广东省汕头市潮阳区2024-2025学年高一上学期期末数学试题【含答案解析】

潮阳区2024-2025学年度第一学期高一级教学质量监测试卷数学第I卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元一次不等式得集合N，然后与集合M取并集即得答案.【详解】求解不等式，得，即集合，又所以；故选：C2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】命题“，”的否定为“，”，故选：B.3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简即可求出.【详解】,故选：4.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，所以，又因为，所以，综上，.故选：B5.设，若，则（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】画出函数图象，数形结合可知，当且时，才可能使得，根据分段函数，代数对应的解析式，建立关于的方程，解方程即可得解.【详解】画出画出函数的图象，如上图所示，由图象可知，当且时，才可能使得，所以解得故选：B6.已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据吗函数的定义和图象与性质可得，进而求出，结合二次函数在区间上单调性求出参数即可.【详解】由幂函数定义知，，解得或，当时，，为奇函数，不符合题意；当时，，为偶函数，符合题意，故.所以，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线，又在上单调，则或，解得或，即实数的取值范围为.故选：D7.已知，，则的值为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解.【详解】由两边平方得，即，而，故.所以，而解得，所以，故选：A.8.已知是定义在上的函数，当时，且的图象关于对称．对于给定的正数，定义函数，若函数有零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由的图象关于对称，可得出的奇偶性，然后利用奇偶性求出的解析式，根据函数定义，再结合的解析式即可画出的图象，最后将函数有零点问题转化为函数图象有交点问题，从而可得解.【详解】因为的图象关于对称，所以函数的图象关于，所以函数为偶函数，即，又当时，当时，，，即，所以，由题意可得，函数的图象如下图所示：若函数有零点，等价于方程有解，等价于函数与函数的图象有交点，由上图可知，当时，满足题意.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知角的终边经过点，则下列选项正确的有（）A.可能为锐角 B.C. D.点在第二象限【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，确定角所在象限判断A；利用三角函数定义求解判断BCD.【详解】对于A，角的终边经过点，则角为第二象限角，不可能为锐角，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，，则点在第三象限，D错误.故选：BC10.已知且，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知条件求的取值范围，即可判断A；由指数幂的运算判断C；利用基本不等式判断B、D.【详解】对于A，且，可知，，所以所以，即，故A正确；对于B，当且仅当时，取等号，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，当且仅当时，取等号，故D正确；故选：ACD11.已知不等式，下列说法正确的有（）A.若，则不等式的解集为B.若，则不等式的解集为C.若，恒成立，则整数的取值集合为D.若恰有两个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】先因式分解得到二次函数的两点式，代入，即可得，从而可判断A选项；根据得出，从而可直接解，即可判断B选项；分与讨论，当时，转化为含参二次不等式恒成立问题，写出等价条件，解不等式组即可判断C选项；分与讨论，即可判断D选项.【详解】，对于A，若，恒成立，所以的解集为，故A正确；对于B，若，则，的解集为，故B正确；对于C，恒成立，即，当时，等价于解不等式组得，所以整数的取值为，当时，恒成立，满足题意.综上所述，整数的取值为，故C错误；对于D，当时，的解集为，易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去.当时，的解集为，若该解集中恰有两个整数解，则，解得.综上，实数的取值范围是，故D正确故选：ABD第II卷非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为________．【答案】【解析】【分析】根据偶次根式的被开方数大于等于0及分母不等于0，建立不等式组，解不等式组即可得解.【详解】由题意可得，解不等式组得且所以函数的定义域为，故答案为：13.________．【答案】13【解析】【分析】由指数和对数的运算性质，结合换底公式即可求得结果.【详解】原式故答案为：1314.设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则________，集合中所有元素之积为________【答案】①.②.##【解析】【分析】代入计算求出函数值；分段求出函数的值域，进而求出集合中所有元素之积.【详解】函数，则；，因此函数的周期为，则，当时，；当时，，；当时，；当时，，；当时，，；当时，，，因此，，所以集合中所有元素之积.故答案为：；【点睛】关键点点睛：分段讨论求出函数的值域是求得第2空答案的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设全集，集合，集合．（1）当时，求；（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A，代入，得到集合B根据补集与交集的运算，可得答案；（2）根据必要不充分条件的集合表示，建立不等式组，可得答案.【小问1详解】解一元二次不等式，得或，所以或，所以当时，所以【小问2详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以，又因为所以或解不等式组得综上所述，实数的取值范围为16.已知函数的最小正周期为，且．（1）求函数的解析式及其单调递减区间；（2）求在上的最大值与最小值．【答案】（1），；（2）最大值与最小值分别为.【解析】【分析】（1）利用给定条件，求出即得的解析式，再利用正弦函数单调性求出递减区间.（2）求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出最值.【小问1详解】由函数的最小正周期为，得，解得，由，得，解得，所以函数的解析式为；由，得，所以函数的单调递减区间是.【小问2详解】当时，，则当，即时，，当，即时，，所以函数在上的最大值与最小值分别为.17.某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养皿中放入了一定数量的细菌，经过1小时细菌的数量变为12个，再经过2小时细菌的数量变为27个，并发现该细菌的个数增长的速度越来越快．现该细菌数量（单位：个）与经过时间（，单位：小时）的关系有以下两个函数模型可供选择：①；②．（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍．（参考数据：，）【答案】（1）（2）开始时放入的细菌的数量为8个，至少经过29个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍.【解析】【分析】（1）根据函数的增长速度比较即可得模型，代入数值即可待定出参数；（2）由题意列出指数不等式，根据对数函数单调性以及对数的运算性质即可求解.【小问1详解】由指数函数和幂函数函数图象可知：的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，依题意选函数更适合，则有，解得，即.【小问2详解】令，则，即开始时放入的细菌的数量为8个，令，∴，∵，∴至少经过29个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍.18.设函数．（1）判断的奇偶性并予以证明；（2）设，经研究，此时有，证明：；（3）设，且，若，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）函数是奇函数，再利用奇函数定义推理即得.（2）根据给定条件，利用对数的运算性质化简即可得证.（3）探讨函数的单调性，结合（1）（2）的结论，求出在上的最大值与最小值的差即可得解.【小问1详解】函数是奇函数.函数中，由，得，，，所以函数是奇函数.【小问2详解】当时，，因此，，所以.【小问3详解】由，得，又，由（1）（2）得，函数，函数在上单调递减，函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，当时，，由，，得，所以实数的取值范围是.19.设是定义在上的函数，若存在正实数，使得对任意的，都有成立，则称函数具有性质．（1）判断函数，是否具有性质，并说明理由．（2）是否存在正实数，使得函数具有性质？若存在，求出的取值集合；若不存在，说明理由．（3）若函数同时满足下列条件，求所有可能的非空数集：①具有性质；②，都有．【答案】（1）函数，具有性质，理由见解析（2）当时，函数具有性质，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）根据函数具有性质的定义判断即可；（2）根据余弦函数的周期性，即可求出的取值集合.（3）采用数形结合的思想，进行分类讨论分析即可得出结论.【小问1详解】当时，；当时，，即，所以，即；所以函数，具有性质；【小问2详解】当时，函数具有性质，理由如下：由函数周期性可知，当时，，即恒成立，所以函数具有性质.【小问3详解】当时，与的草图如下图所示：