2024-2025学年江苏省苏州市高二上册10月月考数学学情检测试题

2024-2025学年江苏省苏州市高二上学期10月月考数学学情检测试题一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．数列，，，，…的一个通项公式是（

）A． B．C． D．2．在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点B且与线段相交．则直线l倾斜角α的取值范围是（

）A． B．C． D．3．已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（

）A．-17 B．-15 C．17 D．154．已知等比数列中，，为前项和，，则（

）A．7 B．9 C．15 D．305．已知满足对一切正整数均有且恒成立，则实数的范围是（

）A． B． C． D．6．已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题（共3小题，每题6分，共18分）9．已知等差数列的前项和为（），公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（

）A． B．C．当或时，取得最大值 D．当时，的最大值为2110．数列是各项为正的等比数列，为其前n项和，数列满足，其前n项和为，则（

）A．数列一定为等比数列 B．数列一定为等比数列C．数列一定为等差数列 D．若有最大值，则必有11．已知数列中，，，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为（

）A．－4 B．－2 C．0 D．2三．填空题（共3小题，每题5分，共15分）12．已知数列满足，若，则.13．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为.14．已知函数，数列an的前n项和为，且满足，，，则.四．解答题（共5小题，共77分）15．已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设为的前项和，求的最小值．16．已知数列的前项和为，且．(1)求证：是等比数列；(2)若，数列的前项和为，求证：．17．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．(1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式；(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据，18．在数列，中，，为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为，为等差数列，且其前三项和为9.(1)求，的通项公式；(2)求的前n项和.19．如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?②若，且，求的最小值.1．A【分析】把数列变形为，，，，•••，由此可得它的通项公式．【详解】数列，，，，…，即数列，，，，•••，故它的一个通项公式是，故选：．2．B【分析】结合斜率和倾斜角的关系利用数形结合即可求解.【详解】根据题意，画出图象如图所示;

直线的斜率，则直线的倾斜角为；直线的斜率，则直线的倾斜角为，结合图象由条件可得直线l的倾斜角的取值范围是.故选：B.3．D【分析】结合等差数列的通项公式可求得，进而可求出结果.【详解】因为数列，都是等差数列，设数列，的公差分别为，又，，且，则，即，所以，故选：D.4．C【分析】设公比为，根据条件列出方程求解，再由求和公式得解.【详解】等比数列中，设公比为，，为前项和，，显然，(如果，可得矛盾，如果，可得矛盾)，可得，解得，即或，所以当时，．当时，．没有选项．故选：C．5．C【分析】根据题意整理可得对一切正整数恒成立，根据恒成立问题分析求解.【详解】因为满足对一切正整数均有且恒成立，即恒成立，化为，可知对一切正整数恒成立，所以，故选：C.6．B【分析】利用充分必要条件的判定及等比数列通项公式验证即可.【详解】设等比数列的公比为，若，则，因为不等于0，所以，若时，无法得出，所以“”不是“”的充分条件；若“”，则，所以“”是“”的必要条件.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B7．D【分析】将取倒数结合累加法求得，再利用数列单调递减列不等式并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，，，由累加法可得，，因为，所以，所以，因为数列是递减数列，故，即，整理可得，，因为，，所以，故.故选:D.8．B【分析】根据递推关系采用叠加法即可.【详解】根据题意，，，，，…，，，则，，…，，，将上述各式两边相加得，，所以.故选：B．9．BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断，；由配方法，结合为正整数，可判断；由解不等式可判断．【详解】解：由公差，，可得，即，①由是与的等比中项，可得，即，化简得，②由①②解得，，故A错，B对；由因为，可得或11时，取最大值110，C对；由，解得，可得的最大值为20，D错；故选：BC．10．AC【分析】根据等差数列和等比数列的定义可以判断A,B,C，再结合C，通过特殊值法可以判断D.【详解】设的公比为，.对A，，则，恒为定值，则A正确；对B，，所以，不恒为定值，则B错误；对C，易知，，恒为定值，由等差数列的定义可知，一定为等差数列，则C正确；对D，结合C，一定为等差数列，首项为，公差为，若，则有最大值0，此时，则D错误.故选：AC.11．AB由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】，，则，，，，上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立，整理得对于任意的恒成立，对A，当时，不等式，解集，包含，故A正确；对B，当时，不等式，解集，包含，故B正确；对C，当时，不等式，解集，不包含，故C错误；对D，当时，不等式，解集，不包含，故D错误，故选：AB.本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.12．2【分析】由递推关系式依次求出数列的前几项，得出数列的周期，由周期性得结论．【详解】因为数列an满足，且，所以，所以数列an是以3为周期的周期数列，所以.故2.13．【分析】根据直线方向与直线斜率的关系进行求解即可.【详解】因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为，故14．2【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解.【详解】由题意可知：的定义域为，且，即，可知为定义在上的奇函数；且，因为在上单调递增，可知在上单调递增；综上所述：在上单调递增，且为奇函数.因为，则，可得，即，由可知：3为数列的周期，则，且，所以.故2.易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出.15．(1)(2)【分析】（1）根据等差数列通项公式基本量运算即可；（2）先根据基本量运算得出前n项和，再根据二次函数求出最值即可.【详解】（1）设an的公差为，则，依题意，，即，整理得，，解得，或（舍），所以；（2），因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用数列通项与前n项和的关系，当时，解得，当时，由得到，两式相减得到，再利用等比数列的定义证明；（2）由（1）得，进而得到，利用放缩法得，再利用等比数列前n和公式求解.【详解】（1）当时，，解得，当时，由，得，两式相减并整理得，即，∴是首项为3，公比为3的等比数列；（2）由（1）可得：，，当时，，则，所以，，∴，所以.17．(1)，,(2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多【分析】（1）根据已知条件，分别求解1年，2年后，….，进而归纳后的利润，即可求解．（2）分别求出两种方案的净收益，再通过比较，即可求解．【详解】（1）对于甲方案，1年后，利润为1（万元）．2年后，利润为，3年后，利润为（万元），……故年后，利润为（万元），因此，对于乙方案，1年后，利润为1（万元）．2年后，利润为，3年后，利润为（万元），……故年后，利润为（万元），因此，（2）甲方案十年共获利（万元），10年后，到期时银行贷款本息为（万元），故甲方案的净收益为（万元），乙方案十年共获利（万元），贷款本息为（万元），故乙方案的净收益为（万元），由，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多18．(1)，；(2).【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【详解】（1）设等比数列{bn}因为数列{bn}的前三项和为，所以或舍去，所以，设等差数列的公差为，因为前三项和为9，所以有，所以，因为，所以；（2）由（1）可知：，所以，，，得，，所以.19．(1)1，3，5，7，5，3，1(2)①1012；②2025【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果；（2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果【详解】（1）因为数列bn是项数为7的“对称数列”，所以，