8.3.1平方差公式【知识精研】六年级数学下册（鲁教版2024）

鲁教版2024教材数学六年级下册8.3.1平方差公式授课教师：********班级：********时间：********第八章整式的乘除学习目标1.了解并掌握平方差公式.2.理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行计算.学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理9布置作业知识回顾1.单项式乘以多项式法则：p(a+b+c)=pa+pb+pc(p，a，b，c都是单项式).2.多项式乘以多项式法则：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq(a，b，p，q分别是单项式).课堂导入喜洋洋在计算980×1020时，觉得这道题的计算量很大，灰太狼得意的对喜洋洋说:“你把980×1020变成形(1000-20)(1000+20)不就简单多了吗？“你知道灰太狼运用了什么知识吗？计算下列多项式的积：(1)(x+1)(x-1)=_________=_____；(2)(m+2)(m-2)=_____________=_____；(3)(2x+1)(2x-1)=_____________=______.

x·x-x+x-1x2

-1

m·m-2m+2m-4m2

-4=m2

-222x·2x-2x+2x-14x2

-1=(2x)2

-12

观察计算结果，你能发现什么规律？=x2

-12

猜想：(a+b)(a-b)=

.

a2

-b2

知识点

平方差公式新知探究如何证明这个等式呢？(1)用多项式乘法证明(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.(2)借助几何图形证明图中有两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2-

b2.ba(2)借助几何图形证明ba将图中右下方的长方形移动位置后，拼得一个长为(a+b)，宽为(a-b)的长方形，其面积为(a+b)(a-b).a-bb(a+b)(a-b)=a2-b2.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.特点：(1)等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.两个数的和两个数的差积平方差两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.例1运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(-x+2y)(-x-2y).

解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22

=9x2-4.(2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2

=x2-4y2.跟踪训练新知探究分析：(1)3x相当于a，2相当于b.(2)-x相当于a，2y相当于b.例2计算：(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；(2)102×98.

解：(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1；(2)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22

=9996.

只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.平方差公式的变化及应用变化形式应用举例位置变化符号变化系数变化指数变化增项变化连用公式变化(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4(1)平方差公式的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式；(2)在运用公式时，要分清楚哪个相当于公式中的a，哪个相当于公式中的b，不要混淆.1.

下列各式能用平方差公式计算的是

(

B

)A.

(

x

－3)(3－

x

)B.

(－2

x

－1)(－2

x

＋1)C.

(

x

－3)(2

x

＋3)D.

(－

x

－3)(

x

＋3)B2.

乘积等于

a2－

b2的式子是(

C

)A.

(

a

＋

b

)(－

a

＋

b

)B.

(－

a

－

b

)(

a

－

b

)C.

(－

a

＋

b

)(－

a

－

b

)D.

以上都不对C3.

计算

a2－(

a

＋1)(

a

－1)的结果是(

A

)A.

1B.

－1C.

2

a2＋1D.

2

a2－14.[新考法

整体代入法]已知(

x

＋2)(

x

－2)－2

x

＝1，则2

x2

－4

x

＋3的值为(

A

)A.

13B.

3C.

－3D.

5AA5.

已知

M

＝2

0242，

N

＝2

023×2

025，则

M

与

N

的大小关系是(

A

)A.

M

＞

N

B.

M

＜

N

C.

M

＝

N

D.

不能确定【解析】∵

M

＝2

0242，

N

＝2

023×2

025＝(2

024－1)(2

024＋

1)＝2

0242－1，∴

M

－

N

＝2

0242－(2

0242－1)＝1＞0，∴

M

＞

N

.

A

－2，－3

8.

[整体思想2024·北京房山区二模]已知

x2－

x

－1＝0，求式

子(

x

＋3)(

x

－3)＋

x

(

x

－2)的值.【解】(

x

＋3)(

x

－3)＋

x

(

x

－2)＝

x2－9＋

x2－2

x

＝2

x2－

2

x

－9＝2(

x2－

x

)－9.∵

x2－

x

－1＝0，∴

x2－

x

＝1，∴原式＝2×1－9＝2－9＝－7.9.

若(4＋

m2)(

m

＋2)(

)＝16－

m4，则括号内应填入的代

数式为(

B

)A.

m

－2B.

2－

m

C.

2＋

m

D.

m

－9B10.

如果(2

a

＋2

b

＋1)(2

a

＋2

b

－1)＝15，那么

a

＋

b

的值为

(

D

)A