专题07 三角形的有关计算与证明-2024年中考数学二轮复习讲练测（浙江新中考专用）

专题07三角形的有关计算与证明

目录

・题型特训•精准提分

题型01三角形的三边关系

题型02与三角形有关的线段的综合问题

题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题

题型04线段垂直平分线的性质与判定

题型05角平分线的性质与判定

题型06等腰三角形的性质与判定

题型07等边三角形的性质与判定

题型08全等三角形的性质与判定

题型09勾股定理、勾股定理定理逆定理与网格问题

题型10赵爽线图

题型11利用勾股定理解决实际问题

题型12比例线段

题型13相似多边形的性质

题型14相似三角形的性质和判定

题型15相似三角形的实际应用

中考逆袭•高效集训

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・题型特训•精准提分

题型01三角形的三边关系

1.（2024•贺州一模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A.5,6,12B.4,4,8C.2,3,4D.2,3,5

【答案】C

【解析】解:4、5+6<12,长度是5、6、12的线段不能组成三角形，故A不符合题意；

B、4+4=8,长度是4、4、8的线段不能组成三角形，故B不符合题意；

C、2+3>4,长度是2、3、4的线段能组成三角形，故C符合题意：

D、2+3=5,长度是2、3、5的线段不能组成三角形，故。不符合题意.

故选：C.

2.（2024•天河区校级一模）现有3。〃，6cm,9的，10枷长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形,

那么可以组成的三角形的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】解:四条木棒的所有纲合:3,6,9和3,6,10和3,9,10和6,9,10；

只有3,9,10和6,9,10能组成三角形.

故选:B.

3.（2024•新华区一模）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O,测得OA

=16〃?，08=12机，那么的距离不可能是（）

【答案】。

【解析】解：根据三角形的三边关系可得：16-12VA8Vl6+12,

即4VA8V28,

30m不可能.

故选：

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题型02与三角形有关的线段的综合问题

1.（2023•丰润区模拟）如图，在AA8c中，Z1=Z2=Z3=Z4,则下列说法中，正确的是（）

A.是△A8E的中线B.AE是△48C的角平分线

C.AF是△ACE的高线D.AE是△D4F的中线

【答案】B

【解析】解：•.•N1=N2=N3=N4,

/.Z1+Z2=Z3+Z4,

即NB4E=NCAE,

・・・AE是△ABC的角平分线,

故选:B.

2.（2023•桥东区模拟）用一块含30°角的透明直角三角板画已知AABC的边BC上的高，下列三角板的摆

C.D.

【答案】D

【解析】解：A，B,C都不是的边BC上的高.

故选：D.

3.（2024•武汉模拟）如图，将△A8C的边AC沿4c边上的高AO折叠到AE,E在边BC上,若N6=56°,

N84£=22°,则NC的度数为（）

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A

A.78°B.56°C.34°D.22°

【答案】A

【解析】解：:4。是△4AC的8C边上的高，

.•・NAOB=N4OC=90°,

••・/84。=90°-N8=90°-56°=34°,

：.ZEAD=ZBAD-ZBAE=3e・22°=12°.

由折叠的性质，可知：ZCAD=ZEAD=\2°,

AZC=900-ZCAD=90°-12°=78°.

故选：A.

4.(2024•沐阳县校级模拟)已知：如图所示，在△ABC中，点。，E,尸分别为BC,A。，CE的中点，且

S"8c=4c〃P,则阴影部分的面积为1cm2.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：・・・。为8C中点，根据同底等高的三角形面积相等，

S.\ABD=SMCD=X4=2(cm2)>

22

同理SABDE=S*CDE=X&BCE=LX2=1(cm2),

22

.*.5ABC£=2(c/n2),

•・•尸为石。中点，

2

S^BEF=-isABCE=—X2=1(cni).

22

故答案为1.

5.(2023•鲤城区校级模拟)如图，AD是△A8C的中线，48=8.AC=6.若△ACO的周长为16,则△ABQ

周长为18.

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A

【答案】18.

【解析】解：TAD是△48C的中线，

/.BD=DC,

•••△4CO的周长为16,

：,AC+AD+CD=\f),

•・・AC=6,

AAD+CD=16-6=10,

：.AD+BD=\O,

•二△AB。周长为：A8+8D+AD=10+8=18,

故答案为：18.

题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题

1.(2024•阳谷县一模)如图，在△4BC中，NABC=50°,N4CB=100°,点M是射线A8上的一个动

点，过点M作MN〃BC交射线AC于点N,连结BN.若△8MN中有两个角相等，则NA/NB的度数不可

能是()

A.25°B.30°C.50°D.65°

【答案】B

【解析】解：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN=BM,

图1

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则ZMNB=/MBN,

,:MN〃BC,

AZAMN=ZABC=50Q,

・・・NMNB=25°.

如图2中，当8M=BN时，/BNM=/BMN=50°,

当时，ZRNM=1.(180°-50°)=65°,

2

综上所述，选项8符合题意,

故选：B.

2.（2024•瑶海区一模）如图，在AABC中，Zfi+ZC=110°,AM平分NBAC,交BC于点、M,MN//AB,

交AC于点N,则NAMN的大小是（）

【答案】B

【解析】解：VZB/1C+ZB+ZC=18O°,

••・NR4C=180°-(N8+NC)=180°-110°=70°,

••・AM平分/R4C,

•'-z^=yZBAC=35"»

,:MN〃AB,

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.•.N/U/N=N8AM=35",

故选：B.

3.(2024•天长市一模)如图，分别过△ABC的顶点A,B作AD//BE.若NC4O=25°,NEBC=80°,

【答案】B

【解析】解：・・・AO〃8E,

・・・NAOC=/E8C=8（T,

VZCAD+ZADC+ZACB=\SQ°,ZCAD=25°,

・・・N4C8=180°-25°-80°=75°,

故选：B.

4.（2024•凤阳县一模〉将直角三角板〃用和直角三角板CO。按如图方式摆放（直角顶点重合），已知NAOC

=45°,则NDfA的度数是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】。

【解析】解・・・/AOC=45°,ZC=45°,

ZAFD=ZCFO=9(r,

在中，

VZA=30°,NA尸E=9(T：

・・・NAEF=60°,

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：.NDEB=NAEF=60.

故选：D.

D

5.（2024♦盐城模拟）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则/a的大小为（）

【答案】B

【解析】解：由三角形的外角性质可知：Za=30°+45°=75°,

故选：B.

题型04线段垂直平分线的性质与判定

1.（2024•贺州一模）如图，在△ABC中，分别以点A和点。为圆心，大于工AC的长为半径作弧（弧所在

2

国的半径都相等），两弧相交于M,N两点，直线MN分别与边3C,AC相交于点。，E,连接AQ.若

AC=8,AQ=5,则的长为（）

【答案】。

【解析】解：由题意得：MN是4c的垂直平分线,

・"E=LC=4,DE1AC,

2

VDA=5,

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AD£=VAD2-AE2=V52-42=3*

故选：D.

2.（2024•安徽一模）如图，在△A8C中，QM、EN分别垂直平分AB和4G垂足为M,N.且分别交8c

于点。，E.若/D4E=20°,则/84C的度数为（）

【答案】A

【解析】解：・・・QM，EN分别垂直平分和AC,

:,DB=DA,EA=EC,

・・・/3=NOA3,ZC=ZEAC.

,：ZDAE=20°,/8+NC+N8AC=180°,

VZ5+Z5A£>+ZC+ZE4C=180o-20°=160°,

・・.2NR40+2NE4C=I60°,

・・・NB人O+NC4E=80°,

：,ZBAC=ZBAD+ZCAE+ZDAE=^+20°=100°.

故选:A.

3.（2024•雁塔区校级三模）如图，在△/13c中，NAC8=90°,NA6C=67.5°,。为A3中点，且。E_L

,48交AC于点E,BC=2,则AC的长为（）

A.272B.4C.2+272D.4^2

【答案】C

【解析】解：如图，连接4E,

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B

D

CEA

•・・NACB=90°,NA8C=67.5°,

AZA=180°-90°-67.5°=22.5°,

•・•。为/W中点，且。上_LA%交AC于点上，

・・・OE垂直平分AN,••・XB=E4,

AZA=ZABE=22.5°,

AZI3EC=ZA+ZABE=45°,

・・・NC8E=180°-90°-45°=45°=NBEC,

:,BC=CE=2,

：,BE=^2BC=2^2=EA,

AC=CE+EA=2+2V2，

故选：C.

4.（2023•武安市二模）如图，在AABC中,加平分NBAC,B/平分NABC,点。是AC、BC的垂直平分

线的交点，连接AO、BO,若/4OB=a,则乙4小的大小为（)

C.Aa+90°D.180°+la

22

【答案】B

【解析】解:连接CO并延长至。，

•・•点。是AC、8c的垂直平分线的交点,

：.OA=OC,OB=OC,

：.ZOCA=ZOAC,NOCB=/OBC,

,：ZAOD是△AOC的一个外角，

・•・ZAOD=ZOCA1ZOAC=2^OCA,

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同理，NB0D=2N0CB,

・•・ZAOB=ZAOD+ZBOD=2ZOCA+2ZOCB=a,

：,ZOCA+ZOCB=—,AZACB=—,

22

•••A/平分N8AC,8/平分NABC,

・・・N/AB=a/C4B,ZIBA=1ZCBA,

22

AZ/AB+Z7^A=A(ZCA^+ZCTA)=-i(1800-ZACB)=90°-—,

224

・•.NAm=180°-(ZIAB+ZIBA)=90°+—,

故选：B.

5.（2023•越秀区校级二模）如图，在AABC中，N8AC=80°,边的垂直平分线交4B于点D,交.BC

于点E,AC边的垂直平分线交4。于点F，交于点G,连接AE4G.则/E4G的度数为（）

【答案】B

【解析】解：TAB边的垂直平分线交A8于点。，AC边的垂直平分线交AC于点F,

.\AG=CG,AE=BE,

・・・/C=NC4G,/B=NBAE,

.•・N8AE+NCAG=NB+NC=I8O°-ZB/1C=100°,

：,ZEAG=ZBAE+ZCAG-ZBAC=1（X）!>-80°=20°,

故选：B.

6.（2024•宿豫区一模）如图，已知囿48CQ.

（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线，交AD于点E,交于点尸；（不写作法，保留作图痕迹）

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（2）连接ARCE.求证：四边形AEC厂是菱形.

（2）证明过程见解答.

【解析】（1）解：如图，石尸即为所求,

：.AD//BC,

；・NEAO=NFCO,

•••石尸垂直平分AC,

：.AO=CO,

YZAOE=ZCOFt

：.^AOE^ACOF（ASA）,

:.EO=FO,

・•・四边形AECF是平行四边形，

・♦•四边形AECf是菱形.

题型05角平分线的性质与判定

1.（2024•米东区一模）如图，在△A4C,ZC=90°,40平分N8AC交C8于点。，过点。作

垂足恰好是边/W的中点£,若AQ=3a〃，则8E的长为（）

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E

CD'B

A.丁B.4cmC.3yl~2cirD.6cm

【答案】见试题解答内容

【解析】解：・・・DE_LAB,E为AB的中点,

:・AD=BD,:・NB=NBAD,

•・・AQ平分NB4C,

：.ZCAD=ZBADt

：.ZB=ZCAD=ZBAD,

VZC=90°,

・・・NB+NBAD+NCAQ=180°-ZC=90°,

・・・NB=NC4O=30°,

VZC=90°,AD=3cm,

.・.。。=工。=皂〃?，

22

22

由勾股定理得：AC=VAD-CD=^32-(y)2=V3(cm),

/.AB=2AC=3y[3cin,

I3E=AE=X\B=^^-(cm),

22

故选：A.

2.：2023•兴宁区校级模拟)如图，在四边形A8C。中，N8=90°,AC=\0,AB//CD,AC平分ND4B.AB

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【答案】。

【解析】解：过。点作于点E.

，：AB〃CD,

:.ZACD=ZBAC,

•••AC平分/D48,

：.ZBAC=ZCAD,

・・・N4CO=NC4。，贝iJCO=AO=)，，即△4C。为等腰三角形，

则DF垂直平分AC,

：.AE=CE=XAC=5,ZAED=9(r,

2

*：ZBAC=ZCAD,N“=/HE£)=90°,

・•・XABCsXAED,

.ACAB

••—9

ADAE

•・•101~_~~x,

y5

・・•尸里

X

•・•在AA/C中，ABCAC,

Ax<10,

故选：D.

3.(2024•天府新区模拟)如图，在RtZ\48C中，NA=90°,ZAC/i=62°,按以下步骤作图：(1)以点

B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段84,BC于点、M,N：(2)以点C为圆心，8M的长为半径画

弧，交线段C8于点。；(3)以点。为圆心，MN的长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点£；(4)

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过点E作射线CE,与AB相交于点凡则NAPC=56°.

【解析】解：由作图知：NBCF=NB,

•・・/A=90",NACB=62°,

・・・N3=900-NAC4=28°,

：・4BCF=28”，

/.ZAFC=ZB+ZBCF=56°.

故答案为：56.

4.（2024•仓山区校级模拟）如图，在△ABC中，ZC=90°,4。平分NCAB,CD=1,AB=4,则△48。

的面积是2.

【答案】2.

【解析】解：过点D作OEU8于点E

VZC=90°,4。平分NCAB,DE1AB,

：,DC=DE=\,

•・Y3=4,

，=2XX44=2X1X4=2.

22

故答案为：2.

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D

5.（2024•吐鲁番市一模）如图，在△ABC中，ZC=90°,ZA=30°,以点8为圆心，适当长为半径画

弧，分别交*4、于点M、N,再分别以M、N为圆心，大于L/N的长为半径画弧，两弧交于点P.

2

作射线交AC于点。，则&CM：SMRD=1：2.

【答案】I：2.

【解析】解：过点。作。&L/18于点区

在△A8C中，ZC=90°,ZX=30°,

则4C=工从

2

由作图可知：BP平分NABC,

VZC=90°,DELAB,

：.DC=DE,

Q为C・CD

.SACBD_j______=BC=1

SAABDyAB*DE&2

故答案为：1：2.

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6.（2024•雁塔区校级二模）已知：为△A8C中，N8AC=90°,N4=30",请你用尺规在□△ABC的边

A3上求作一点M,使得点M到5c的距离等于AM.（保留信图痕迹，不写作法）

【答案】见解析.

【解析】解，如图，点M即为所求,

理由：过点M作MN_L8C于点N,

由作图知：CM平分NACB,

又NB4C=90°，

：,AM=MN,

却点”到“C的距离等于40

题型06等腰三角形的性质与判定

1.（2023•广西模拟）如图，。为△ABC内一点，CO平分NACB,8D_LCO于点O./A8D=NA,若BD

=1,8c=3,则AC的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】解：延长3。交AC于E,如图，

平分NAC8,BD1CD,

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•••△8C七为等腰三角形，

：,DE=BD=\,CE=CB=3,

;ZA=ZABD,

：・EA=EB=2,

：.AC=AE+CE=2+3=5.

故选：。.

2.12023•新城区校级三模）如图，在△A4C中，4。平分N84C,BDA.AD,垂足为Q,过点。作。七〃AC,

交AB于E,若A8=5,则线段。£的长为（）

A.2B.苴C.3D.工

22

【答案】B

【解析】解：平分N3AC,

：,ZBAD=ZCAD,

•：DE//AC,

：.ZCAD=ZADE,

；・NBAD=NADE,

：.AE=DE,

*：ADLDB,

：.ZADB=9Q°,

：,ZEAEHZABD=90°,NADE+NBDE=NADB=90°,

・•・ZAI3D=ZBDEt

；,DE=BE,

第18页共92页

*：AB=5,

・•・DE=BE=AE=^AB=2.5,

2

故选：B.

3.（2024•利津县一模）如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,/ABC、NAC8的平分线相交于点。，MN

过点O,RMN〃BC,分别交AB、AC于点M、N.则△AM"的周长为18.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：•・•在△A3。中，乙43。、/月。3的平分线相交于点O,

・•・ZABO=ZOBC,

:・/MOB=/OBC,

：.NABO=NMOB,

・・・8M=OM,

同理CN=ON,

:.△AMN的周长是：AM+MMMN=4M+OM+ON+AN=4M+3M+CN+AN=A4+AC=10+8=18.

故答案为：18.

4.（2023•振兴区校级二模）如图，在△ABC中，CG平分NACB,过点A作AH_LCG交8C于点〃，且〃

是BC的中点.若A〃=4,CG=6,则4B的长为匹.

—2—

2

【解析】解：作HK〃CG交4B于点K,

第19页共92页

KGCHKGNH

是BC的中点,

,BH=CH,

・二BK=KG,

・1

••HK=^€G=3-

•：AHA.CG,

AZANC=ZHNC=ZANG=90°.

•・•CG平分/ACB,

・•・ZACN=ZHCN.

，：CN=CN,

在△4CN与△HCN中，

[ZACN=ZHCN

CN=CN，

lZANC=ZHNC

:.XACNqXHCN(ASA),

:.AN=HN,

・AG=KG,

・AG=KG=BG,

'HK//CG,

・/KHA=/ANG=90°,

•AK-VAH2+HK2-5-

・AG今

二•AB有

故答案为：工

2

题型07等边三角形的性质与判定

第20页共92页

1.12023•庐阳区模拟）如图，在边长为2的等边三角形A8C中，D为边BC上一点,且80=工CQ.点E,

F分别在边48,AC上，且/以小=90°,M为边所的中点，连接CM交。尸于点N.若AB、则

CM的长为（）

A.导行B.3Mc.aD.V3

【答案】c

【解析】解：•・•等边三角形边长为2,BD=lcD,

.•.50=2,CD=—,

33

丁等边三角形ABC中，。/〃AB,

/.ZFDC=Z5=60°,

VZ£DF=90°,

/.ZBDE=30°,

:.DE工BE,

・・./BED=90°,

VZB=60°,

：,/BDE=30°,

：.BE=^BD=^

23

AZ)£=VBD2-BE2=2V^

o

如图，连接DM,则Rt△。律中，DM=LEF=FM,

VZFDC=ZFCD=60o,

•••△CQ”是等边三角形，

:・CD=CF=*,

3

・・・CM垂直平分。F,

第21页共92页

AZDC/V=30°,DN=FN,

.一△CON中，QN=2,CN=aZl,

33

•・・M为E尸的中点，

.・.MN=~1QE=返，

26

JCM=CN+MN=返=-§2^.

366

故选：C.

2.（2022•开远市二模）△ABC是等边二角形，点F在△A〃C内，PA=4,将△出，绕点A逆时针旋特得到

C.2D4

【答案】A

【解析】解：•・•△ABC是等边三角形，

：,AC=AB,NC48=60°,

•・,将△MB绕点A逆时针旋转得到△PAC

.,.△CPiA^ABBA,

：.AP\=AP,ZCAP\=ZBAP,

：.ZCAB=ZCAP+ZBAP=ZCAP+ZCAP]=60°,

即/%Pi=60°,••.△APPi是等边三角形，

：.P\P=PA=4f

故选：A.

3.（2024•泗县一模》如图，ZSABC是等边三角形，点。是3C下方的一点，ZBDC=120°,BD=CD,点

第22页共92页

E和点尸分别是AC和A/3上一点，Z£DF=60°.若△A4C的周长为12，则尸的周长为（)

A.5B.6C.8D.9

【答案】C

【解析】解：如图，延长AC至点P,使CP=3£连接尸。，

是等边三角形，的周长为12.

AZABC=ZACB=60°,AB=AC=BC=4.

°：BD=CD,N8QC=120°

：・NDBC=NDCB=30°,

：,ZFBD=ZDCE=90°,

••・NOCP=NO8尸=90°,

在△B。/7和△C。/中，

BD=CD

ZDBF=ZDCP-

BF=CP

:.△BDF9ACDP(SAS),

:.DF=DP,NBDF=NCDP.

*：ZBDC=\20°,ZEDF=60°,

第23页共92页

/.ZBDF+ZCDE=60°，

・・・NCQP+NCOE=60",

：,ZEDF=ZPDE=60a

在△£>£尸和△OPE中，

DF=DP

,NEDF=NPDE・

DE=DE

:.△DE0ADPF(SAS),

：.EF=EP,

EF=EC+CP=EC+BF,

/.AAEF^]^=AE+EF+AF'=AE+CE+BF+AF=AB+AC=S,

故选：C.

4.(2024•顺德区一模〉如图所示A、B、C为正方体的二个顶点，则的度数为60°

【解析】解：・・・A,8、。为正方体的三个顶点，

・・・A6,AC,8c是正方体一个面的对角线，

•*»AB=AC=BCt

・•・△48。是等边三角形，

/.ZACB=60°,

故答案为：60°.

5.（2024•望城区一模）已知：如图所示，边长为6的等边△ABC,以边所在直线为x轴，过B点且垂

直于4C的直线为），轴，建立平面直角坐标系，则4点坐标为（3,3幅_.

第24页共92页

【答案】见试题解答内容

・，.AO=34

，点4的坐标为（3,3心,

故答案为：（3,3«）

6.（2023•和平区校级三模）如图，△A8C和aBOE均为等边三角形，边长分别为12和8,点。在直线48

上运动，C\E在直线A6上力，分别连接CD,它们相交于点尸，连接6尸，则8尸的长—着百

【答案】得布或-^\巧・

【解析】解：当。点在射线AB上时，连接MM

•・•△A8C和△8。£均为等边三角形，

••・NA8C=NQ8E=6(r,BD=BE,AB=BC,

VZABC+ZD5£+ZC5E=180°,

••・NCBF=60°,

AZABC+ZCBE=ZDBE+ZCBE=\20°,即NA8E=NQBC=120°,

在△ABE和△C8。中，

'AB=BC

'NABE=NDBC，

BE=BD

r.^ABE^/XCBD(SAS),

第25页共92页

；・NEAB=NDCB,

在△A4M和△CEV中，

rZNCB=ZMAB

BC=BA，

ZNBC=ZMBA

:.丛ABMm丛CBN(ASA),

:・BM=BN,

VZEAB+ZABC+^AMB=ZDCB+ZCFM+ZCMF=180°,ZAMB=ZCMF,

：.ZCFM=ZABC=6()Q,

AZAFD=\20°,

：,ZCBE+ZAFD=\20a+60°=180°,

・••点M,B,N,尸四点共圆，

.•.ZMF5=Z5W=1OV，

乙ZAFD=6

・•・ZCFB=NCFM+NM/B=120°,

AZCBD=ZCFB=120°,

•；NBCD=NFCB,

:.△BCDS^FCB,

CD：CB=BD：FB,

过C作CG_LAB于G,

*：AB=\2,

；.BG=1AB=6,CG=V3BG=6V3»

2

VBD=8,

ADG=6+8=14,

=7(6V3)2+142=4匹,

••・CD=5/CG24€D2

:.4V19：12=8：BF,

解得BF=

当。点在线段A4上时，分别过点C、尸作CP_LA3于点P,CQ_L44于点Q,

•••△A3C和△8。£为等边三角形，4?=12,

・•・NACB=/ABC=/BAC=NBDE=60",

第26页共92页

：,DE//AC,BP=』AB=6,CP=V3BP=6V3»

2

:.AAFCSAEFD,

VAC=12,DE=8,

•CF二gC二12二3

''DP=DE=-8~=I，

•・DF=—2,

CD5

VCPA.AB,CQ1AB,

:.FQ//CP,

:.ADEQSADCP,

.FQDF

**CP=CD,

却卑上，

6V35

解得/。=营氏,

在△ABE和△CBO中，

fAB=CB

ZABE=ZCBD-

IBE=BD

:.XABE迫△CBD(SAS),

:・/BAE=NBCD,

：,ZFAC=ZFCA,

：.AF=CFf

在△AF8和△CF8中，

fAF=CF

AB=CB，

IBF=BF

:.丛AFBQ丛CFB(555),

・・・NAB”=NC8产=30°,

：,BF=2FQ=

综上8尸的长为

故答案为:

第27页共92页

6.（2023•南山区模拟）如图，等边三角形A/3C边长为2,点、D在BC边上,且8OVCO,点七在A8边上

且4E=3。，连接A。，CE交于点、F,在线段FC上截取以，连接3G,则线段4G的最小值是2

\1-3-2.

【答案】2V3-2.

【解析】解：如图所示，连接取人C的中点M连接2M延长4Q到M,使得月W=H?,则△/GW

是等边三角形，

ZACB=ZFCM,

:.NACF=N8CM,

•：CA=CB、CF=CM,

:.丛BHMgAGHF(SAS),

:.FH=MH,即点”为的中点,

第28页共92页

♦：XFMC是等边三角形，

：・CHLMF,即NAHC=90”，

・••点”在以AC为直径的圆上运动，

・••当8、”、N三点共线时，8H有最小值,

・•・△ABC是等边三角形，N是AC的中点，

/.RN1.AC,CN=1AC=\,

2

・・.硒=g，2一0/=近，

坡小=«-1.

,:BG=2BH=2近-2.

故答案为：273-2.

题型08全等三角形的性质与判定

1.(2024•玄武区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，C(4,4),点8、A分别在x轴正半轴和,，轴正

【答案】A

【解析】解：过C作CM_Ly粕于M,CN_Lx轴于M

则NCMA=NCNB=90°,

VC(5,5),:・CN=CM=5,

•:/MON=NCNO=NCMO=90°,

工NMCN=360°-90°-90°-90°=90°,

•・・NACB=90°,

・•・/ACB=/MCN,

/.NACM=/BCN,

在aACM和△8CN中，

第29页共92页

fZCMA=ZCNB

CM=CN，

IZACM=ZBCN

:•△ACMWABCN(ASA),

・•・OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=4+4=8.

2.（2024•杭锦后旗模拟）如图，直线/上有三个正方形a,b,c,若。,c的面积分别为6和8,则的面

积为（）

A.6B.8C.10D.14

【答案】D

【解析】解：•・•』从c都是正方形，

：.AC=CE,ZACE=90°；

VZACB+ZDCE=ZACB+ZBAC=90°,

:・/BAC=/DCE,

VZ/4BC=ZCED=90°,AC=CE,

:.△ACBWlXCED(AAS),

：.AB=CDtBC=DE；

在心△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

即Sb=S+Sc=6+8=14,

故选：D.

第30页共92页

E

3.(2024•禹州市一模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，点A(-1,0),B(0,

-4).将△ABC向上平移一个单位长度后，点。的坐标为()

B.(3,1)C.(4,2)D.(3,2)

【答案】。

【解析】解：•••点4(-1,0),8(0,-4),

・・・O4=I,OB=4,

•••△ABC为等腰直角三角形,

：.AC=AB,NB4C=90°,

过C作C£±.v轴于旦

ZAEC=ZAOB=90°，

AZCAE-^ZBAO=ZBAO+ZABO=^°，

：.ZCAO=ZABOf

在△CAE与△ABO中,

ZA0B=ZCEA

ZABO=ZCAD-

AB=AC

(AAS),

：，CE=AO=l.AE=OB=4,

：.0E=3,

：.C(3,1),

•・•将△ABC向上平移一个单位长度,

第31页共92页

・••点C的坐标为(3,2).

4.(2024•凉州区校级模拟)如图，在△ABC与△OCB中，AC与交于点石，且/A=NO,AB=DC.

(I)求证：△AAEg/kQCE；

(2)求证：NEBC=NECB.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析.

【解析】(1)证明：在和△OCE中，

rZA=ZD

'ZAEB=ZDEC

AB二DC

:.△ABE@4DCE(AAS)；

(2)♦:MABE出△DCE、

:・EB=EC,

•••△E8C是等腰三角形，

工/EBC=/ECB.

5.(2024•蓬江区校级一模)如图，^ABCD,E、尸分别是边4B、CD上一点,且AE=C凡直线石尸分别交

AC.人。延长线、C8延长线于0、H、G.

(1)求证：△AHOqXCGO.

(2)分别连接AG、CH,试判断AG与C"的关系，并证明.

第32页共92页

H

DC

A-ET/B

G

【答案】(1)见解析；

(2)AG//CH,AG=CH,理由见解析.

【解析】(1)证明：•・•四边形A4CO是平行四边形,

VZAOE=COF,ZFOC=ZAOE,AE=CF

:.XCOFmXAOE(A4S),

：.AO=CO,

：,AH//CG,AO=CO,

：,^CAH=ZACG,N”=NG,

:.△AHgXCGO(A45)；

(2)证明：如图，连接AG、CH,

*：/\ZWgXCGO,

:.AH=CG,

*：AH//CG,

・•・四边形AGCH是平行四边形,

第33页共92页

:.AG"CH,AG=CH.

题型09勾股定理、勾股定理定理逆定理与网格问题

1.12024•元谋县一模）如图所示，在4X4网格正方形中，每个小正方形的边长为1,顶点为格点，若△ABC

的顶点均是格点，则△ABC的面积为（）

A.2y/5B.5C.3^5D.10

【答案】B

【解析】解：△ABC的面积=4X4--xIX2--X2X4~—X4X3=5，

222

故选：B.

2.（2024•凉州区校级模拟）如图，在△A8C中，NAC8=90°,以△48C的各边为边作三个正方形，点G

落在，/上，若4C+BC=7,空白部分面积为13,则的长为（）

A.5B.V21C.V19D.V26

【答案】A

【解析】解：.・•四边形A8G厅是正方形，

：.AB=AF,NBAN=NF=90c,

：,ZMAF+ZBAC=9()°,

•・・/ACB=90°,

AZABN+ZBAC=90°,

・•・4ABN=/MAF,

第34页共92页

\*AB=AF,ZBAN=ZF,

:.XBAN出RAFM(ASA),

•••△BAN的面积=Z\A^M的面积，

・•・四边形FNCM的面积=Z\ABC的面积，

・•・空白部分的面积=正方形A8G产的面积・2X4ABC的面积，

：.AH2-2XLC・8C=I3①，

2

'：AC+BC=7,

:.(AC+8C)2=72,

.\AC2+BC2+2AC-BC=49,

\'AB2=AC2+BC2,

.•・A82+2AC・8C=49②，

由①和②得4^2=25,

：.AB=5(舍去负值).

故选：A.

3.(2024•珠海校级一模)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相

邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形O4BC若/W=BC=I,乙408=30°,贝UOC

的值为()

【答案】A

【解析】解：在RtZXAOB中，AB=\,NAO8=30°,

08=2,

在RtZ\80C中，

OC=VBC2-H3B2=V12+22=V5.

第35页共92页

故选：A.

4.（2024•雁塔区校级模拟）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请

你帮帮小华.如图，△A8C的顶点都在边长为I的正方形网格的格点上，CO_LA8于点。，则CZ）的长

是（）

B.4C.工D.2