2024-2025学年湖北省襄阳市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

2024-2025学年湖北省襄阳市高二上学期10月月考数学学情检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为虚数单位，的虚部为（）A. B. C. D.12.已知一组数据：2，5，7，，10平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（）A.7 B.6.5 C.6 D.5.53.直线：，：，若，则实数值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.或14.为了测量河对岸一古树高度的问题（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点处测得树顶的仰角为，则树高约为（）（取，）A.100.8m B.33.6m C.81.6m D.57.12m5.如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是()A.P在圆外B.P圆上C.P在圆内D.P与圆的位置关系不确定6.在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（）A. B. C. D.7.下列命题中正确的是（）A.，则；B若点、、、共面，点、、、共面，则点、、、、共面；C.若，则事件与事件是对立事件；D.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为；8.动点在棱长为3的正方体侧面上，满足，则点的轨迹长度为（）A B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A.若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为；B.已知，，若直线：与线段有公共点，则；C.过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为；D.若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则．10.如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（）A.；B.当是靠近的三等分点时，，，共面；C.当时，；D.的最小值为．11.已知是圆：内一点，其中，经过点的动直线与交于，两点，若AB的最小值为4，则（）A.；B.若AB=4，则直线的倾斜角为；C.存在直线使得；D.记与的面积分别为，，则的最大值为8．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.实数、满足，则的最大值是______．13.记的三个内角，，的对边分别为，，，已知，其中，若的面积，，且，则的长为______．14.如图，已知四面体的体积为，，分别为，的中点，、分别在、上，且、是靠近的三等分点，则多面体的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．16.在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为．（1）求点的坐标；（2）求直线的方程．17.直三棱柱中，，其中分别为棱的中点，已知，（1）求证：；（2）设平面与平面的交线为直线，求直线与直线所成角的余弦值．18.已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，．（1）当时，求出点的坐标；（2）经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段的中点的轨迹方程．19.四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为正三角形；（1）当时，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（2）当与平面所成角最大时，求三棱锥的外接球的体积．2024-2025学年湖北省襄阳市高二上学期10月月考数学学情检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为虚数单位，的虚部为（）A. B. C. D.1【正确答案】C【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知，则，其虚部为.故选：C2.已知一组数据：2，5，7，，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（）A.7 B.6.5 C.6 D.5.5【正确答案】B【分析】先根据平均数求的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值.【详解】因为.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为，所以这组数据的第60百分位数为.故选：B3.直线：，：，若，则实数的值为（）A0 B.1 C.0或1 D.或1【正确答案】C【分析】根据两直线垂直的公式求解即可.【详解】因为：，：垂直，所以，解得或，将，代入方程，均满足题意，所以当或时，.故选.4.为了测量河对岸一古树高度的问题（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点处测得树顶的仰角为，则树高约为（）（取，）A.100.8m B.33.6m C.81.6m D.57.12m【正确答案】D【分析】先在中，利用正弦定理求出，再在中求即可.【详解】在中，，，所以，又，由正弦定理得.在中，.故选：D5.如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是()A.P在圆外B.P在圆上C.P在圆内D.P与圆的位置关系不确定【正确答案】A【详解】试题分析：由题意得，所以点在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6.在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以为基底，则，，所以.因为.所以.所以.故选：D7.下列命题中正确的是（）A.，则；B.若点、、、共面，点、、、共面，则点、、、、共面；C.若，则事件与事件是对立事件；D.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为；【正确答案】D【分析】举反例说明ABC不成立，根据古典概型的算法判断D是正确的.【详解】对A：若，，则，但不成立，故A错误；对B：如图：四面体中，是棱上一点，则点、、、共面，点、、、共面，但点、、、、不共面，故B错误；对C：掷1枚骰子，即事件：点数为奇数，事件：点数不大于3，则，，，但事件、不互斥，也不对立，故C错误；对D：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有种选法，这三条线段能构成一个三角形的的选法有：，，共3种，所以条线段能构成一个三角形的的概率为：，故D正确.故选：D8.动点在棱长为3的正方体侧面上，满足，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】结合图形，计算出，由点平面，得出点的轨迹为圆弧，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得平面,因平面，则，不妨设，则,，解得，又点平面，故点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆弧,故其长度为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A.若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为；B.已知，，若直线：与线段有公共点，则；C.过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为；D.若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则．【正确答案】BD【分析】根据直线是否存在斜率判断A的真假；数形结合求的取值范围判断B的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求判断D的真假.【详解】对A：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为”成立的前提是两条直线的斜率都存在且不为0，若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A是错误的.对B：如图：对直线：，表示过点，且斜率为的直线，且，，由直线与线段有公共点，所以：或，即或，进而得.故B正确；对C：过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为或，故C错误；对D：“圆上恰有3个点到直线的距离等于1”可转化为“圆心1,0到直线的距离等于1”.由.故D正确.故选：BD10.如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（）A.；B.当是靠近的三等分点时，，，共面；C.当时，；D.的最小值为．【正确答案】BCD【分析】以为基底，表示出相关向量，可直接判断A的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD的真假.【详解】以为基底，则，，,.对A：因为.所以，故A错误；对B：当是靠近的三等分点，即时，，又，所以.故，，共面.故B正确；对C：因为，所以：，所以，故，故C正确；对D：设，.因为.所以，.当时，有最小值，为：，故D正确.故选：BCD11.已知是圆：内一点，其中，经过点的动直线与交于，两点，若AB的最小值为4，则（）A.；B.若AB=4，则直线的倾斜角为；C.存在直线使得；D.记与的面积分别为，，则的最大值为8．【正确答案】ACD【分析】根据点在圆内，列不等式，可求的取值范围，在根据弦AB的最小值为4求的值，判断A的真假；明确圆的圆心和半径，根据，可求直线的斜率，进而求直线的倾斜角，判断B的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求的最大值，判断D的真假.【详解】对A：由.此时圆.因为过点的弦AB的最小值为4，所以，又，由.故A正确；对B：因为，，所以直线的斜率为，其倾斜角为，故B错误；对C：当AB=4，，所以，所以为锐角，又随着直线斜率的变化，最大可以为平角，所以存在直线使得.故C正确；对D：如图：直线与圆交于、两点，链接，，因为，，所以.所以.又，，且.所以，当且仅当，即时取“”.故D正确.故选：ACD方法点睛：在求的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出为定值，再结合三角形的面积公式求的最大值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.实数、满足，则的最大值是______．【正确答案】【分析】根据几何意义为圆上的点与距离的平方，找出圆上的与的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设，，则为圆上的点，圆的圆心O0,0,半径，则表示圆上的点与距离的平方，又因为,所以；故的最大值是.故答案为.13.记的三个内角，，的对边分别为，，，已知，其中，若的面积，，且，则的长为______．【正确答案】【分析】利用正弦定理对化简，可得，再由三角形面积公式求出，根据题意写出，等式两边平方后，可求出的值，由余弦定理，求出的长.【详解】,由正弦定理可得:，，，,，即,，,得，∵，∴，，即，由，解得或，根据余弦定理，当时，，此时，不满足题意，当时，.故答案为.14.如图，已知四面体的体积为，，分别为，的中点，、分别在、上，且、是靠近的三等分点，则多面体的体积为______．【正确答案】##【分析】多面体的体积为三棱锥与四棱锥的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接，，因为为AD上的靠近的三分点，所以，因为为AB的中点，所以点到AD的距离为点到AD的距离的一半，所以，又为CD上靠近的三分点，所以点到平面的距离为点到平面的距离的13，所以，，所以，所以多面体的体积为.故答案为.关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【正确答案】（1）14（2）16【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】样本中男生的人数为：；女生的人数为.所以总样本的平均数为.【小问2详解】记总样本的方差为，则.所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16.在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为．（1）求点的坐标；（2）求直线的方程．【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）设，则，代入，求解即可；（2）设直线的方程为：，在直线取点，利用点到直线的距离等于点到直线的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点在直线上，所以设，所以中点，又因为点在直线上，所以，解得，所以；【小问2详解】解：因为，设直线的方程为：，又因为，所以直线的方程为：，又因为的角平分线所在的直线方程为，在直线取点，则点到直线的距离等于点到直线的距离，即有，整理得，解得：或，当时，所求方程即为直线的方程，所以，所以直线的方程为：.17.直三棱柱中，，其中分别为棱的中点，已知，（1）求证：；（2）设平面与平面的交线为直线，求直线与直线所成角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取的中点，连接证得四边形为平行四边形，得到，利用，证得，得到，即可证得；（2）根据题意，证得平面，得到，以A为原点，建立空间直角坐标系，求得，再取的中点，延长交于点，得到直线与直线所成角，即为直线与直线所成角，求得，得到，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取的中点，连接，因为的中点，可得，且，又因为，且，所以，且，所以四边形平行四边形，所以，在正方形中，可得，所以，因为，所以，中，可得，所以，又因为，所以.【小问2详解】解：在直三棱柱中，可得平面，因为平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以，即直三棱柱的底面为等腰直角三角形，以A为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，可得，则，取的中点，连接，可得且，因为且，所以，且，延长交于点，可得为的中点，连接，可得即为平面与平面的交线，所以直线与直线所成角，即为直线与直线所成角，又由，设，可得，即，可得，所以，可得，设直线与直线所成角为，可得，即直线与直线所成角的余弦值为.18.已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，．（1）当时，求出点的坐标；（2）经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段的中点的轨迹方程．【正确答案】（1）或（2）过定点或（3）【分析】（1）点在直线上，设，由对称性可知，可得，从而可得点坐标．（2）的中点，因为是圆的切线，进而可知经过C，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MC为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线的方程，且得直线过定点，由几何性质得，即点N在以为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线的方程为，点在直线上，设，因为，由对称性可得：由对称性可知，由题所以，所以，解之得：故所求点的坐标为或．【小问2详解】设，则的中点，因为是圆的