九年级数学上册课时精讲（全册）

学期衔接训练

一、选择题

1•计算:屈一的结果是（B）

A-一小B.小C.—y^/3D.^\/3

2•一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（D）

A-5B.巾C.y[5D.5或市

3-种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄

瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数和众数分

别是（C）

A-13.5-20B.

4.根据下表中一次函数的自变量之目图也5厘鱼5簟p的值为（A）

X-201

y3P0

A.lB.-1C.3D.-3

5•如图，在RtAMC中，/8=90。，/1B=3，BC=4，点力在8C上，以AC为对角线的所有MOCE

中，DE最小的值是（B）

A-2B.3C.4D.5

二、填空题

6.若整数x满足mW3，则使、斤三为整数的x的值是一2或3..（只需填一个）

7.若一组数据2，-1，0,2，一1，。的众数为2，则这组数据的平均数为—彳_.

8•如图，已知一条直线经过点4（。，2），仇1，0），将这条直线向左平移与x轴：y轴分别交于点C，

。若DB=DC，则直线CD的函数解析式为y=-2x—2.

三、解答题

9•如图，在平行四边形ABCD中，E为8c边上的一点，连接AE，BD，且AE=AB.

（1）求证：/ABE=NEAD；

（2）若NAEB=2NAO8，求证：四边形A8CC是菱形.

解：(1HF/4BE=NAEB=NE4D(2)'：AD//BC'：.ZADB=ZDBE-VZABE=ZAEB>NAEB

=2ZADB'：.ZABE=2ZADB：.ZABD=ZABE-ZDBE=2ZADB-ZADB=ZADB'：.AB=AD>

又•••四边形ABC。是平行四边形，.•.四边形ABCD是菱形

10•某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，），（元）表示车费，请根据图象回答下面的

问题：

(1)出租车的起步价是多少元？当x>3时，求y关于x的函数关系式;

(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程.

解：(1)由图象得：出租车的起步价是8元；设当x>3时，y与x的函数关系式为，由函

数图象，得

I[8=3kf-bb，解得

[k=2，

故y与尤的函数关系式为y=2x+2

6=2，

⑵当y=32时，32=2x+2，x=15，则这位乘客乘车的里程是15km

第二十一章(这是单页眉，请据需要手工删加)

弟二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

碰L.预习一导学_____

1•只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为」_的整式方程叫做一元二次方程.

2•一元二次方程的一般形式为加+/+。=0(4#0).

3•使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的_M一，也叫做一元二次方

程的—根—.

❸―遽内精桀_____

知识点1:一元二次方程的概念

1•下列方程是一元二次方程的是(D)

A-ax2+bx+c=0B.3x?—2x=3(x?—2)

C-X3-2X-4=0D.(X-1)2-1=0

2•关于x的一元二次方程(a—3)x?+x+a2—9=0，其中a的取值范围为(C)

A-a>3B.a23

C-aW3D.a<3

3•已知关于x的方程(i^-4)x2+(m-2)x+3m=0，当mW±2时，它是一元二次方程；当m_

=—2时，它是一元一次方程.

知识点2：一元二次方程的一般形式

4•方程3X2=5X-1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是(B)

A•3，5，一1B.3'-5-1

C-3>-5>-10.3，5，1

5•将一元二次方程2y2—1=小丫化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

解：一般形式为2y2—小y—1=0，其中二次项系数是2，一次项系数是一小，常数项是一1

知识点3:一元二次方程的解(根)

6•下列关于x的方程中，一定有实数根―1的是(C)

A-X2—x+2=0B.x2+x—2=0

C-X2-X-2=0D.X2+1=0

7•(2014•长沙)已知关于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一个根是1，则k=2.

知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系

8•用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根

据题意可列出关于x的方程为(8)

A-x(5+x)=6B.x(5—x)=6

C-x(10-x)=6D.x(10-2x)=6

9•根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式.

(1)正方体的表面积为54，求正方体的边长x；

解：6x2=54，一般形式为6x2-54=0

(2)x个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮

球队数X.

解：/(x—1)=30,一般形式为30=0

包普晅达顿=___

10•下列是方程3X2+5X-2=0的解的是(C)

A-x=—1B.x=l

C,x=-2D.x=2

11•已知实数a，b满足a2-3a+l-0，b2-3b+l=0，则关于一元二次方程x?—3x+l=0的根的

说法中正确的是(O)

A•x=a，x=b都不是该方程的解

B-x=a是该方程的解，x=b不是该方程的解

C•x=b是该方程的解，x=a不是该方程的解

D•x=a，x=b都是该方程的解

12•若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a#0)的一个解是x=l，则2015-a-b的值是(A)

A-2020B.2010

C-2016D.2014

13•若方程(m—2)x?+Miix=1是关于x的一元二次方程)则m的取值范围是m^O且mW2.

14•小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一边长x厘

米，则另一边长(17—x)厘米,列方程得X2+(17—X)2=132.

15•如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形

全等.设小矩形的长为x，则可列出的方程为x(2x—8)=24.

16■分别根据下列条件，写出一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的一般形式.

(l)a=5，b=—4，c=­1；

(2)二次项系数为3，一次项系数为一7，常数项为2.

解：(1)5X2-4X-1=0

(2)3X2-7X+2=0

17•根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式.

(1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样共有756条消

息；

(2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数.

解：(l)x(x-1)=756>X2-X-756=0

(2)设这两个连续奇数分别为n，n+2，则n2+(n+2)2=130>2n2+4n-126=0

18•关于x的方程但一3出间7+*—5=0是一元二次方程，求a的值.

|a|-l=2，

解：由定义可得解得a=-3

a—3W0，

土豆捶命战

19•已知k是方程x2—101x+l=0的一个不为0的根，不解方程，你能求出k2—100k+号■的值

吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由.（用方程根的定义解答）

解：Vk2-10Ik+l=0'.>.k2-100k=k-l'k2+l=101k，原式=k-l+[=^^—l=^S-l=

KKK

100

，师克课堂

21-2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1课时直接开平方法

砸LJi习导肯____

1-若x2=a(a20)，则x就叫做a的平方根，记为x=地(a20)，由平方根的意义降次来解一

元二次方程的方法叫做直接开平方法.

2•直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为_两个一元一次方程一.

3•如果方程能化为x2=p(p20)或(mx+rO'pe—O)的形式，那么x=±\后或mx+n—+\/p

金=课内遁练=___

知识点1：可化为x2=p(p20)型方程的解法

1•方程x2—16=0的根为(C)

A-x=4B.x=16

C-x=±4D.x=±8

2•方程x2+m=0有实数根的条件是(D)

A-m>0B.m》0

C-m<0D.m<0

3•方程5y2—3=y2+3的实数根的个数是(C)

A•0个B.1个

C•2个D.3个

4•若4x2—8=0成立，则x的值是±\履.

5•解下列方程：

(1)3x2=27；

解：X|=3，X2=-3

(2)2X2+4=12；

解：X|=2'x2=—2

(3)5X2+8=3.

解：没有实数根

知识点2：形如(mx+n)2=p(p20)的解法

6•一元二次方程(x+6『=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则

另一个一元一次方程是(D)

A-x-6=-4B.x—6=4

C-x+6=4D.x+6=—4

7•若关于X的方程(x+1)2=1-k没有实数根，则k的取值范围是(O)

A-k<lB.k<-l

C•k》lD.k>l

8•一元二次方程(x—3尸=8的解为x=3±2七.

9•解下列方程：

(1)(X-3)2-9=0；

解：X[=6»X2=0

(2)2(X-2)2-6=0：

解：xi=2+小，X2=2一小

(3)X2-2X+1=2.

解：X|=l+6，X2=l一娘

包普晅达顿=___

10♦(2014•白银)一元二次方程(a+l*—ax+a2-l=0的一个根为0，则a=l.

11•若W的值为0，则X=2.

12•由x?=y2得x=±y，利用它解方程(3x-4)?=(4x—3尸，其根为x=±l.

13•在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2-根据这个规则，方程(x+2)*5=0的根

为Xi=3，X2=-7..

14•下列方程中，不能用直接开平方法求解的是(C)

A-X2-3=OB.(X-1)2-4=0

C-X2+2X=0D.(X-1)2=(2X+1)2

15・(2014•枣庄)X］，X2是一元二次方程3(XT)2=15的两个解，且X|<X2，下列说法正确的是(A)

A。X|小于一1，X2大于3

B•X|小于一2>X2大于3

C•X］，X2在—1和3之间

D-X|)X2都小于3

16•若“+y2—39=16，则x?+y2的值为(A)

4•7B.7或一1

C--1D.19

17•解下列方程：

⑴3(2x+1)2-27=0；

解：X|=l，X2=—2

⑵(x—圾(x+的=10；

解：xi=2小，X2=-2小

(3)X2-4X+4=(3-2X)2；

解：Xi=l，X2=j

(4)4(2X-1)2=9(2X+1)2.

解：X|=一|，X2=-1

18•若2(x?+3)的值与3(1—x?)的值互为相反数，求”的值.

x-3,7x3

解：由题意得2a2+3)+3(1—*2)=0，；以=±3.当*=3时，k一=亨当x=-3时，y=0

5旦捶船战

19•如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.

⑴用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；

(2)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.

解：⑴ab—4x?(2)依题意有ab—4x?=4x?，将a=6，b=4代入，得x?=3，解得Xi=，§，X2=一小

(舍去)，即正方形的边长为小

第2课时配方法

购-fit习一导裳____

1•通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.

2•配方法的一般步骤：

(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；

(2)配方:方程两边同时加上一次项系数的一半的平方使左边配成一个完全平方式，写成(mx

+n『=p的形式:

(3)若P，0，则可直接开平方求出方程的解；若D<0，则方程无解.

金=课内遁练=

知识点1：配方

1•下列二次三项式是完全平方式的是(2)

A-X2-8X-16B.X2+8X+16

C•x2-4x_16D.x2+4x+16

2■若x2-6x+m2是一个完全平方式，则m的值是(C)

A•3B.—3

C-±3D.以上都不对

3・用适当的数填空：

X2—4x+4-(x—2)2：

93

m2±3m+(m_±2—)2-

知识点2:用配方法解x4px+q=0型的方程

4•用配方法解一元二次方程X2-4X=5时，此方程可变形为(D)

A・(X+2)2=1B.(X—2尸=1

C•(x+2/=9D.(X-2)2=9

5•下列配方有错误的是(。)

A•x?-2x—3=0化为(x-1尸=4

B-X2+6X+8=0化为(X+3)2=1

C-X2-4X-1=0化为(x—2)2=5

D•x2-2x-124=0化为(x—1尸=124

6•(2014•宁夏)一元二次方程X2-2X-1=0的解是(C)

A・X]=x2=l

B・X|=l+y/2，X2=-1~y[2

j

C•X]=l+啦x2=l—小

D-xi=-1+A/2，X2=-1—也

7•解下列方程：

(1)X2-4X+2=0；

解：Xj=2+^2»X2=2—

(2)X2+6X-5=0.

解：xj=—3+A/14，X2=-3一般5

知识点3：用配方法解ax2+bx+c=0(aW0)型的方程

ia70

8-解方程3X2-9X+1=0，两边都除以3得X2—3X+：=Q，配方后得以一3『二信

9•方程3x?—4x—2=0配方后正确的是(力)

A-(3X-2)2=6B.3(X-2)2=7

C-3(x-6尸=7D.3(x-,)2=学

10•解下列方程:

(1)3X2-5X=-2；

2

解：X1=1-X2=l

(2)2X2+3X=-1.

解：xi=-1'K2——2

⑥…遇时这顿

11,对于任意实数x，多项式X2—4x+5的值一定是(B

A■非负数B.正数

C•负数D.无法确定

12•方程3x2+也x=6，左边配方得到的方程是(B)

2

A.ZX_L2^\—Dzxi2_37

A(X十6)—18B.(x十6)—18

C.(x+*)2=||R(x+*K=6表

13•己知方程x2-6x+q=0可以配方成(x—p1=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的

(B)

A■(x-p)2=5B.(x-p)2=9

C-(x-p+2)2=9D.(x-p+2)2=5

14-已知三角形一边长为12，另两边长是方程X2-18X+65=0的两个实数根，那么其另两边长分

别为5和13，这个三角形的面积为30.

15•当x=2El寸，式子200—仪一2)2有最大值，最大值为200:当丫=-1.时，式子

y2+2y+5有最小值为4.

16•用配方法解方程：

(1京=2—1x；

解：X1=T，x2=—2

(2)3y2+l=2V3y.

解:丫1=丫2=坐

17•把方程x2-3x+p=0配方得到(x+m)2=g，求常数m与p的值.

第37

解：m=—2，p=4

18•试证明关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+l=0，无论a为何值，该方程都是一元二次方程.

解：:a?—8a+20=(a—4尸+4W0，.,.无论a取何值，该方程都是一元二次方程

19•选取二次三项式ax2+bx+c(a#0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方.例如：①选取

二次项和一次项配方：x?-4x+2=(x-2)2—2;②选取二次项和常数项配方：x2-4x+2=(x-也尸+(2小

-4)x，或x?-4x+2=(x+6)2—(4+2吸)x;③选取一次项和常数项配方：X2-4X+2=(A/2X—\/2)2-x2.

根据上述材料，解决下列问题：

(1)写出X2-8X+4的两种不同形式的配方；

(2)已知x2+y2+xy—3y+3=0'求x，的值.

解：(l)x?—8x+4=x?—8x+16-16+4=(x—4)2—12；x2—8x+4=(x—2)2+4x—8x=(x—2)2—4x

(2)x2+y2+xy—3y+3=0?(x2+xy+^y2)+(^y2—3y+3)=0j(x+^y)2+^(y—2)2=0,又•.,(x+4)220'

永y-2尸/0»Ax+^y=O*y—2=0»Ax=—1，y=2，则xy=(—1)2=1

21•2.2公式法

血…预习一导裳_____

1•一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)»当b?—•《ac》。时，x=-»这个式子叫做

za

一■元二次方程ax2+bx+c=O的一求根公式.

2•式子b2—4ac叫做一元二次方程ax?+bx+c=0根的判别式，常用△表示，A>0<^ax2+bx

+c=0(aW0)有—有两个不等的实数根；A=0<=>ax2+bx+c=0(aWO)有_两个相等的实数根：A

V0U>ax2+bx+c=0(a#0)没有实数根.

课内精练=___

知识点1:根的判别式

1■下列关于x的方程有实数根的是(C)

A-X2—x+1=0B.x2+x+1=0

C-(x-l)(x+2)=0D.(x-l)2+l=0

2•(2014•兰州)一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是

(B)

A■b2—4ac=0B.b2—4ac>0

C,b2—4ac<0D.b?—4ac20

3-一元二次方程X2-4X+5=0的根的情况是(D)

A•有两个不相等的实数根

B•有两个相等的实数根

C-只有一个实数根

D■没有实数根

4•利用判别式判断下列方程的根的情况：

(1)9X2-6X+1=0；

解：：a=9，b=-6，c=l，,4=(一6尸一4X9X1=O，，此方程有两个相等的实数根

(2)8X2+4X=-3；

解：化为一般形式为8X2+4X+3=0，Va=8，b=4，c=3，二A=42-4X8X3=-80<0，，此方

程没有实数根

(3)2(X2-1)+5X=0.

解：化为一般形式为2x2+5x—2=0，；a=2，b=5，c=—2，△=52—4X2X(-2)=41>0，；.

此方程有两个不相等的实数根

知识点2：用公式法解一元二次方程

5•方程5x=2x2—3中，a=2，b=—5，c=­3，b2—4ac=49.

6•一元二次方程x?—x-6=0中1b2—4ac=25，可得Xi=3，x,=-2.

7•方程x2-x—l=0的一个根是(B)

A-1~y[5B，J

C--1+y[5£>.—?巾

8•用公式法解下列方程：

(1)X2-3X-2=0；

解：X尸¥，X2=Y

(2)8X2-8X+1=0；

繇2+-2f

解：X]=―广'X2=-4

(3)2X2-2X=5.

解：X尸呼，X2=^4叵

包建时达赫=___

9•(2014•广东)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范

围为(B)

99

A♦m>aB.m<4

99

C•m=aD.mV-z

10•若关于x的一元二次方程1«2-2*—1=0有实数根，则实数k的取值范围是(C)

A-k>-lB.k<l且kWO

C-k》一1且kWO£>.k>-l且k70

11•已知关于x的一元二次方程x?+bx+b—1=0有两个相等的实数根，则b的值是」_.

12•关于x的方程匕+1*—4*-1=0有实数根，则a满足的条件是aN—5.

13-用公式法解下列方程：

(l)x(2x-4)=5-8x；

切-2+y/T^~~2~\/Tj

解：X|=---丁一，x2=----丁一

(2)(3y-l)(y+2)=lly-4.

m3+—3f

解：yi=-3，丫2=~3

x+1<3x-3»

14•当x满足条件hI时，求出方程x2-2x-4=0的根.

2(X—4)(X—4)

解：解不等式组得2<x<4，解方程得X]=1+小，X2=1—小,/.x=1+小

15•(2014•梅州)已知关于x的方程x?+ax+a—2=0.

(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

解：(l)a=g，另一个根为x=-±

(2)：A=a2—4(a—2)=(a—2尸+4>0,...无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根

16•关于x的一元二次方程(a—6)x2—8x+9=0有实数根.

(1)求a的最大整数值；

(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根.

解：(I)：•关于x的一元二次方程(a-61—8x+9=0有实根，.,一6#0-A=(-8)2-4X(a-6)X9

20，解得aW竿且aW6，Aa的最大整数值为7(2)当a=7时，原一元二次方程变为x2-8x+9=0.Va

2

=1，b=-8，c=9，，A=(-8)-4X1X9=28，Ax="^^=4^77，即x1=4+巾，x2=4

一小

范松战

17•(2014•株洲)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a，b，c分别为4ABC

三边的长.

(1)如果x=-l是方程的根，试判断AABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断4ABC的形状，并说明理由；

(3)如果4ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

解：(l)AABC是等腰三角形.理由：,.•x=-1是方程的根，.,.(a+c)X(—19一2b+(a—c)=0，

a+c-2b+a-c=0>Aa-b=0，；.a=b-AAABC是等腰三角形(2)..•方程有两个相等的实数根，,

(2b)2-4(a+c)(a-c)=0>>\4b2-4a2+4c2=0'.'.a2=b2+c2'/.AABC是直角三角形(3)当a=b=c

21

时，可整理为2ax+2ax=0，二x2+x=0，解得X|-0x2=-1

21-2.3因式分解法

预且一导裳=___

1•当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化

为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫

做一因式分解一法.

2.解一元二次方程，首先看能否用直接开平方法：再看能否用、因式分解法.；否则就用

.公式法.；若二次项系数为1-一次项系数为偶数可先用配方法..

金=瑞内精练=……

知识点1:用因式分解法解一元三次方程

1•方程(x+2)(x—3)=0的解是(C)

A-x=2B.x=-3

C•X|=­2，X2=3D.X]=2，X2=-3

2•一元二次方程x(x—5)=5—x的根是(D)

4•一1B,5

C•1和5D.一1和5

3•(2014•永州)方程x?-2x=0的解为xi=0，X2=2..

4•方程X2—2x+1=0的根是_X[=x?=1.

5•用因式分解法解下列方程：

⑴乂2—4=0；

解：X|=2，x2=—2

(2*-2小x=0；

解：X|=0，X2=2小

(3)(3-x)2—9=0；

解：X]=0,X2=6

(4)X2-4X+4=(3-2X)2.

解：X|=l，X2=,

知识点2：用适当的方法解一元二次方程

6•解方程(x+1)?—5(x+1)+6=0时,我们可以将x+1看成一>"b整体,设x+1=y»则原方程可化

为『一5y+6=0，解得yi—2，y?=3.当y—2时，即x+1=2，解得x=1；当y=3时，即x+1=3，解

得x=2，所以原方程的解为xi=l，X2=2.利用这种方法求方程(2x-l)2—4(2x-l)+3=0的解为(C)

A-X|=1，X2=3B.xi=-1>x2=-3

C-X|=1，X2=2D.X1=O，X2=-1

7•用适当的方法解方程：

(1)2(X-1)2=12.5；

解：用直接开平方法解，X|=3.5，X2=-1.5

(2)x2+2x-168=0；

解：用配方法解，X|=12，X2=-14

(3)A/2X2=2X；

解：用因式分解法解，X|=0，X2=P

(4)4x2—3x—2=0.

解：用公式法解，*|=土毁3-^/41

，X2=g

包普晅达赫二……

8•方程x(x—l)=-x+l的解为(。)

A•x=1B,x=-1

C-Xj=O»x=_1D.X]=l，X2=­l

9•用因式分2褴法解方程，下列方法中正确的是(4)

4•(2x+2)(3x+4)=0化为2x+2=0或3x+4=0

B■(x-3)(x+l)=l化为x—3=1或x+l=l

C♦(x-2)(x-3)=2X3化为x-2=2或x—3=3

D-x(x—2)=0化为x—2=0

10•一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x―2)(x—4)=0的根，则这个三角形

的周长是(C)

A-118.11或13

C-13D.以上都不对

11•(2014•陕西)若x=-2是关于x的一元二次方程X2—|ax+a2=0的一个根，则a的值是(B)

A•1或4B.-1或一4

C•一1或4D.1或一4

12•已知x=l是关于X的方程(1—k)x2+k2x—1=0的根，则常数k的值为0或1.

13•已知(X2+2X—3)°=X2-3X+3，则x=2.

14•用因式分解法解下列方程：

(l)x2—3x=x—4；

解：X|=X2=2

(2)(X-3)2=3(X-3).

解：xi=3，X2=6

15・用适当的方法解下列方程:

(1)4(X-1)2=2；

豺也+2一地+2

解：X1=2-，X2=-2-----

(2)x2—6x+4=0；

解：X]=3+小，X2=3一小

(3)x2—4=3x—6；

解:X]=l»X2=2

(4)(X+5)2+X2=25.

解：xi=—5,x2=0

16•一跳水运动员从10加高台上跳下，他离水面的高度h(单位：〃。与所用时间t(单位：s)的关系是

h=-5(t—2)(t+l)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？

解：依题意，得一5(t—2)(t+l)=0，解得t]=T(不合题意，舍去)，t2=2，故运动员从起跳到入水

所用的时间为2s

旦J也辨战

17•先阅读下列材料，然后解决后面的问题：

材料•：因为二次三项式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)»所以方程x2+(a+b)x+ab=0可以这样解：

=­

V(x+a)(x+b)=0，.•.x+a=0或x+b=0»/.xi=-a»x2b.

问题：

(1)用因式分解法解方程x2—kx—16=0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为——15，一6，0，

6，15―；

幺师微课堂

(2)已知实数X满足(X?-x)2—4(X?—X)—12=0,则代数式x?—x+l的值为7

专题训练(一)一元二次方程的解法及配方法的应用

一、一元二次方程的解法

1•用直接开平方法解方程：

⑴(4X—1)2=225；

7

解：X|=4，\2—~2

(2)|(x-2尸=8；

解：X[=2+2&，X2=2-2加

(3)9x2—6x+l=9；

42

解：X|=g，X2=_g

(4)3(2x+l)2—2=0.

2•用配方法解方程：

(l)2t2-3t=-l；

解：t|=5，t2=l

(2)2X2+5X-1=O；

—5-

解：X|=4，X2=4

(3)(2x-l)(3x-1)=3-6x；

解：X]=2，X2=一

(4)(2x-l)2=x(3x+2)—7.

解：X|=4'X2=2

3•用公式法解方程：

(1)X2=6X+1;

解：xi=3+®，X2=3-®

(2)0.2X2-0.1=0.4X；

解：x尸苧，&=掾

⑶&X-2=2X2.

解：原方程无实数根

4•用因式分解法解方程:

(1)(X-1)2-2(X-1)=0：

解：X|=3，X2=I

(2)5x(x—3)=(x—3)(x+l)；

解：X|=3'x2=4

(3)(x+2)2—10(x+2)+25=0.

解：X1=X2=3

5•用适当的方法解方程:

⑴2(X-3)2=X2—9；

解：X|=3，X2=9

(2)(2x+l)(4x.2)=(2x—1尸+2；

解：x尸若巫，中匚乎

(3)(x+l)(x-l)+2(x+3)=8.

解：X|=l,X2=-3

二、配方法的应用

(一)最大(小)值

6•利用配方法证明：无论X取何实数值，代数式一x2-x—1的值总是负数，并求出它的最大值.

1o1]31

解：一X?—X—1=—(x+]产一“:一(x+万尸W0，，一(x+])2—W<0'故结论成立.当X=-2时»

—X2—X—1有最大值一1

7,对关于x的二次三项式X2+4X+9进行配方得x2+4x+9=(x+m)2+n.

⑴求m»n的值;

(2)求x为何值时，x?+4x+9有最小值，并求出最小值为多少？

解：(l)Vx2+4x+9=(x+m)2+n=x2+2mx+m2+n>.*.2m=4，m2+n=9，；.m=2，n=5

(2)Vm=2，n=5，，X2+4X+9=(X+2)2+5，，当x=-2时，有最小值是5

(二)非负数的和为0

8•己知a2+b2+4a-2b+5=0，求3a2+5b2-5的值.

解：Va2+b2+4a-2b+5=0-.,.(a2+4a+4)+(b2-2b+1)=0，即(a+2y+(b—1猿=0，，a=-2，

b=l./.3a2+5b2-4=3X(-2)2+5Xl2-5=12

9•若a，b，c是AABC的三边长且满足a2—6a+b2—8b+^c—5+25=0，请根据已知条件判断其

形状.

解：等式变形为a?—6a+9+b2—8b+16+#—5=0，即(a—3)?+(b—5=0，由非负性得

(a-3)2=0-(b-4)2=0，-\ZcZ5=0，，a=3，b=4，c=5.V32+42=52，即a2+b2=c2-.'.△ABC为直

角三角形

21-2.4一元二次方程的根与系数的关系

鲍…预习一导裳_____

1•若一元二次方程x2+px+q=O的两个根分别为X］，X2，则xi+x?=p，XiX?=q

2•若一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的两个根分别为X］，X2，则xi+x2=-_火遇2=_勺一

3•一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即X+bx+cV

(2)二次方程，即a#0:(3)有根，即b2-4ac》0.

色=课内睛维____

知识点1:利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值

1•已知X］，X2是一元二次方程X?+2x—1=0的两根，则Xi+X2的值是(C)

A•0B.2C.-2D.4

2・(2014•昆明)已知Xj»X2是一元二次方程X2—4x+l=0的两个实数根，则乂凶等于(C)

A・一4B.-1C.1D.4

3•已知方程x2—6x+2=0的两个解分别为X1，X2，则X1+X2—X1X2的值为(。)

A・一8B.-4C.8D.4

4•已知X］，X2是方程x?—3x—4=0的两个实数根，则(xi—2)(x)-2)=.一6.

5­不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：

(1)X2+3X+1=0；

解：X［+X2=-3，XjX2=l

(2)2X2-4X-1=0；

解：Xi+X2=2，X1X2=—1

(3)2X2+3=5X2+X.

解：Xi+x2=-1»X1X2=-1

6•已知X］，X2是一元二次方程x2—3x-l=o的两根,不解方程求下列各式的值:

⑴X/+X2?；(2)(+七

解：(1)XI2+X22=(XI+X2)2--2X]•X2=11

吗+9需3

知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值

7•已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的两根互为相反数，则(B)

A-b>0B.b=0C.b<0D.c=0

8•已知一元二次方程X2-6X+C=0有一个根为2，贝IJ另一根和c分别为(C)

A•1，2B.2，4C.4，8D.8-16

9若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为十=一2必=4，则b+c的值是(4)

4--10B.10C.-6D.-1

10•(2014•烟台)关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是(。)

A•—1或5B.1C.5D.-1

11•若关于X的一元二次方程x2—4x+k—3=0的两个实数根为X|，X2，且满足X|=3X2，试求出方

程的两个实数根及k的值.

fxi+x2=4①，jxi=3，

解：由根与系数的关系得V又：XI=3X2③，联立①③，解方程组得<，k=X］X2

1

［XiX2=k-3②，lx2=l

+3=3Xl+3=6

包普晅达赫=___

12•己知一元二次方程X2-2X+2=0，则下列说法正确的是(D)

A-两根之和为2B.两根之积为2

C•两根的平方和为0D.没有实数根

13•已知a，B满足a+B=6，且a0=8，则以a，B为两根的一元二次方程是(B)

A-X2+6X+8=0B.X2—6X+8=0

C-X2-6X-8=0D.X2+6X-8=0

14•设Xi，X2是方程x2+3x-3=o的两个实数根，则孑+孑的值为(B)

XiX2

A-5B,-5C.1D.-1

15■方程x2—(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1X2-则m的值是(C)

4•一2或3B.3

C--2D.-3或2

16•(2014•呼和浩特)已知m1n是方程x?+2x—5=0的两个实数根，则m2—mn+3m+n—8

17•在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为一8，-1；乙看错了常数项，得出

的两个根为8-1'则这个方程为X?—9x+8=0.

18•己知X1，X2是一元二次方程x2-4x+l=0的两个实数根，求(X1+X2)2+(J+J)的值.

X]X2

解：由根与系数的关系得X|+X2=4'XiX=l»/.(X)+X2)2-^(7_+7_)=X