《量子逻辑门基础分析》2200字

量子逻辑门基础分析综述经典计算电路共由两部分内容构成：逻辑门和连接线路。逻辑门负责完成对信息的处理操作，连接线路用于在线路间和电路元件之间传输信息。与此类似，量子线路和量子逻辑门共同构成了量子计算电路。经典逻辑门可以完成信息的“或”、“与”、“非”、“或非”、“与非”等逻辑功能，并且逻辑电路无论有多复杂的功能，都可通过基本逻辑门的组合完成和实现。在量子计算中，通过对量子态进行一系列的酉变换来实现量子信息的逻辑运算，这些能够对量子态实现逻辑功能的操作就被称为是量子逻辑门。量子逻辑门都满足幺正性，这是由于量子系统都是根据薛定谔方程进行时间演化。量子逻辑门通常用酉矩阵进行表示，例如一量子比特逻辑门和二量子比特逻辑门可以用2×2和4×4大小的酉矩阵表示，对K个量子比特进行运算操作的量子逻辑门就可以通过一个2K×1.1单比特量子门单量子比特逻辑门通常使用2×2的矩阵进行表示，表示形式如下： A=abc量子逻辑门运算的实质就是量子比特矩阵与量子逻辑门矩阵按照运算的顺序相乘所产生的结果。下面首先介绍一些常用的单比特量子逻辑门的定义。（1）恒等变换II门是一个恒等操作，矩阵表示形式为： I=|0⟩⟨0|+|1⟩⟨1|=1可以直接看出，I门的矩阵表示为一个单位矩阵，它的设置不会对原有的量子比特产生任何改变，即I|0⟩=|0⟩，（2）泡利-X门量子逻辑门中的X门相当于经典电路中的非门操作，矩阵表示形式为： X=σx=当X门作用于量子比特|φ⟩=α|0⟩+β|1⟩之后，输出结果为|φ⟩=β（3）泡利-Z门量子逻辑门中的Z门也被称为相位门，它可以使计算基矢|0⟩和|1⟩的相对相位差π，矩阵表示形式为： Z=σz=当Z门作用于量子比特|φ⟩=α|0⟩+β|1⟩之后，输出结果为（4）泡利-Y门量子逻辑门中的Y门的矩阵表示为： Y=σy=当Y门作用于量子比特|φ⟩=α|0⟩+β（5）Hadamard门（H门）量子逻辑门中的Hadamard门可以将|0⟩和|1⟩分别演化到|0⟩和|1⟩中间的状态上，简单计算可知H2=I，也就是说，对同一个量子比特连续两次使用Hadamard门，该量子比特的状态不会发生任何变化。由于S4=Z，HZH= H=121H门可以将量子比特从基态转换为叠加态，即H|0⟩=|0⟩+|1⟩2， Hα|0⟩+β|1⟩=（6）RX门量子逻辑门中的RX门表示在布洛赫球中将量子态沿x轴旋转一定的角度，即eiθX（θ RXλ=exp（7）RZ门量子逻辑门中的RZ门表示在布洛赫球中将量子态沿z轴旋转一定的角度，即eiθZ（θ RZλ=exp（8）X门量子逻辑门中的X门也称平方根非门，连续两次应用此门将产生标准泡利-X门（非门）。与Hadamard门一样，如果量子比特处于状态|0⟩中，X门可以产生一个相等的叠加态，但是相对相位不同。X门的矩阵表示如下， X=12RXπ2门和 RXπ2=1.2多量子比特门任意逻辑功能的多量子位逻辑门都可以用单量子相位旋转门和控制非门的组合来实现。又由于任意单量子位旋转门都可以用Hadamard门和相移门的组合实现，所以控制非门，Hadamard门和相移门这三种量子逻辑门的组合可以实现任意功能的多量子位逻辑门。（1）CNOT门（受控非门）与单量子比特门不同的是，CNOT门作用在两个量子比特上。当控制比特的状态处于|0⟩时，目标比特保持不变，不作操作；当控制比特的状态处于|1⟩时，就对目标比特执行量子非门操作。以第一个量子位表示控制比特为例，第二个量子位则表示了目标比特，CNOT门的作用原理可以简单表示为： |00⟩→|00⟩；|01⟩→|01⟩；|10⟩→|11⟩；|11⟩→|10⟩。 式（2-26）CNOT门的矩阵表示形式为： UCNOT=1（2）Toffoli门（CCNOT门）Toffoli门的构成与CNOT门十分相似，也分为控制比特和目标比特两种类型。使用Toffoli门时，需要输入三个量子比特，有且只有当前两个控制比特的状态均为|1⟩时，才会对目标比特执行量子非门操作。换一个角度来看待Toffoli门，事实上它实现了对控制比特的逻辑“与”关系。以前两个量子比特为控制比特、第三个量子比特为目标比特为例，Toffoli门的作用原理可以表示为:|000⟩→|000⟩；|100⟩→|100⟩；|010⟩→|010⟩；|001⟩→|001⟩ |101⟩→|101⟩；|011⟩→|011⟩；|110⟩→|111⟩；|111⟩→|110⟩。 式（2-28）Toffoli门的矩阵表示形式为： UT=1但需要注意的是，Toffoli门并不属于基本量子逻辑门之一。但是可以根据CNOT和单量子逻辑门将Toffoli门构造出来，一种构建的方法如图1所示：图SEQ图\*ARA