商不变的原理课件

商不变的原理欢迎来到商不变的原理的探索之旅！本次课件将带您深入理解这一重要的数学概念。我们将通过生动的故事、详细的例子和丰富的练习，让您轻松掌握商不变的原理，并能灵活运用到实际问题中。准备好开始了吗？让我们一起启航吧！教学目标1理解商不变的原理了解被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变的数学规律。2掌握商不变原理的应用学会运用商不变的原理简化计算，解决实际问题。3培养数学思维能力通过观察、比较、分析、归纳等方法，提升数学思维能力。什么是商？复习除法概念在开始学习商不变的原理之前，我们先来回顾一下除法的基本概念。除法是四则运算之一，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。在除法算式中，商是指被除数除以除数所得到的结果。商是除法运算的核心概念，理解商的含义是掌握商不变的原理的基础。除法算式：被除数÷除数=商被除数表示被分割或分配的总数量。除数表示将总数量分割成多少份。商表示每份所包含的数量，即除法的结果。被除数、除数、商之间的关系被除数被除数是除法运算中被分割的数，它是除法运算的对象，也是最终被分配的总量。被除数的大小直接影响着商的大小，当除数不变时，被除数越大，商也越大。除数除数是除法运算中用来分割被除数的数，它决定了被除数将被分成多少份。除数的大小与商的大小成反比关系，当被除数不变时，除数越大，商越小。商商是除法运算的结果，它表示被除数按照除数分割后每份的大小。商的大小受到被除数和除数的共同影响，它反映了被除数和除数之间的数量关系。导入：小明分苹果的故事在一个阳光明媚的下午，小明摘了一篮子红彤彤的苹果。他决定把这些苹果分给他的好朋友们。通过小明分苹果的故事，我们将逐步揭开商不变的原理的神秘面纱，并体会数学的乐趣。小明有12个苹果，分给4个小朋友，每人几个？问题小明有12个苹果，分给4个小朋友，每人可以分到几个苹果？思考这是一个简单的除法问题，我们可以用除法算式来表示。答案每人可以分到3个苹果。12÷4=3（个）被除数1除数2商3在这个算式中，12是被除数，表示苹果的总数量；4是除数，表示小朋友的数量；3是商，表示每个小朋友分到的苹果数量。如果小明有24个苹果，分给8个小朋友，每人几个？苹果总数增加小朋友数量增加现在，小明有了更多的苹果，也多了几个好朋友。让我们看看在这种情况下，每个小朋友能分到多少苹果呢？这个问题又该如何解答？24÷8=3（个）被除数24除数8商3尽管苹果的总数量和小朋友的数量都发生了变化，但每个小朋友分到的苹果数量仍然是3个，与之前的情况相同。这其中蕴含着什么数学规律呢？观察这两个算式，你发现了什么？1算式对比2数据分析3规律探索仔细观察这两个算式，看看你能从中发现什么有趣的现象？苹果的数量和小朋友的数量是如何变化的？每个小朋友分到的苹果数量又是如何变化的？尝试用自己的话语描述你所观察到的现象。发现：苹果数量和人数都增加了一倍，但每人分到的苹果数没变。苹果数量从12个增加到24个，增加了一倍。人数从4个增加到8个，同样增加了一倍。苹果的数量和小朋友的数量都增加了一倍，但每个小朋友分到的苹果数量却始终保持不变，都是3个。这说明，当被除数和除数同时扩大相同的倍数时，商并没有发生变化。商不变的原理：初步感知1故事引入通过小明分苹果的故事，初步感知商不变的原理。2算式观察观察两个除法算式，发现被除数和除数的变化规律。3现象总结总结出当被除数和除数同时扩大相同倍数时，商不变的现象。商不变的原理定义被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。这就是商不变的原理的定义。它告诉我们，在除法运算中，只要被除数和除数同时进行相同的乘法或除法运算（0除外），商的值就不会发生改变。这是一个非常重要的数学规律，可以帮助我们简化计算，解决实际问题。被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。乘以相同的数被除数和除数同时乘以相同的数，商不变。除以相同的数被除数和除数同时除以相同的数（0除外），商不变。商不变的原理包含两个方面的内容：一是被除数和除数同时乘以相同的数，商不变；二是当被除数和除数同时除以相同的数（0除外），商也不变。这两个方面共同构成了商不变的原理的完整内容。强调：0除外的重要性除数不能为0在除法运算中，除数不能为0，这是除法运算的基本规则。0没有倒数0没有倒数，因此除以0的运算没有意义。商无意义当除数为0时，商不存在，除法运算失去意义。在商不变的原理中，强调“0除外”非常重要。这是因为除数不能为0，否则除法运算就没有意义了。因此，在使用商不变的原理时，必须确保所乘以或除以的数不是0，才能保证结论的正确性。为什么除数不能为0？除法定义除法是乘法的逆运算，除数乘以商等于被除数。0的特性任何数乘以0都等于0。逻辑矛盾如果除数为0，则无论商是多少，都无法得到非0的被除数，产生逻辑矛盾。除数不能为0是由除法的定义和0的特性决定的。如果除数为0，那么无论商是多少，都无法通过乘法运算还原得到原来的被除数，这与除法的定义相悖，因此除数不能为0。用字母表示商不变的原理：a÷b=(a×c)÷(b×c)=(a÷c)÷(b÷c)(c≠0)a÷b原始算式(a×c)÷(b×c)同时乘以c(a÷c)÷(b÷c)同时除以c为了更简洁地表达商不变的原理，我们可以使用字母来表示。其中，a代表被除数，b代表除数，c代表非0的数。这个公式清晰地展示了商不变的原理的数学本质。举例说明：20÷5=41原始算式20÷5=4，这是一个简单的除法算式，商为4。2乘以相同的数我们将被除数和除数同时乘以2，看看结果如何。3除以相同的数我们将被除数和除数同时除以2，看看结果如何。20×2=40,5×2=10,40÷10=4被除数扩大2倍1除数扩大2倍2商不变3我们将被除数20和除数5同时乘以2，得到新的算式40÷10。计算结果仍然是4，与原始算式的商相同。这验证了商不变的原理，即当被除数和除数同时乘以相同的数时，商不变。20÷2=10,5÷2=2.5,10÷2.5=41被除数缩小2倍2除数缩小2倍3商不变我们再将被除数20和除数5同时除以2，得到新的算式10÷2.5。计算结果仍然是4，与原始算式的商相同。这再次验证了商不变的原理，即当被除数和除数同时除以相同的数（0除外）时，商不变。练习：快速计算限时挑战在规定时间内完成计算，挑战你的速度和准确率。运用原理运用商不变的原理简化计算，提高解题效率。接下来，我们将进行一些快速计算练习，帮助大家更好地掌握商不变的原理。请大家运用所学知识，在最短的时间内准确地计算出结果。准备好了吗？让我们开始吧！30÷6=？300÷60=？3000÷600=？算式一30÷6=？算式二300÷60=？算式三3000÷600=？请大家仔细观察这三个算式，思考它们之间有什么联系？你能运用商不变的原理快速计算出结果吗？尝试用简便方法进行计算，并比较不同算式之间的结果。100÷20=？50÷10=？10÷2=？100÷20被除数和除数同时缩小5倍。50÷10被除数和除数同时缩小5倍。10÷2最简形式。这三个算式也蕴含着商不变的原理。请大家仔细观察，思考它们之间的联系，并运用商不变的原理快速计算出结果。你是否发现了什么规律？生活中的应用：单价问题单价商品的价格。总价购买商品的总金额。数量购买商品的个数。商不变的原理在生活中也有广泛的应用，例如单价问题。单价是指单位商品的价格，它等于总价除以数量。当购买同样的商品时，数量增加，总价也相应增加，但单价却保持不变。例子：买同样的商品，数量增加，总价也相应增加，单价不变。数量增加1总价增加2单价不变3假设一件商品的单价是5元，如果你购买2件商品，总价就是10元。如果你购买4件商品，总价就是20元。虽然数量和总价都发生了变化，但单价始终保持不变，都是5元。单价=总价÷数量总价数量单价单价、总价和数量之间存在着密切的关系，它们可以用一个简单的公式来表示：单价=总价÷数量。这个公式清晰地展示了单价、总价和数量之间的数量关系，也体现了商不变的原理在实际生活中的应用。挑战：判断题认真思考仔细分析算式，判断是否符合商不变的原理。运用知识运用所学知识进行判断，提高解题能力。接下来，我们将进行一些判断题的挑战，帮助大家更深入地理解商不变的原理。请大家认真思考，运用所学知识进行判断，看看你能否全部答对？20÷4=(20+5)÷(4+5)（错）错误原因被除数和除数不是同时乘以或除以相同的数，而是同时加上了相同的数。正确做法要保持商不变，被除数和除数必须同时乘以或除以相同的数（0除外）。这个算式是错误的。因为被除数和除数不是同时乘以或除以相同的数，而是同时加上了相同的数。商不变的原理要求被除数和除数必须同时进行相同的乘法或除法运算，才能保证商的值不变。15÷3=(15×0)÷(3×0)（错）错误原因被除数和除数同时乘以了0，违反了商不变的原理中“0除外”的规定。特别注意0不能作为除数或乘数，否则除法运算失去意义。这个算式也是错误的。因为被除数和除数同时乘以了0，违反了商不变的原理中“0除外”的规定。在商不变的原理中，必须确保所乘以或除以的数不是0，才能保证结论的正确性。36÷9=(36÷3)÷(9÷3)（对）1验证过程36÷9=42验证过程(36÷3)÷(9÷3)=12÷3=4这个算式是正确的。因为被除数和除数同时除以了相同的数3，符合商不变的原理。通过计算可以发现，两个算式的商都是4，验证了商不变的原理的正确性。商不变的原理的应用：简化计算化繁为简运用商不变的原理，将复杂的除法算式转化为简单的算式。提高效率简化计算过程，提高解题效率。商不变的原理最大的应用就是可以简化计算。当遇到一些较大的除法算式时，我们可以通过商不变的原理，将被除数和除数同时缩小相同的倍数，从而将复杂的算式转化为简单的算式，方便计算。例子：480÷80原始算式480÷80简化方法同时除以10简化结果48÷8这是一个比较大的除法算式，直接计算可能会比较麻烦。但是，我们可以运用商不变的原理，将被除数和除数同时除以10，将算式转化为48÷8，这样计算就简单多了。480÷80=(480÷10)÷(80÷10)=48÷8=61同时除以102简化算式3快速计算通过将被除数和除数同时除以10，我们将480÷80转化为了48÷8。这是一个非常简单的算式，我们可以很容易地计算出结果为6。这充分展示了商不变的原理在简化计算方面的优势。练习：用商不变的原理简化计算独立思考运用技巧验证结果接下来，我们将进行一些练习，帮助大家更好地掌握运用商不变的原理简化计算的方法。请大家独立思考，运用所学知识，尝试用简便方法计算出结果，并验证结果的正确性。540÷90=？简化方法被除数和除数同时除以10简化结果54÷9=？请大家运用商不变的原理，将被除数和除数同时除以10，将算式简化为54÷9，然后快速计算出结果。你是否感受到了商不变的原理在简化计算方面的优势？6300÷700=？简化方法被除数和除数同时除以100简化结果63÷7=？对于这个算式，我们可以将被除数和除数同时除以100，将算式简化为63÷7，然后快速计算出结果。你是否掌握了运用商不变的原理简化计算的技巧？1200÷40=？1简化方法被除数和除数同时除以102简化方法被除数和除数再次同时除以2这个算式可以进行多次简化。首先，我们可以将被除数和除数同时除以10，得到120÷4。然后，我们可以再次将被除数和除数同时除以2，得到60÷2。最终，我们可以轻松地计算出结果。思考题：如何用商不变的原理解决复杂的除法问题？深入思考灵活运用举一反三当遇到一些复杂的除法问题时，我们可以尝试运用商不变的原理，将被除数和除数进行适当的变形，从而将复杂的算式转化为简单的算式，方便计算。关键在于要找到合适的变形方法，并灵活运用商不变的原理。变式练习：条件变化结果探索接下来，我们将进行一些变式练习，帮助大家更深入地理解商不变的原理。我们将改变被除数和除数的变化方式，看看商会如何变化？请大家认真思考，并尝试总结出规律。如果被除数不变，除数扩大2倍，商会怎样？条件被除数不变，除数扩大2倍结论商会缩小2倍当被除数不变时，除数扩大2倍，商会缩小2倍。这是因为商等于被除数除以除数，当除数扩大2倍时，商自然就会缩小2倍。如果除数不变，被除数扩大3倍，商会怎样？条件除数不变，被除数扩大3倍结论商会扩大3倍当除数不变时，被除数扩大3倍，商会扩大3倍。这是因为商等于被除数除以除数，当被除数扩大3倍时，商自然就会扩大3倍。如果被除数扩大2倍，除数缩小2倍，商会怎样？1被除数扩大2倍商扩大2倍2除数缩小2倍商再次扩大2倍当被除数扩大2倍，除数缩小2倍时，商会扩大4倍。这是因为被除数扩大2倍，商会扩大2倍；除数缩小2倍，商会再次扩大2倍。因此，总共扩大了4倍。商不变的原理与分数的关系分数表示一个数是另一个数的几分之几。除法表示一个数是另一个数的多少倍。商不变的原理与分数之间存在着密切的关系。我们可以将一个除法算式看作一个分数，被除数是分子，除数是分母。因此，商不变的原理也可以应用于分数的化简和计算。分数的基本性质：分子分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的值不变。乘以相同的数分子分母同时乘以相同的数，分数的值不变。除以相同的数分子分母同时除以相同的数（0除外），分数的值不变。分数的基本性质与商不变的原理非常相似。分数的基本性质告诉我们，当分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外）时，分数的值不会发生改变。这与商不变的原理的定义完全一致。分数的基本性质与商不变的原理的联系本质相同都是描述一个数与另一个数之间的比例关系。形式不同商不变的原理用除法算式表示，分数的基本性质用分数形式表示。分数的基本性质和商不变的原理本质上是相同的，都是描述一个数与另一个数之间的比例关系。只是它们的表现形式不同，商不变的原理用除法算式表示，而分数的基本性质用分数形式表示。总结：商不变的原理和分数的基本性质本质相同。1统一性2相似性3关联性商不变的原理和分数的基本性质虽然形式不同，但本质是相同的。它们都描述了一个数与另一个数之间的比例关系，并且都可以用来简化计算。理解了它们之间的联系，可以帮助我们更好地掌握数学知识。拓展：小数除法中的应用小数除法整数除法转化商不变的原理不仅可以应用于整数除法，还可以应用于小数除法。在进行小数除法时，我们可以利用商不变的原理，将被除数和除数同时扩大相同的倍数，将小数除法转化为整数除法，方便计算。例子：2.4÷0.6小数除法2.4÷0.6转化方法同时乘以10整数除法24÷6这是一个小数除法算式，直接计算可能会比较困难。但是，我们可以利用商不变的原理，将被除数和除数同时扩大10倍，将算式转化为24÷6，这样计算就简单多了。2.4÷0.6=(2.4×10)÷(0.6×10)=24÷6=4扩大10倍1转化为整数除法2快速计算3通过将被除数和除数同时扩大10倍，我们将2.4÷0.6转化为了24÷6。这是一个非常简单的整数除法算式，我们可以很容易地计算出结果为4。这充分展示了商不变的原理在小数除法中的应用价值。练习：小数除法计算小数除法运用技巧接下来，我们将进行一些小数除法计算的练习，帮助大家更好地掌握在小数除法中应用商不变的原理的方法。请大家独立思考，运用所学知识，尝试用简便方法计算出结果。3.6÷0.9=？转化方法被除数和除数同时乘以10转化结果36÷9=？请大家运用商不变的原理，将被除数和除数同时乘以10，将算式转化为36÷9，然后快速计算出结果。你是否感受到了商不变的原理在简化小数除法方面的优势？4.8÷0.8=？转化方法被除数和除数同时乘以10转化结果48÷8=？对于这个算式，我们可以将被除数和除数同时乘以10，将算式转化为48÷8，然后快速计算出结果。你是否掌握了在小数除法中应用商不变的原理的技巧？1.25÷0.25=？1转化方法被除数和除数同时乘以1002转化结果125÷25=？这个算式需要将被除数和除数同时乘以100，才能转化为整数除法。请大家运用商不变的原理，将被除数和除数同时乘以100，将算式转化为125÷2