第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题（五大题型）（原卷版）

第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：坐标法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：极化恒等式【知识点梳理】知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：1、定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论2、坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3、基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论4、几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果知识点二．极化恒等式1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：（1）（2）（2）两式相加得：2、极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式（1）平行四边形模式：几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．（2）三角形模式：（M为BD的中点）AABCM知识点三．在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值．要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．【典例例题】题型一：定义法【例1】（2023·广西·高一校联考阶段练习）已知点是的边上靠近点的三等分点，点是线段上一点（不包括端点），若，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【对点训练1】（2023·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期中）已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型二：坐标法【例2】（2023·江苏南通·高一校考期末）如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______.

【对点训练2】（2023·上海闵行·高一闵行中学校考期末）已知平面向量，其中，则的取值范围是__________.【对点训练3】（2023·北京通州·高一统考期中）在正方形中，，P为边的中点，Q为边的中点，M为边（包括端点）上的动点，则的取值范围是_________．【对点训练4】（2023·四川广元·高一广元中学校考期中）已知向量，，当取得最大值时，______．题型三：基底法【例3】（2023·福建三明·高一三明一中校考期中）已知以为圆心的单位圆上有两个定点、及两个动点、，且，则的最大值是（

）A． B． C． D．【对点训练5】（2023·全国·高一专题练习）已知的外心为，且满足，（其中，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．5题型四：几何意义法【例4】（2023·江苏南京·高一南京市第一中学校考期中）向量，，若与的夹角为，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．【对点训练6】（2023·高一课时练习）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（

）A． B．2 C． D．1题型五：极化恒等式【例5】（2023·浙江·高一校联考期中）已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【对点训练7】（2023·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中）已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【真题演练】1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2020·海南·统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·天津·统考高考真题）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．4．（2022·天津·统考高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________5．（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．6．（2020·天津·统考高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．7．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．8．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.9．（2020·浙江·统考高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．【过关测试】一、单选题1．（2023·北京·高一中关村中学校考期中）已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023·山东菏泽·高一统考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·北京大兴·高一统考期中）已知是边长为的等边三角形，是边上的动点，是边的中点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高一专题练习）若，是两个互相垂直的单位向量，且向量满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．以上答案均不对5．（2023·全国·高一专题练习）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2023·福建泉州·高一校联考阶段练习）若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2023·江苏·高一专题练习）已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·河北唐山·高一校联考期中）在正方形中，，点满足，则下列说法正确的是（

）A．当时，B．当时，C．存在，使得D．的最小值为210．（2023·江苏连云港·高一校考期中）如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则（

）

A．B．实数的值为C．D．若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为11．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）设非零向量，满足，则下列说法正确的有（

）A．与的夹角为 B．C．有最大值 D．12．（2023·福建南平·高一武夷山一中校考期中）圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统一，（其中相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，例如，如果交点为的两条相交直线与圆相交于与，则），如下图，已知圆的半径为3，点是圆内的定点，且，弦、均过点，则下列说法正确的是（

）

A．· B．·的取值范围是C．当AC⊥BD时，·为定值 D．AC⊥BD时，·的最大值为28三、填空题13．（2023·重庆·高一重庆一中校考期中）已知平面向量满足，则的最大值为__________.14．（2023·广西·高一校联考阶段练习）已知正方形的边长为2，为对角线的交点，动点在线段上，点关于点的对称点为点，则的最大值为______．15．（2023·上海徐汇·