第五章 一元函数的导数及其应用 小结教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用小结教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册主备人备课成员教材分析第五章“一元函数的导数及其应用”小结教学设计，针对2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册教材。本章节围绕导数的概念、求导法则及导数的应用展开，旨在帮助学生理解导数的本质，掌握求导技巧，并能运用导数解决实际问题，为后续学习函数性质打下基础。核心素养目标培养学生的逻辑推理能力，通过探究导数的定义和性质，提高学生运用数学语言表达和交流的能力。增强学生数学建模意识，学会从实际问题中提取数学模型，运用导数解决实际问题。提升学生的创新意识，鼓励学生通过独立思考和合作探究，发现和提出新的数学问题。教学难点与重点1.教学重点，

①理解导数的概念，掌握导数的定义和几何意义；

②掌握基本的求导法则，包括幂函数、指数函数、对数函数的求导；

③能够运用导数解决实际问题，如求函数的极值、最值等。

2.教学难点，

①理解导数的定义中的极限思想，将导数的定义与极限的概念联系起来；

②掌握复合函数的求导法则，特别是链式法则的应用；

③理解并运用导数解决实际问题，尤其是在实际问题中如何建立数学模型，如何选择合适的导数应用方法。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解导数的概念、性质和求导法则，帮助学生建立完整的知识体系。

2.讨论法：引导学生分组讨论求导过程中的难点问题，培养学生分析和解决问题的能力。

3.实验法：通过实际操作，让学生体验导数的物理意义，加深对导数概念的理解。

教学手段：

1.多媒体演示：利用PPT展示导数的几何意义和求导过程，直观形象地辅助教学。

2.互动软件：运用教学软件进行动态演示，让学生直观感受导数的变化趋势。

3.实物教具：使用几何模型等教具，帮助学生直观理解导数的几何意义。教学过程一、导入新课

同学们，我们上节课学习了函数的概念，了解了函数的性质。今天我们将继续探索函数的另一个重要特性——可导性。导数是研究函数变化率的重要工具，它可以帮助我们了解函数的增减性、凹凸性等。那么，什么是导数呢？它又是如何定义的呢？让我们一起走进今天的学习。

二、新课讲解

1.导数的概念

（1）引入：首先，我会通过提问的方式引导学生回顾函数的概念，然后提出问题：“如何描述函数在某一点的变化趋势？”通过这个问题，激发学生的思考。

（2）讲解：接下来，我会详细讲解导数的定义，包括导数的几何意义和极限思想。我会用几何图形和极限的定义来帮助学生理解导数的概念。

（3）举例：为了让学生更好地理解导数的概念，我会给出几个例子，让学生尝试求出函数在某一点的导数。

2.导数的求导法则

（1）讲解：我会逐一讲解幂函数、指数函数、对数函数的求导法则，并解释这些法则的推导过程。

（2）举例：为了让学生掌握求导法则，我会给出一些函数，让学生独立求出它们的导数。

3.复合函数的求导法则

（1）讲解：我会讲解复合函数的求导法则，即链式法则，并解释其应用场景。

（2）举例：我会给出一些复合函数的例子，让学生运用链式法则求出它们的导数。

三、课堂练习

1.我会布置一些课堂练习题，让学生巩固所学知识。这些练习题包括求导数的计算题和导数应用题。

2.学生在完成练习题的过程中，我会巡视教室，解答学生的疑问，并给予必要的指导。

四、课堂讨论

1.我会提出一些与导数相关的问题，引导学生进行讨论。例如：“如何判断函数在某一点是否存在导数？”、“导数在现实生活中有哪些应用？”等。

2.学生在讨论过程中，我会鼓励他们积极发言，分享自己的观点和见解。

3.我会针对学生的讨论结果进行总结，并强调重点和难点。

五、课堂小结

1.我会回顾本节课所学的知识点，包括导数的概念、求导法则、复合函数的求导法则等。

2.我会强调本节课的重点和难点，并提醒学生在课后复习时注意这些内容。

3.我会布置课后作业，让学生巩固所学知识。

六、课后拓展

1.我会鼓励学生课后查阅相关资料，了解导数的更多应用。

2.我会推荐一些与导数相关的数学竞赛或活动，激发学生的学习兴趣。

3.我会提醒学生关注生活中的数学问题，尝试运用导数解决实际问题。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解导数的概念及其几何意义

学生在学习过程中，通过教师的讲解和自己的思考，能够理解导数的概念，明白导数是函数在某一点处变化率的度量。他们能够将导数的几何意义与切线斜率联系起来，理解导数在描述函数局部变化趋势中的作用。

2.掌握导数的求导法则

学生通过课堂练习和课后作业，能够熟练运用幂函数、指数函数、对数函数的求导法则进行求导。他们能够独立完成简单的求导题目，并在遇到复合函数时，正确运用链式法则进行求导。

3.应用导数解决实际问题

学生在学习导数的过程中，不仅学会了求导，更重要的是学会了如何将导数应用于实际问题。他们能够通过导数来判断函数的极值、最值，解决优化问题，如最大利润、最小成本等。

4.提高逻辑推理能力

导数的概念和求导过程需要学生运用极限的思想，这有助于提高学生的逻辑推理能力。学生在学习过程中，不断练习证明导数的定义，培养了严密的逻辑思维。

5.增强数学建模意识

6.提升创新能力

在学习导数的过程中，学生需要不断地探索和尝试，寻找新的解题方法。这种探索精神有助于培养学生的创新能力。他们能够从不同的角度思考问题，提出独特的解决方案。

7.增进合作与交流能力

在课堂讨论和小组合作中，学生需要与同学分享自己的观点，倾听他人的意见。这种互动过程有助于提高学生的合作与交流能力。他们学会了如何表达自己的观点，如何倾听和理解他人。

8.培养自主学习能力

学生在学习导数的过程中，需要不断地查阅资料、解决问题。这种自主学习的过程有助于培养学生的自主学习能力。他们学会了如何查找资料、如何独立思考，为将来的学习打下了坚实的基础。典型例题讲解1.例题一：求函数\(f(x)=x^3-3x+2\)在\(x=1\)处的导数。

解答：首先，根据导数的定义，我们有

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

将\(f(x)=x^3-3x+2\)代入上式，得到

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-3(x+h)+2-(x^3-3x+2)}{h}\]

展开并简化，得到

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-3x-3h+2-x^3+3x-2}{h}\]

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3-3h}{h}\]

\[f'(x)=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2-3)\]

由于\(h\to0\)，上式中的\(3xh\)和\(h^2\)都趋近于0，因此

\[f'(x)=3x^2-3\]

当\(x=1\)时，代入上式得到

\[f'(1)=3(1)^2-3=0\]

所以，函数\(f(x)=x^3-3x+2\)在\(x=1\)处的导数为0。

2.例题二：求函数\(g(x)=e^x\)的导数。

解答：由于\(e^x\)是指数函数，其导数仍然是\(e^x\)。因此，

\[g'(x)=e^x\]

3.例题三：求函数\(h(x)=\ln(x)\)的导数。

解答：根据对数函数的导数公式，我们有

\[h'(x)=\frac{1}{x}\]

4.例题四：求函数\(k(x)=\sin(x)\)的导数。

解答：根据三角函数的导数公式，我们有

\[k'(x)=\cos(x)\]

5.例题五：求函数\(m(x)=\cos(x)\)的导数。

解答：同样根据三角函数的导数公式，我们有

\[m'(x)=-\sin(x)\]板书设计1.导数概念

①导数的定义：函数在某一点的变化率

②导数的几何意义：函数图形在某一点的切线斜率

③导数的极限表达式：\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

2.求导法则

①幂函数求导法则：\[(x^n)'=nx^{n-1}\]

②指数函数求导法则：\[(a^x)'=a^x\ln(a)\]

③对数函数求导法则：\[(\ln(x))'=\frac{1}{x}\]

3.复合函数求导

①链式法则：\[(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdotg'(x)\]

②外函数求导：\[f'(g(x))\]

③内函数求导：\[g'(x)\]

4.常见函数的导数

①\(\sin(x)\)的导数：\[(\sin(x))'=\cos(x)\]

②\(\cos(x)\)的导数：\[(\cos(x))'=-\sin(x)\]

③\(e^x\)的导数：\[(e^x)'=e^x\]

④\(\ln(x)\)的导数：\[(\ln(x))'=\frac{1}{x}\]

5.导数的应用

①求函数的极值

②求函数的最值

③判断函数的增减性

④判断函数的凹凸性课堂1.课堂评价

1.1提问评价：在课堂上，我会通过提问的方式检验学生对导数概念和求导法则的理解程度。例如，我会问：“谁能解释一下导数的几何意义是什么？”或者“如何运用链式法则求复合函数的导数？”通过学生的回答，我可以评估他们对知识的掌握情况。

1.2观察评价：我会注意学生在课堂上的参与度，观察他们是否能够积极参与讨论，是否能够正确地完成求导练习。例如，我会观察学生在黑板上演示求导过程时的准确性，以及他们是否能够独立解决类似的问题。

1.3测试评价：在课程的中间和结束时，我会进行小测验，以评估学生对导数相关知识的掌握程度。这些测验可以是选择题、填空题或简答题，涵盖导数的定义、求导法则和导数的应用。

2.作业评价

2.1批改作业：我会认真批改学生的作业，确保每个学生的作业都得到及时的反馈。在批改过程中，我会注意学生的解题思路是否清晰，计算是否准确，以及他们是否能够正确运用所学知识解决实际问题。

2.2点评反馈：在作业批改后，我会对学生的作业进行点评，指出他们的优点和需要改进的地方。例如，如果学生在求导过程中犯了常见的错误，我会特别指出并解释正确的做法。

2.3及时反馈：我会确保作业的反馈在学生完成作业后的第二天进行，这样学生有足够的时间去理解和改正错误。同时，我也会鼓励学生在课堂上提问，以便他们能够及时解决作业中的疑惑。

3.学生自我评价

3.1自我反思：我会鼓励学生在课后