函数展开成幕级数：

2)

函数展开成泰勒级数：/(x)=/(x0)(x-x0)+^^(x-x0)+...+/-^.(x-xor+-

2!n!

余项：4=汇*1。一/严,/3可以展开成泰勒级数白流要条件是：111114=0

(〃+1)!"B

x0=0时即为麦克劳林公式：/(幻=/(0)+/(0)x+汇…+亡"+…

2!〃！

一些函数展开成塞级数：

(1+幻",=1+〃优+^^2+...+阳(加一1)一5一〃+1)3+...(_]＜尤＜1)

2!〃！

Yr5/I

sinx=x---+:------+(-1)〃7-------+•••(-co＜x＜+oo)

3!5!(2〃-1)!

欧拉公式：

e比+厂

cosx=-------

.f2

eIA=cosx+zsinx或〈

.e^ix—e-i.x

sinx=-------

2

三角级数:

0Q00

/(f)=4+ZA,,sin(〃&+(pn)=U+Z(a〃cos?u+asinnx)

n=\2”=i

其中，a0=a\,an=A“sin(pn,bn=A,,cos夕“，cot=x。

正交性：l,sin,r,cosx,sin2x,cos2x…sin〃x,cos〃x…任意两个不同项的乘楣E[-TZ'㈤

上的积分=0。

傅立叶级数:

Q8

/(%)=—+(ancos几v+sinnx)f周期=2乃

2n=l

1元

=­J/(X)COSAUJX(«=0,1,2--.)

其中F

]元

二一Jf(x)sinnxdx(〃=1,2,3…)

万2

1++