【压轴专练】专题09 圆切线的两种证明方法（解析版）-2021-2022学年九上压轴题攻略

专题09圆切线的两种证明方法方法一、有切点、连半径、证垂直例1．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）连接，，，又，，，又，，即，，即，是的切线，（2）连接，得，∵AB=AC，是的中点，∴BD=CD，在Rt△ABD中，，∴，，∵，，∴∠DEC=∠ADC=90°，∵∠C+∠CDE=∠C+∠DAC=90°，∴∠CDE=∠DAC，，，即，．【变式训练1】如图，PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交☉O于点B．（1）求证：PB是☉O的切线；（2）若AB＝6，，求PO的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：连接OB，∵PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，∴∠PAO＝，∵OA＝OB，AB⊥OP，∴∠POA＝∠POB，又OP＝OP，∴△PAO△PBO，∴∠PBO＝∠PAO＝，即OB⊥PB，∴PB是☉O的切线；（2）解：设OP与AB交于点D．，∵AB⊥OP，AB＝6，∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝，∵，∴PA＝5，∴PD＝，在Rt△APD和Rt△APO中，∵，∴，∴．【变式训练2】如图，是的外接圆，点D是的中点，过点D作分别交、的延长线于点E和点F，连接、，的平分线交于点M．（1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．【答案】（1）见详解；（2）2【解析】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是的中点，∴，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF为⊙O的切线；（2）设BC、AD交于点N，∵，，，∴，∴DN=，∵点D是的中点，∴∠BAD=∠CAD=∠CBD，又∵∠BDN=∠ADB，∴，∴，即：，∴BD=2，∵的平分线交于点M，∴∠ABM=∠CBM，∴∠ABM+∠BAD=∠CBM+∠CBD，即：∠BMD=∠DBM，∴DM=BD=2．【变式训练3】如图，在中，，以上一点为圆心，的长为半径作，交，分别于，两点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：连接，∵，∴，∵，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴为的切线；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，设圆的半径为，则，∵，∴，∴，解得．方法二、无切点、作垂直、证半径例1.如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求OD的长．【解析】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，如图，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过D作DF⊥BC于F，如图，∵AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD为矩形，∴BF＝AD＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5，∵DC、AM、BC为圆的切线，∴DA＝DE＝4，CE＝CB＝9，∴DC＝AD+BC＝13，在Rt△DCF中，DF=DC2-CF2=12，∴在Rt△OAD中，OD=OA2【变式训练1】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=3，BE＝1【解析】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，而OF⊥AC，∴OF＝OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，∴r2+（3）2＝（r+1）2，解得r＝1，∴OD＝1，OB＝2，∴∠B＝30°，∠BOD＝60°，∴∠AOD＝30°，在Rt△AOD中，AD=33OD∴阴影部分的面积＝2S△AOD﹣S扇形DOF＝2×12×【变式训练2】在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，点P在∠ABC平分线上，以点P为圆心作⊙P．（1）如图，当⊙P经过点C时，求证：⊙P与直线AB相切；（2）当⊙P同时与直线BC、AC相切时，求⊙P的半径．【答案】（1）见解析；（2）1或3【详解】证明：（1）如图，过点P作PD垂直AB，交AB于D点，∵AB＝5，BC＝3，CA＝4，∴，∴∠ACB＝90°，∴PC⊥BC，∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PD⊥AB，∴PC＝PD＝r，∴⊙P与直线AB相切．（2）如图，当⊙P同时与直线BC、AC相切时，点P在∠ACB或∠ACM的角平分线上存在两种情况：①当圆心在△ABC内部，即⊙P1分别与直线BC、AC相切时，∴P1G＝P1F＝P1E＝r，P1G⊥BC，P1E⊥AB，P1F⊥AC，∴＝＝，∴，②当圆心在△ABC外部，⊙P2分别与直线BC、AC相切时，∴P2M＝P2N＝P2Q＝R，P2M⊥BC，P2Q⊥AB，P2N⊥AC，∴S△ABC＝，∴，综上，⊙P的半径为1或3．【变式训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠CAB，以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求；（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．【详解】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴，∴；（3）由（2）可知：，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2＝AE•AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，由（1）可