押广东卷第10题 函数与动态几何 规律和最值问题-2023年中考数学临考题号押题（解析版）

押广东卷第10题

函数与动态几何规律和最值问题

押题探究

广东中考对几何、函数综合知识的考查要求较高，均是在选择题第10题压轴出现，一般难度较大，要

求考生熟练掌握与几何，函数有关的知识.2022年考察了函数的变量问题,2021年考察了二次函数的性质，

圆的相关知识等求最值；2020年针对二次函数的图形性质考查；

根据现在命题的趋势，大概率是以二次函数的参数问题，动点问题为主要考察，但是不排除隐圆问题为代

表的最值问题，需要加强这方面的训练。

解题秘籍

必备知识

1.抛物线y=ax2+bx+c的图象与字母系数a,b,c之间的关系：

(l)a开口向上

(2)b左同右异

(3)c抛物线与y轴的交点位置

(4)a+b+c系列，当x=l时，v=ax2+bx+c=a+b+c的位置；

⑸判断a与b的关系，看对称输；

(6)b2-4ac>0看抛物线与x轴交点个数；

(7)判断a与c,b与c,先搭建一个有关a、b、c的平台，再利用对称轴找到a与b的关系，替换掉不需

要的字母，即出现目标。

(8)遇到新的参数比如：7”(。机+3<。+双加。1),关注最值就行。

2.阿氏圆

模型建立；已知平面上两点A、B,则所有符合ra=«&>o且AWD的点尸会组成一个圆.这个结论最

PB

先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

模型解读：

如图1所示，。。的半径为r,点A、8都在。0外，P为。。上的动点，已知r=k-OB.连接PA.

PB,则当“H1+QP3”的值最小时，P点的位置如何确定？

1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接。尸、0B；

2：计算连接线段OP、05长度；

3：计算两线段长度的比值黑=内

4：在。8上截取一点C,使得器=黑构建母子型相似：

UrUD

5：连接AC,与圆0交点为P,即AC线段长为E1+K*P8的最小值.

本题的关键在于如何确定”・PB”的大小，（如图2）在线段。8上截取OC使0C=hr,则可说明△5P0与

△PC0相似，即k-PB=PC.

本题求““+A・PB”的最小值转化为求“总+P。的最小值，即4、P、C三点共线时最小（如图3）,时

AC线段长即所求最小值.

3：胡不归问题

“PA+k•PB”型的最值问题，当k=l时通常为轴对称之最短路径问题，而当k>0时，若以常规的轴对称

的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路.

1.当点P在直线上

如图，直线BM,BN交于点B,P为BM上的动点，点A在射线BM,BN同侧，已知sinNMBN=k.

过点A作AC_LBN于点C,交BM于点P,此时PA+k•PB取最小值，最小值即为AC的长.

证明如图，在BM上任取一点Q,连结AQ,作QDJ_BN于点D.

由sinNMBN=k,可得QD=k•QB.

所以QA+k•QB=QA+QD^AC,即得证.

2.当点P在圆上

如图，。。的半径为r,点A,B都在。0外，P为。0上的动点，已知r=k・OB.

在0B上取一点C,使得0C=k«r,连结AC交。0于点P,此时PA+k・PB取最小值，最小值即为AC的长.

证明如图，在。0上任取一点Q,连结AQ,BQ,连结CQ,0Q.

则0C=k•OQ,0Q=k•OB.

而NC0Q=NQ0B,所以△COQS^QOB,

所以QC=k-QB.

所以QA+k•QB=QA+QC》AC,即得证.

解题技巧

纵观近几年的中考考试题，主要考查以下两个方面：一是动点函数图形与几何结合求多解问题，二是

几何函数结合求点的坐标，解析式等，三是图形动点求最值情况。

真题回顾

1.（2021•广东・统考中考真题）设。为坐标原点，点A、8为抛物线y=Y上的两个动点，且。4,03.连

接点A、B,过。作于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A.1B.也C.BD.1

222

【答案】A

【分析】设A（a,洲，B（6,庐）,求出AB的解析式为y=（a-，）x+l,进而得到OZ）=1,由/OCB=90。可知，

a

C点在以0。的中点E为圆心，以/-:。。二:为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求

22

解.

【详解】解：如下图所示：过C点作），轴垂线，垂足为H,AB与x轴的交点为£）,

If

设A(a,a2),B(b,%,其中存o,厚0,

・・・0A_L08,

,•k°A•koR——1,

./这

••---;-----i,

ab

即ab=—l,

设AB的解析式为：y=（a--）x+ni,代入A（ma2）,

a

解得：m=\f

：.OD=1,

・・•OCA.AB,即/OCB=90,

...C点在以。。的中点E为圆心，以r=!。。=!为半径的圆上运动，

当C”为圆E的半径时，此时CH的长度最大，

故C”的最大值为r=；,

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与），轴交点的纵坐标始终为

1,结合N0C8=90，由此确定点E的轨迹为圆进而求解.

2.（2021•广东深圳•统考中考真题）在正方形ABCZ）中，43=2,点E是BC边的中点，连接OE,延长EC

至点F,使得EF=DE,过点F作FGLOE,分别交CO、A8于N、G两点，连接CM、EG、EN,下

列正确的是：®tanZGFB=l；②MN=NC;③窦=；；④“边加码="（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】解：①中由FGLOE即可得到NGEB=NEQC,再由正切等于对边比邻边即可求解；

②中先证明△£>£(7丝△EEM得到EM=EC,DM=FC,再证明△DWNt△FCN即可求解：

③中先证明GE//CM,得到也=丝=与1=纪叵即可求解；

EGEF小5

④中由tanZ.F=tanZEDC=――=彳得到GB=—BF='>再由^VSHIKGBEM=25AGBE即可求解.

BF222

【详解】解：①•；FGLDE,

NDMF=90o=NNCF,且对顶角/MND=NCNF,

：.NGFB=NEDC,

•..ABC。为正方形，E是8c的中点，

:.BC=CD,

PC1

tanNGFB=tanZEDC=——=一，①正确；

CD2

②由①知ZMDN=ZCFN,

又NECD=/EW=90,己知所=ED,

，MECSFEM(SAS),

EM=EC,

：.DM=FC,

'：ZMDN=NCFN,NMND=NCNF,DM=FC,

/.4DMN94FCN(AAS),

：.MN=NC,故②正确；

@VBE=EC,ME=EC,

：.BE=ME,

且N8=NGME=90°,GE为RjGBE和RtGME的公共边，

：.Rt^GBEmRtAGME(HL),

NBEG=NMEG,

ME=EC,

：・/EMC=/ECM,

由三角形外角定理可知：/EMC+NECM=ABED=/BEG+/MEG,

:.ZGEB=ZMCEf

:.MCUGE,

.CMCF

••=,

EGEF

;EF=DE7EC2+CD?=加，CF=EF-EC=«-l,

.CMCFV5-15-75

故③错误;

"~EG~~EF~y/5~5

④由上述可知：BE=EC=\,CF=V5-1,

BF=y[s+\,

「A1

tanZF=tanZEDC=-=-,

BF2

・CD1DC+1

・・GB=-BF=-旧----,

22

；•靠边形w-M=2S^CBE=2^BEBG=注，故④正确.

故选B.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

3.（2022•广东广州•统考中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，

拼第2个图形需要14根小木棒,拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需

【答案】B

【分析】根据图形的变化及数值的变化找出变化规律，即可得出结论.

【详解】解：设第〃个图形需要〃〃（〃为正整数）根小木棒，

观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6xl+0,

第二个图形需要小木棒：14=6x2+2；

第三个图形需要小木棒：22=6x3+4,…，

...第"个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2.

A8n-2=2022,得："=253,

故选：B.

【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是

关键.

4.（2022•广东深圳•统考中考真题）如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，ZABE=90°,BC为。切

线，C为切点，DE为：O直径,C4=CD,则；ABC和.CDE面积之比为（）

【答案】B

【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算

即可.

【详解】解：如图取中点O,连接。C.

，NDCE=ZDCA=90°.

：8C与圆O相切.

，ZBCO=90°.

ZDCA=ZBCO=90°.

：.ZACB=NDCO.

ZABD+ZACD=\80°.

：.ZA+ZBDC=180°.

又NBDC+NCDO=180°.

ZA=ZCDO.

VZACB^ZDCO,AC=DC,ZA=ZCDO.

/\ABC=△OOC(ASA).

••S/XAZiC=S&DOC•

•.•点。是OE的中点.

,,S^DOC=0.5SACD£.

,1S^ABC=0.5SACD£.

,,S^ABC-S4CDE=1:2

故答案是：1:2.

故选:B.

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周

角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提.

5.(2020・广东•统考中考真题)如图，抛物线丫=0?+公+。的对称轴是x=l.下列结论：①"c>0；②

b2-4ac>0：③&/+c<0；@5a+b+2c>0,正确的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】由抛物线的性质和对称轴是x=l,分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个

交点，可判断②；由1=-3=1,得匕=-2”，令x=-2,求函数值，即可判断③;令x=2时，则y=4a+2A+c>0,

2a

令时，y^a-b+c>0,即可判断④；然后得到答案.

【详解】解：根据题意，则。<0，c>0,

b

・X--------1,

2。

：.b=-2a>0f

abc<0,故①错误;

由抛物线与X轴有两个交点，则层-4ac>0,故②正确；

*.*b=-2«,

令了二—2时，y=4。-2b+c、<0,

・・・8Q+CV0,故③正确；

在y=ax1+bx+c中，

令x=2时，则y=4o+2b+c>0,

令时，y=a-b+c>0,

由两式相加，得5a+A+2c>（）,故④正确；

.••正确的结论有：②③④，共3个；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子

的符号.

6.（2020・广东深圳•统考中考真题）如图，矩形纸片A8C力中，AB=6,BC=12.将纸片折叠，使点B落在边

AO的延长线上的点G处，折痕为EF,点E、F分别在边和边BC上.连接BG,交CD于点、K,FG交CD

于点H.给出以下结论：①EF_LBG；②GE=GF；③△GOK和△GKH的面积相等；④当点尸与点C重合时，

/£）EF=75。.其中正确的结论共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DGKGH,由此

推出③错误;根据F、C重合时的性质，可得NAEB=30。,进而算出④正确.

【详解】

连接BE,由折叠可知BO=GO,

,?EG//BF,

ZEGO=ZFBO,

XVZEOG=ZFOB,

.".△EOG^AFOB(ASA),

；.EG=BF,

四边形EBFG是平行四边形,

由折叠可知BE=EG,

则四边形EBFG为菱形,

故EF1.BG,GE=GF,

...①②正确；

•..四边形EBFG为菱形，

KG平分/DGH,

；.,DGWGH,

SAGDK/SAGKH,故③错误：

当点F与点C重合时，BE=BF=BC=12=2AB,

NAEB=30°,NDEF=LNDEB=75°,故④正确.

2

综合，正确的为①②④.

故选C.

【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判断，折叠的性质，关键在于结合图形对线段和角度进行转换.

押题冲关

7.（2023・广东深圳•校联考模拟预测）二次函数y=a/+/7x+c,的图象如图所示，以下结论正确的个数为（）

@abc<0；②c+2a<0；®9a—3b+c=Q；@am2—a+bm+b>0（"?为任意实数）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由抛物线开口方向得到。>0,利用抛物线的对称轴方程得到b=2〃>0,由抛物线与y轴的交点在

x轴的下方得到c<0,则可对①进行判断；利用x=l,a+b+c=（）得到c=-3a,则c+2a=-a,于是可对

②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,0）,则可对③进行判断：由于

户-1时，y有最小值，则可对④进行判断.

【详解】解：；抛物线开口向上，

••a>0,

•..抛物线的对称轴为直线工=-3=-1,

2a

b=2a>0,

•.•抛物线与〉轴的交点在X轴的下方，

•・cv0,

abc<0,所以①正确；

=l时，y=o,

•*.a+b+c=G，

c=-a-2a=-3a,

**•c+2a——3a+2。——u<0，所以②正确；

•••抛物线的对称轴为直线,抛物线与X轴的一个交点坐标为(1,0),

.•.抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3,0),

.,.当x=-3时，y=0,

即9a-3/?+c=(),所以③正确；

—1时，y有最小值，

*,•a-b+c<am2+bm+c(机为任意实数)，

am2—a+bm+b>0>所以④错误；

综上，①②③正确，

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与〉，轴的交点、二

次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键.

8.(2023•广东深圳•校联考模拟预测)如图，ZABC=ZADB=9Q°,DA=DB,若3C=2,AB=4,则点。

到AC的距离是()

A.也^B.色5C,生叵D.至

6554

【答案】B

【分析】过点。作QF1AC,垂足为尸，过点。作。GLC8,交CB的延长线于点G,在Rt/XABC中，

利用勾股定理可求出AC的长，再利用等腰直角三角形的性质可得ND84=/DA5=45。，AD=BD=2垃,

然后在RtZkOBG中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，最后根据△ADC的面积fABC的面积

+..ADB的面积DBC的面积进行计算即可解答.

【详解】解：过点。作0F1AC,垂足为尸，过点。作£）G_LC8,交C8的延长线于点G,

ZABC=90°,BC=2,AB=4,

AC=《AB'+BC?=742+22=2石，

ZADB=90°,DA=DB,

:.ZDHA=ZDAB=45°,AD=BD=^=^==272,

ZABC=90°,

ZABG=1800-ZABC=90°,

NDBG=90°-/DBA=45°,

在RtADBG中，DB=20，

DG=£>B-sin45°=2^—=2,

2

.'ADC的面积=ABC的面积+.4)3的面积-_£>3c的面积,

:.-ACDF=-ABBC+-ADDB--BCDG

2222

.•.-X2V5-DF=-X4X2+-X2>/2X2V2--X2X2,

2222

:.45DF=4+4-2,

:.DF=—,

5

..・点。到AC的距离是拽，

5

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形，点到直线的距离，利用了勾股定理，锐角三角函数，根据题目的已

知条件结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

9.（2023・广东珠海•统考一模）如图，。。与/a的两边相切，若/a=60。，则图中阴影部分的面积S关于

。。的半径r的函数图象大致是（）

【分析】过0点作两切线的垂线，垂足分别为A、B,连接0尸，如图，利用切线的性质得OA=OB=r,根

据切线长定理得到/APO=NBPO=30。，则AP=V5OA=Gr,再利用四边形内角和计算出/40B=120。,

接着利用扇形面积公式得到S=（V3-1n）产（r>0）,然后根据解析式对各选项进行判断.

【详解】过。点作两切线的垂线，垂足分别为A、B,连接0P,如图，则O4=OB=r,NAPO=NBPO=

30°,:.AP=0OA=0r.

N0AP=N0BP=9G。,：.ZAOB=180°-a=180°-60°=120°,：.S^Sm^AOBP-Sr«

币r-l20mr=（有一:）杉（r>0）.

3603

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了二次函数的图象.

10.（2023•广东东莞•校考一模）如图，二次函数丫=2*2+6*+<:的图象开口向上，对称轴为直线x=l,图象

经过（3,0）,下列结论中，正确的一项是【】

C.a-b+c<0D.4ac-b2<0

【答案】D

【详解】A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a>0,

抛物线的对称轴x=-二=1>0；

2a

抛物线与y轴交于负半轴，则c<0,

abc>0.故本选项错误.

B>x=—=1,/.b=-2a,即2a+b=0.故本选项错误.

2a

C、：对称轴为直线x=l,图象经过（3,0）,

该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（一1,0）.

...当x=-1时，y=0,即a—b+c=0.故本选项错误.

D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac>0,即4ac—b2<0.故本选项正确.

故选D.

11.（2023•广东深圳•二模）如图，已知在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,连接AC,动点Q以每秒1个

单位的速度沿A-B—C向点C匀速运动，同时点P以每秒2个单位的速度沿A-C—D向点D匀速

运动，连接PQ,当点P到达终点D时，停止运动，设AAPQ的面积为S,运动时间为t秒，则S与

t函数关系的图象大致为（）

h

【答案】A

9

【分析】根据题意，由矩形的性质和勾股定理，得到AC=5,则得到点P的运动时间为1秒，则对运动过程

进行分类讨论：①当点P从点A运动到点C的过程，即04芯,；②点P经过点C之后，点Q到达点B时一，

59

即广区4；③点Q经过点B后，点P到达点D停止，即分别求出S与t的关系，即可得到答

案.

【详解】解：由矩形的性质，得/B=90。，AB=DC=4,AD=BC=3,

由勾股定理，得：上。="+42=5,

；•点P运动到点C的时间为：1秒；

点P运动到点D的时间为：一5+4=《9秒；

22

4

点Q运动到点B的时间为：1=4秒；

根据运动的情况，可分成以下三种情况：

①当点P从点A运动到点C的过程，B|JO</<|,

如图，作PELAB于E,

DC

：.AP=2t,AQ=f,

VPE±AB,BC±AB,

.".△APE^AACB,

.PEAP

••~~,

BCAC

.clBC・AP3x2r6

・・PE=-----------=-------=—t,

AC55

.•.△APQ的面积为：S=-AQ»PE=-f-t=-r(0<r<-)；

22552

②点P经过点C之后，点Q到达点B时，即|<f44；

如图，

D

1135

**•△APQ的面积为：S=-8C=—/x3=-f(—<f44)；

2222

9

③点Q经过点B后，点P到达点D停止，即如图,

/.CQ=3—(t—4)=7—t,

*，•AAPQ的面积为：S=Sgpc+S^CQ-S&PCQ，

：.S=^PC»AD+^CQ*AB-^PC»CQ

=^x(2f-5)x3+^x(7-r)x4-^x(2r-5)x(7-Z)

c15c/21935、

=3t---+14-2z-(-r+-t------)

222

17o

=t2——1+24(4<f<-)；

22

AS与t函数关系的图象大致为A选项中的图像；

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，以及二次函数的性质，解题的关键是

根据x的取值范围表示出S与x之间的函数关系式.

12.(2023♦广东广州•统考一模)如图，菱形A8CD中，ZB=60°MB=2.动点P从点B出发，以每秒1个

单位长度的速度沿折线AC运动到点C,同时动点。从点A出发，以相同速度沿折线ACrCD运动

到点。，当一个点停止运动时，另一点也随之停止.设△APQ的面积为y,运动时间为x秒.则下列图象能

大致反映y与x之间函数关系的是()

AD

Q

BC

【答案】A

【分析】由菱形的性质可证“BC和AAOC都是等边三角形，可得AC=AB=2,/BAC=60。=乙4。£),分

两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与x之间函数关系，由二次函数的性质可求解.

【详解】当04x42时，如图1,过点。作。"于点”,

图1

由题意得BP=AQ=x,

•菱形WO中，NB=60°,A8=2,

AB=BC=CD=AD=2,ZB=AD=6O°,

"8(7和4AOC都是等边三角形，

AC=AB=2,ABAC=ZACD=60°,

sin/ft4C=也，

AQ

:.HQ=AQs'in600=^-x,

■■△APQ的面积y='(2-x)x^=-立。一1尸+立,

当2<xW4时，如图2,过点。作QNLAC于点N,

rD

图2

由题意得AP=CQ=X_2,

,sinZAC或强=迫，

CQ2

NQ=与(x-2),

△AP。的面积y=；(x-2)x5(X_2)=¥(X-2)2,

该图象开口向上，对称轴为直线x=2,

,2<xM4时，y随x的增大而增大，

.•.当x=4时，y有最大值为7L

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次

函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

13.(2023•广东广州•统考一模)二次函数丫=以2+公+。(4H0)的图象如图所示，则下列结论中正确的有

()个

@ahc>0；②4a+2/?+c<0；③函数的最大值为a+/?+c；④当一3<x<l时，y20；⑤x<-l时，y随x增

【答案】A

【分析】由抛物线的开口方向判断。与o的关系，由抛物线与y轴的交点判断。与o的关系，然后根据对称

轴及抛物线与*轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：由图可知：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-i=-=，与y轴的交点在y轴的正半轴，

2a

••a<0,b-2cl,c>0,

：.b<0,

ahc>0,故①正确；

由图可知：当x=2时，图像在x轴下方，

则y=4〃+劝+c<0,故②正确；

当x=-l时，函数取最大值，且为y=a-6+c,故③错误；

•.•对称轴为直线％=-1,图像与x轴交于(1,0),

图像与x轴的另一个交点为(-3,0),

•••抛物线开口向下，

...当一34x41时，>>>0,故④正确；

•••抛物线开口向下，对称轴为直线

x<-i时，y随x增大而增大，故⑤正确；

...正确的有①②④⑤，共4个，

故选A.

【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与人的关

系.

14.(2023・广东深圳・统考二模)如图，四边形A8C。的对角线AC和30相交于点E.若NABC=N4C£>=90。，

且AC=8,AB=3,60=15,则8c的长为()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

［分析］过点。作。F，5c交BC的延长线于点F,证明VCDF^VACB(AAS),得到DF=BC,CF=AB,

令DF=BC=x,则BF=x+3,运用勾股定理可求得8尸+OF?=BO?，代入求出x即可.

【详解】解：过点。作OF18c交BC的延长线于点凡

NF=NBHC=9Q。,

'：ZABC=ZACD=90°,

：.ZF=ZABC,

'：ZACB+ZBAC=90°,ZACB+ZDC尸=90°,

NDCF=NBAC,

在二CDF和ZMCB中，

NF=ZABC

"ZDCF=NBAC

CD=AC

：.VCDF^VACB(AAS),

:.DF=BC,CF=AB,

'：AB=3,BD=\5,

：.CF=3,

在RtZ\B。尸中，BF2+DF2=BD2^

令DF=BC=x,则BF=x+3,

：.(X+3)2+X2=152

解得：X,=9^2=-12(舍去)，

DF=BC=9,

故选：C.

【点睛】此题是一道几何综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线构造

全等三角形是解题的关键.

15.（2023•广东湛江・校考一模）如图，在正方形A8C。中，ABPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别

交A£＞于点E,F,连接8£＞、DP,与CF相交于点”，给出下列结论：①ZDPC=75°；②CP=2/1E；

DF2

③「;不；④△FP4APHB.其中正确结论的个数是（）

BC3

【答案】B

【分析】①根据正方形和等边三角形的性质可得PC=CD、NPCD=3O。，然后根据三角形内角和求得/DPC

即可判断；②证明△ABEgZkOC尸，根据全等三角形的性质得出"'=AE,进而得出AE=gbC；③根据

tan30°=—=即可求解；④根据两角相等两个三角形相似即可解答.

CD3

【详解】解：①：四边形A3。是正方形，

.*.48=90°,BC=CD,

•••_8CP是等边三角形，

^PBC=ZPCB=ZBPC=60P,BP=BC,

：.ZPCD=30°,BC=PC,

：.PC=CD,

■eno_q。。

/.ZDPC=-———=75°,故①正确；

2

②•••8CP是等边三角形，四边形A88是正方形，

Z.NABE=ZDCF=90°-60°=30°,AB=DC,ZA=NFDC=90°,

，4ABE/ADCF,

；•DF=AE,

又；ZFCD=30°,

：.FD=-FC,

2

g|JAE=-FC,

2

CF=2AE,故②正确；

③Y/PCD=30°,

.t.noFDG

CD3

,:CD=BC

.•.空=立，故③错误；

BC3

■:AD//BC.

：./DFP=4BCP=NBPH=60。,

9：ZPHB=ZPCB+ZCBH=600+45°=105°,

又,：CD=CP,ZPCD=30°,

：.ZCPD=ZCDP=75°,

Z.ZDPF=105°,

:./PHB=ZDPF,

:•一DFPBPH,故④正确,

故选：B.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、正方形的性质、直角三角形30度角

的性质等知识，灵活运用相关性质是解答本题的关键.

2

16.（2023•广东珠海•校考一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=4的图象上，第二象限的点

x

k

B在反比例函数y=—的图象上，.MOA±OB,tanA=2,则k的值为（）

x

【答案】D

【分析】过点A、B分别作AC，x轴、BD，x轴，垂足分别为点C、D,如图，易证△AOCS/MDBD,则

根据相似三角形的性质可得％夕=（丝■¥=」，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值.

S&B8VOB）4

【详解】解：过点A、B分别作ACLx轴、BDLx轴，垂足分别为点C、D,如图，则/ACO=/BDO=90。，

ZOAC+ZAOC=90°,

.,.ZOAC=ZBOD,

AAAOC^AOBD,

**SA0C=—x2=1,S^BOD=—|X:|,

11

.••场二鼠/.KI=8,

Vk<0,

k=-8.

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识,

熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键.

17.（2023•广东惠州・统考一模）二次函数尸++bx+c的图像如图所示，有下列结论：

®abc>Q；@4a+2b+c<0；®a+h>x（ax+b）；④3a+c>0.

其中正确的有（）

【分析】由抛物线的开口方向、与），轴交点以及对称轴的位置可判断。、从c的符号，由此可判断①正确;

由抛物线的对称轴为x=l，可知x=2时和x=0时的），值相等可判断②正确；

由图知x=l时二次函数有最小值，可判断③错误：

由抛物线的对称轴为x=l可得b=-2a,因止匕y=ox2—2ox+c,根据图像可判断④正确.

【详解】①：抛物线的开口向上，

:.a>Q.

••,抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，

r.c<0.

由一>0得，b<0

2a

ahc>0

故①正确.

②由抛物线的对称轴为x=l,可知x=2时和x=0时的y值相等.

由图知x=0时，y<0,

，x=2时，y<0.

即4a+%+c<0.

故②正确.

③由图知x=l时二次函数有最小值

:.a+b+c<ax2+bx+c

:.a+b<ax2+bx

a+b<x(ax+b)

故③错误.

④由抛物线的对称轴为x=l可得-导1

:.b=-2a,

y=ax2-2ax+c

当-1时，y=a+2a+c=3a+c.

由图知x=-l时y>0,

3a+c>0.

故④正确.

综上所述：正确的是①②④.

故选B.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置.熟练掌握二次函

数图像的性质及数形结合是解题的关键.

18.（2023•广东珠海•珠海市前山中学校联考一模）如图所示是抛物线严加+云+c（a<0）的部分图像，其

顶点坐标为。,〃），且与x轴的一个交点在点（3,0）和（4,0）之间，则下列结论：①a-b+c>0；②3a+c>0；

其中正确的结论个数是（）

D.4个

【分析】根据抛物线的顶点坐标和对称性可得到抛物线与与x轴的另一个交点在点（-2,0）和（-1,0）之间，又

开口向下可判断①；根据对称轴方程可得到6=-勿，进而可判断②；根据顶点坐标公式可判断③；由函数

的最大值丫=〃结合图像可判断④.

【详解】解：抛物线的顶点坐标为

抛物线的对称轴为x=l,

V抛物线与x轴的一个交点在点（3,0）和（4,0）之间，

•••抛物线与与x轴的另一个交点在点（-2,0）和（-1,0）之间，又开口向下，

.,.当户一1时，y=a-h+c>0,故①正确；

•••抛物线的对称轴为直线*=-3=1,

2a

h=-2a,

**•d—b-\-c—3ci+c>0,故②）正确；

•••抛物线的顶点坐标为

b2=4ac-4an=4«（c-n）,故③正确；

•••该函数的最大值为）'=〃，

，一元二次方程招2+法+°=〃-2有两个不相等的实数根，故④错误，

综上，正确的结论有3个，

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数与方程和不等式的关系,

熟练掌握二次函数的图像与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键.

19.（2022•广东江门•统考一模）如图，函数产加+法+c经过点（3,0）,对称轴为直线x=l,下列结论:

①层-4ac>0;②abc>0；③9a-3b+c=0；®5a+b+c—0；⑤若点A(a+1,y)、B(a+2,%)，则其

中结论的正确的有（）

C.3个D.4个

【答案】D

【分析】①根据图象与x轴有两个交点，A>0即可判断；

②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断:

③根据图象可得对称轴为直线广1,与X轴的一个交点为（3,0）,则另一个交点为（-1,0）,再根据抛物

线增减性即可判断；

④根据图象抛物线与x轴的一个交点为（3,0）,可得9a+36+c=0,对称轴为x=l,可得b=-2a,将2氏-4。代

入9a+3Hc=0,即可判断；

⑤根据图象可得。>0,即可得出1<。+1<。+2,再结合对称轴为直线x=l,运用二次函数增减性即可判断.

【详解】解：①•••抛物线与x轴有两个交点，

.,.△>0,

..b2-4ac>0,

•••①正确；

②•••抛物线开口向上，

，4>0,

•••抛物线对称轴在y轴右侧，

〃与a异号，即〃V0,

.抛物线与y轴交点在x轴下方，

.,.c<0,

.".abc>0,

...②正确；

③•••抛物线对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点为（3,0）,

...抛物线与x轴的另一个交点为（-1,0）,

:抛物线开口向上，在对称轴左侧），随x增大而减小，

.,.当x=-3时,y>0,

/.-3b+c>0,

.•.③错误；

④•••抛物线与x轴的一个交点为（3,0）,

9〃+3b+c=0,

•・•抛物线对称轴为x=l,

,b_

••----——1,

2a

:・b=-2a,

9a+3h+c=9a+2h+h+c=9a~4a+h+c=5a+h+c=0f

.•.④正确；

1Va+1Va+2,

•••抛物线对称轴为直线x=l,抛物线开口向上，在对称轴右侧y随X增大而增大，

y2Vo，

，⑤正确；

综上所述，①②④⑤正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，

解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识.

20.（2023・广东珠海•校考一模）二次函数卜=G2+必+4。#0）的图像的一部分如图所示，已知图像经过点

（-1,0）,其对称轴为直线x=l.下列结论：①而c<0；②/-4ac<0;③8a+c<0；④9a+3b+2c<0；

⑤点Cd，*）。（孙冉）是抛物线上的两点，若玉<々，则⑥若抛物线经过点（-3,〃），则关于x的一

元二次方程加+瓜+c-〃=0（a¥0）的两根分别为-3,5；其中正确的有（）

【分析】根据二次函数的性质和函数图像可得。<0、-二=1、c>0、a-b+c=O,然后再进行适当变形即

2a

可解答.

【详解】解：；抛物线的开口向下,

•*.a<Q.

抛物线与y轴的正半轴相交，

cX）.

•・•抛物线的对称轴为直线x=l,

---=1,即〃=-2a>0

2a

**-ahc<0,故①正确;

・・,抛物线与x轴有两个交点

b2-4tzc>0,故②错误；

・・,抛物线经过点（-1,0）

a-b+c=O

b=-2a

a-（—2a）+c=0,即3a+c=0.

8a+c=3a+c+5a=5a<0,故③正确；

•；抛物线经过点（-1,0）,且对称轴为直线x=l,

抛物线也过点（3,0）,

...当x=3时，y=0,即9a+劝+c=0.

Vc>0,

/.9a+3h+2c=9a+3h+c+c=c>0,故④错误；

••,对称轴为直线x=l,

...当x<l时，X,<x2,则,<必；当当X>1时，X,<x2,则%>必，故⑤错误；

•••抛物线经过点（-3,"）,其对称轴为直线x=l,

根据对称性可知：抛物线必经过点（5,〃），

当尸〃时，x=—3或5.

二关于x的一元二次方程a^+fer+c-”=0（aw0）的两根分别为-3,5,故⑥正确

综上，正确的结论有：①③⑥.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了抛物线与二次函数系数之间的关系、二次函数与方程等知识点，利用对称轴的范

围求2a与人的关系以是解答本题的关键.

21.（2023•广东东莞•东莞市东城实验中学校联考一模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=4cm,动点P

从点O出发，沿OATAB—BO的路径以每秒1cm的速度运动一周.设运动时间为t,s=OP2,则下列图象

能大致刻画s与t的关系的是（）

【答案】C

【分析】在半径AO上运动时，s=OP2=t2；在弧BA上运动B寸，s=OP2=4；在BO上运动时，s=OP2=（4兀+4-t）

2,s也是t是二次函数；即可得出答案.

【详解】解：利用图象可得出：当点P在半径AO上运动时，s=OP2=t2；

在弧AB上运动时，s=OP2=4；

在OB上运动时，s=OP2=（2兀+4-t）2.

结合图像可知C选项正确

故选：C.

【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出s与时间t之间的函数关系是解决问题的

关键.

22.（2023•广东广州•统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点4（6,0）,8（0,8）,点C从。出发，以每秒1个

7

单位长度的速度沿折线。-A-5运动了8.5秒，直线匕上有一动点"，轴上有一动点瓦当

0。+£）后+£'。的和最小时，点£的坐标为（）

AX

A-B.（0，｛|。.呜）D.（0,：）

【答案】B

7

【分析】作点。关于x=W对称的点尸，作点C关于y轴的对称点G,连接叩交）轴