北师大版九年级数学圆教案

北师大版九年级数学《圆》教案课题3.1圆教学设计课型新授课R章/单元复习£专题复习课£习题/试卷讲评课£学科实践活动课£其他£【课标分析】理解圆、弧、弦的概念，了解等弧、等圆的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。（义务教育数学课程标准2022年版）【教材分析】1.教材的地位与作用圆是继三角形、四边形等基本图形后的又一个重要内容。圆的知识在航海领域、土木建筑、体育竞技、科学技术和日常生活中有广泛应用。《圆》是圆这一章的起始课，本节课的内容为学生进一步探究圆的有关性质奠定了知识和方法的基础。在经历了形成圆的概念、探索点与圆的位置关系的过程中，使学生感受到数学来源于生活，反过来又作用于生活的思想，领悟分类、归纳等思想方法。培养学生观察、分析、抽象和概括等思维能力，同时对学生形成良好的个性品质也有一定的作用。2.教学重点：圆的概念和点与圆的位置关系。3.教学难点：圆的概念的形成过程和点与圆的位置关系的探索过程。圆是一种特殊的曲线型图形，以“车轮为什么做成圆形与投圈游戏”这两个实际问题为背景直观地呈现在学生的面前，引导学生探索车轮上的任意一点与轴心的关系和每一位学生到小球的距离都相等而使游戏显得公平。这种呈现方式不仅为学生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撑，而且为学生自主探索提供了良好的空间。在这里，学生对圆并不陌生，在小学和七年级阶段学生对圆已经有了直观的认识，但还没有抽象出“圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形”这一概念。在本节课的内容中用集合的观点给出圆的描述性定义，因此，圆的概念和点与圆的位置关系是教学重点，而圆的概念形成过程与圆的位置关系是教学难点。【学情分析】学生在七年级《多边形和圆的初步认识》一章中已经对圆有了一定的认识，同时在学习了三角形、四边形等直线型图形以及图形的变换等知识的基础上系统的探究圆的相关知识，学生能够更好的理解与接受。本节课，将从集合的思想定义圆，这实际上就是关于轨迹的概念，部分同学可能存在理解上的困难。【学习目标】1.通过探索一的活动，学生能自主概括圆的集合定义；2.能准确理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.3.通过探索二的活动能够概括出点与圆的位置关系.【评价任务】评价任务1：对照目标二，完成练一练；评价任务2：对照目标三，完成做一做；评价任务3：对照目标一，能完成探索一活动；【学习过程】教学活动学生活动教学评价环节一：情景引入1、揭示概念产生的背景（多媒体辅助）环节二：探索一：圆的定义2、展示概念的形成过程活动一：通过从手推车，自行车，摩托车，小汽车等轮子的观察，我们发现各种车的轮子都是以圆形为结构。从而引发学生思考车轮为什么是圆的？车轮可以是正方形、椭圆形、三角形结构的吗？欣赏科普动画视频，车轮为什么是圆的？试着用准备好的圆形、正方形、三角形、椭圆形模具动手操作说明车轮为什么是圆的而不是其它形状的。问题1：车轮在滚动过程中圆上各点有什么特点？问题2：车轮在滚动过程中什么没有改变？3抽象概括，形成概念：活动二：议一议：一些学生在做投圈游戏，他们呈“一”字排开。这样的对形对每个人都公平吗？你认为应排成什么样的队形？为什么？抽象概括，形成概念：试一试：用自己的语言描述圆的概念。用多媒体演示圆定义：圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。其中定点就是圆心，定长就是半径，以点0为圆心的圆记做⊙0，读做“圆0”。环节三：认识圆中的相关概念结合图形理解弦，弧等概念环节四：探索二：点与圆的位置关系问题3：观察下图，其中点和圆的位置关系有哪几种？问题4：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？明晰：点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点到圆心的距离大于半径；点在圆上，点到圆心的距离等于半径；点在圆内，点到圆心的距离小于半径；追问：反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？做一做：设AB=3cm，画图说明满足下列要求的图形：（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形。（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。环节五：课堂练习，巩固提升1.已知⊙O的半径为5，判断点P与⊙O的位置关系．（1）若PO=8，则点P在；（2）若PO=4，则点P在；（3）若PO=，则点P在圆上．2．如图，（1）若点O为⊙O的圆心，则线段是圆O的半径；线段是圆O的弦，其中最长的弦是；是劣弧；是半圆．（2）若∠A＝40°，则∠ABO＝，∠C＝，∠ABC＝．3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知，AB＝2DE，∠AEC＝20°，则∠AOC度数为．4．已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，AB的中点为点M．（1）以点C为圆心，4为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？（2）若以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．环节六：反思总结畅谈收获1、通过本堂课，你能从哪些方面定义圆？2、通过本堂课，你掌握了圆中的哪些相关概念？3、通过本堂课，你知道怎么去判断点与圆的位置关系吗？4、本堂课涉及到了哪些数学方法？让学生去说，培养学生归纳与说理语言表达能力。环节一：欣赏画面中的和谐美，举出生活中其他的例子。环节二：观看动画，感受圆形车轮转动起来最平稳。观察车轮边缘任意一点与轴心的距离，用各种方法作出判断。将这些点推广到一般情况，使学生认识到圆上任意一点到圆心的距离是一个定值。讨论应排成什么样的队形可以使游戏公平，并通过画圆解决活动二，并体会圆是怎样形成的。环节三：观察比较，得出一个是等圆，另一个是同心圆。进一步得出确定一个圆需要两个条件：圆心和半径。同时结合图形和教师一起认识圆中的弦，弧等图形，并能准确表示。环节四：小组合作，自主探索，大胆发言，相互补充，突破难点。环节五：利用所学知识完成课堂练习，完成后发言并相互进行补充。环节六：学生总结并分享本节课的收获与疑惑。通过这些精美的画面的展示，让学生切身感受到生活离不开圆，也激发学生思考为什么离不开圆。引出下一个活动：以车轮为背景来研究圆，认识圆。在学生动手操作后，追问两个问题，一方面加强学生对车轮为什么做成圆形更稳定原因的思考。另一方面也在帮助学生从另一个角度（集合）认识圆。通过设计游戏方案，使学生抛开车轮背景，在自己设计的游戏方案中再一次体会圆的形成过程，抽象概括出圆的定义。这样的设计，使得学生在游戏中将自己的活动经验用自己的语言概括出来，突破了本节课的教学难点。经历“探索—发现”的过程，培养了学生大胆表达自己的观点和见解,张扬学生个性，让学生充分体验探索后的成就感.问题3的目的是：让学生通过观察从特殊点去感受“点与圆之间的位置关系”培养学生的直觉思维和数学悟性。问题4和追问的设计是让学生理解反过来这种数量关系也可以判断点与圆的位置根据学生的认知情况，巩固练习的设计遵循由简到难，层层递进的原则，逐步形成技能。通过小结巩固所学知识，总结本节课的收获。教学设计思路说明1.本节课的设计实施思路是：在教学中充分发挥学生的主体作用．教师为学生提供探索和讨论的问题情境和素材，使学生在自主探索和合作交流的基础上经历认识圆的一般过程：圆的定义—圆中的相关概念—点与圆的位置关系．2.在整个课堂活动中，特别注重了问题串的设置与目标的达成相呼应，既有学生观察、探究的内容，也有学生自主设计的内容；使学生在生动有趣的数学活动中对目标有感悟与理解。【板书设计】3.1圆学生作品展示区：一、圆的定义二、圆中的相关概念三、点与圆的位置关系3.1圆作业设计作业内容基础巩固一、选择题1．已知⊙O的直径AB＝6cm，则圆上任意一点到圆心的距离等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．无法确定2．下列说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径，其中正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题3．如图，在⊙O中，半径有，直径有，弦有，劣弧有，优弧有．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，则∠AOB＝度．三、解答题5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC的中点，现在以D为圆心，以DC为半径作⊙D，求：（1）BC＝8时，点A与⊙D的位置关系；（2）BC＝6时，点A与⊙D的位置关系；（3）BC＝5时，点A与⊙D的位置关系．6．已知，如图，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点．求证：（1）∠A＝∠B；（2）AE＝BE．能力提升一、填空题7．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm．8．如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过秒后，点P在⊙O上．二、解答题9．如图所示，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm．（1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？10．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，求线段OQ的最小值．设计说明一、作业设计目标1.知道圆以及弦、弧（优弧、劣弧）、圆心角、等圆、等弧等相关概念.2.知道点与圆的三种位置关系，会从定性和定量两个维度判断点与圆的位置关系.二、完成作业要求1.独立完成2.完成时间20-25分钟3.字迹工整三、学生作业评价说明本作业采用教师批阅，及时指出学生错误，并由学生及时改错的评价方式四、使用作业建议本作业要求学生要通过写出计算和推理过程，进一步发展学生的几何推理能力和表达能力．在作业布置上分层实施，学习能力强完成1-10题，能力中等的学生完成1-9题，既巩固性质，又发展推理意识；学习能力较弱的学生建议可以仅完成基础巩固1、2、3、4、5、6、7题，掌握点与圆的三种位置关系.五、作业解析及说明1．【分析】根据⊙O的直径AB＝6cm，利用圆的性质得出圆上各点到圆心的距离等于半径进而得出答案．【解答】解：∵⊙O的直径AB＝6cm，故圆的半径为3cm，∴圆上任意一点到圆心的距离等于3cm，故选：C．【设计意图】此题主要考查了圆的性质，根据圆上各点到圆心的距离等于半径是解题关键．2．【分析】根据弦、弧、等弧的定义即可求解．【解答】解：①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，假命题；②半径相等的两个半圆是等弧，真命题；③半圆是弧，但弧不一定是半圆，真命题；④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，假命题；⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，假命题；故选：B．【设计意图】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等），难度一般．3．【分析】根据半径、直径、弦、劣弧和优弧的定义求解．【解答】解：在⊙O中，半径有OA、OB、OC、OD，直径有AB，弦有AB、BC，劣弧有、、、、，优弧有、、、、．故答案为OA、OB、OC、OD；AB、BC；、、、、；、、、、．【设计意图】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．4．【分析】根据等边对等角，即可求得∠ACO的度数，则∠ACB的度数可以求得，然后根据圆周角定理，即可求得∠AOB的度数．【解答】解：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝25°，∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝25°+35°＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×60°＝120°．故答案是：120．【设计意图】本题考查了等腰三角形的性质定理：等边对等角，外角的性质定理．5．【分析】连接AD，（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AD的长，再根据点与圆的位置关系可求点A与⊙D的位置关系，从而求解；（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AD的长，再根据点与圆的位置关系可求点A与⊙D的位置关系，从而求解；（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AD的长，再根据点与圆的位置关系可求点A与⊙D的位置关系，从而求解．【解答】解：连接AD，（1）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是BC的中点，∴CD＝4，∴AD＝3，∵4＞3，∴点A在⊙D内；（2）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是BC的中点，∴CD＝3，∴AD＝4，∵4＞3，∴点A在⊙D外；（3）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝5，点D是BC的中点，∴CD＝，∴AD＝，∵＝，∴点A在⊙D上．【设计意图】此题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，点与圆的位置关系，解题的关键是得到点D到点A的距离．6．【分析】（1）首先根据全等三角形的判定方法证明△AOD≌△BOC，由全等三角形的性质即可得到∠A＝∠B；（2）由（1）可知∠A＝∠B再加条件对顶角相等即可证明△ACE≌△BDE，利用全等三角形的性质即可证明AE＝BE．【解答】（1）证明：∵C、D是OA、OB的中点，∴OC＝OD＝AC＝BD，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS）∴∠A＝∠B；（2）在△ACE和△BDE中，，∴△ACE≌△BDE（AAS），∴AE＝BE．【设计意图】本题考查了全等三角形的判定和性质以及圆的基本性质，其中全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．7．【分析】解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部．【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝6+2＝8cm，因而半径是4cm；当点P在圆外时，直径＝6﹣2＝4cm，因而半径是2cm．所以⊙O的半径为4或2cm．故答案为：4或2．【设计意图】考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是首先要进行分类讨论，其次是理解最长距离和最短距离和或差的意义．8．【分析】点P在圆上有两种情况，其一在圆心的左侧，其二点在圆心的右侧，据此可以得到答案．【解答】解：设x秒后点P在圆O上，∵原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，∴当