概率论与数理统计

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第五讲2/26/20252

条件概率

乘法法则2/26/20253

条件概率是概率论中一个重要而实用的概念，通俗的讲，条件概率是事件A发生的条件下，事件B发生的概率。先来看两个例子。2/26/20254例1100个产品中有60个一等品,30个二等品,10个废品.规定一,二等品都是合格品.试验:从100个产品中任意抽取一个假设:A,B为抽到的是一,二等品,C为抽到的是合格品,则C=A+B则一等品率为P(A)=60/100,二等品率为P(B)=30/100.合格率为P(C)=90/100如果改变试验为:从合格品中任抽一件,则合格品中的一等品率为P(A|C)=60/90.2/26/20255例2丢一颗均匀的骰子，B：“奇数点”，A：“点数大于1”，则P(B)=3/6,P(A)=5/6若将这颗骰子丢下后，告诉你一个“点数大于1”的信息，再考虑“是奇数点”的概率，即“已知A(点数大于1)发生的条件下，求B(奇数点)的概率”，这就是条件概率，记为：P(B|A)。2/26/20256一、条件概率1定义在事件A已经发生的条件下,事件B发生的概率,称为事件B在给定A下的条件概率,简称为B对A的条件概率,记作P(B|A)相应地,把P(A)称为无条件概率.这里,只研究作为条件的事件A具有正概率即P(A)>0的情况.2/26/20257

条件概率，一理解；二计算

例2：丢一颗均匀的骰子，B:“奇数点”，A:“点数大于1”。方法1：由定义来计算AB={奇数点且大于1}={3,5},P(AB)=2/6,则方法2：“改变样本空间”法将这颗骰子丢下后，样本空间是S={1,2,3,4,5,6}，准备在S的基础上计算“奇数点”的概率，当得到一个信息A:“点数大于1”,则转而在新样本空间A={2,3,4,5,6}的基础上计算，在A的5个元素中，有2个奇数，于是P(B|A)=2/5.2/26/20258条件概率:样本空间的压缩或者可以认为是基本事件的减少而导致的试验.以事件B为条件的条件概率,意味着在试验中将B提升为必然事件.SBBS

2/26/20259例3市场上供应的灯泡中,甲厂的产品占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂的合格率是80%,若用事件A,A分别表示甲乙两厂的产品,B表示产品为合格品,试写出有关事件的概率和条件概率。解依题意注:在解题过程中常见的错误是将条件概率写成无条件概率!2/26/202510例4全年级100名学生中,有男生(以事件A表示)80人,女生20人,来自北京的(以事件B表示)有20人,其中男生12人,女生8人,免修英语的(用事件C表示)40人中有32名男生,8名女生,求P(A)，P(B)，P(B|A)，P(A|B)，P(AB)，P(C)，P(C|A)

解：P(A)=80/100=0.8 P(B)=20/100=0.2P(B|A)=12/80=0.15 P(A|B)=12/20=0.6P(AB)=12/100=0.12 P(C)=40/100=0.42/26/202511因此,在概率论中把某一事件B在给定另一事件A(P(A)>0)下的条件概率P(B|A)定义为乘法法则

P(AB)=P(A)P(B|A)(若P(A)>0)P(AB)=P(B)P(A|B)(若P(B)>0)2/26/202512n个事件A1,A2,…,An的乘法公式为:

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An-1)证明略。2/26/202513

无论是两个事件的乘法公式还是多个事件的乘法公式都是非常重要的。

通常,P(A|B)好算,P(AB)往往不好算.

2/26/202514再回到例3市场上供应的灯泡中,甲厂产品(A)占70%,乙厂(A)占30%,甲厂产品合格率是95%,乙厂合格率是80%,B表示产品为合格品。解依题意2/26/202515例510个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回),甲先,乙次,丙最后,求甲抽到难签,甲,乙都抽到难签,甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲,乙,丙都抽到难签的概率.

解设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签2/26/202516古典概型的方法：

用这种思路可以知道P(B)和P(C)也都是4/102/26/202517事实上,即使这十张难签由10个人去抽,因为其中有4张难签,因此每个人抽到难签的概率都是4/10,与他抽的次序无关.正如十万张彩票如果只有10个特等奖,则被十万个人去抽,无论次序如何,每个人的中奖概率都是十万分之十,即万分之一.这在概率论中叫抽签原理.

2/26/202518例如(考研题,3分)一批产品有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不放回,则第二次抽出的是次品的概率为____.因产品总数是12,次品数是2,因此答案是2/12.(考研题,3分)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球.今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第2个人取得黄球的概率是____.因共有50个乒乓球,20个黄球,因此答案是2/5.2/26/202519例6甲乙两选手进行乒乓球单打比赛,甲发球成功后,乙回球失误的概率为0.3,若乙回球成功,甲回球失误的概率为0.4,若甲回球成功,乙再回球时失误的概率为0.5,试计算这几个回合中,乙输掉一分的概率.解设Ai为甲在第i回合发(回)球成功的事件,Bi为乙在第i回合回球成功的事件(i=1,2),A为两个回合中乙输掉一分的事件,则2/26/202520则因2/26/202521例75人以摸彩方式决定谁得1张电影票.今设Ai表示第i人摸到(i=1,2,3,4,5),则下列结果中有1个不正确,它是()2/26/202522解.则P(A3|A1A2)是指在前两个人没有抽到条件下第3个人抽到的事件,则第3个人抽时只有三张彩票,则抽中的条件概率当然是1/3.

因此选项(A)正确.此外,每个人抽中的无条件概率显然是1/5,因此选项(D)正确.选项(B)和(E)可由乘法法则求得为因此选项(C)不正确,答案为(C)2/26/202523小结

1条件概率有两种计算方法：“定义计算”和“改变样本空间”法，简单的条件概率可由第二种方法直接得到，较复杂的用定义计算。

2乘法公式是利用条件概率计算交事件的概率：

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

乘法公式推广到3个事件：

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

乘法公式推广到n个事件：

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2A1)…P(An|An-1….A1)

乘法公式是普遍成立的，只要作为“条件的事件”的概率不等于零即可。

2/26/202524在实际问题中哪些是条件概率，条件是什么，要根据具体问题去理解，看清具体随机试验的过程，一步一步的先后次序、步与步之间是否有影响。在初学阶段，尽可能用字母A,B…去表示事件，进而表示概率，这有助于对事件关系的理解及对概率及条件概率的理解。

3对P(C|A)和P(AC)的区别，要根据具体问题去理解。如“甲厂产品的次品率”，这要理解为：产品是甲厂生产的条件下的次品率，是条件概率P(C|A)；而“甲厂的次品”的概率，应理解为产品既是甲厂生产的，又是次品的概率，是交事件的概率P(AC)。2/26/2025254条件概率公式P(B|A)=P(AB)/P(A)中的A和B是事件，可以是简单事件，也可以是有几个事件组成的复杂事件。复杂事件的概率要利用其它的方法计算，如概率的性质、等可能概率以及第2章将