高考数学第二轮专题第9讲-数列求和与数列的简单应用

第9讲数列求和与数列的简单应用03真知真题扫描

考点考法探究教师备用习题

1.[2020·全国新高考Ⅰ卷]已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.(1)求{an}的通项公式;真知真题扫描

1.[2020·全国新高考Ⅰ卷]已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.真知真题扫描解:由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.真知真题扫描2.[2020·天津卷]已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).(1)求{an}和{bn}的通项公式;解:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由a1=1,a5=5(a4-a3),可得d=1,从而{an}的通项公式为an=n.由b1=1,b5=4(b4-b3),又q≠0,可得q2-4q+4=0,解得q=2,从而{bn}的通项公式为bn=2n-1.真知真题扫描

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考点考法探究例1已知数列{an}为正项等比数列,Sn为{an}的前n项和,且S3=21,a2+a3=6a1.(1)求数列{an}的通项公式.等差、等比数列的基本量的计算解:设数列{an}的公比为q,因为a2+a3=6a1,所以a1q+a1q2=6a1,故q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又数列{an}为正项等比数列,故q=2.由S3=21,得a1(1+q+q2)=21,将q=2代入,得a1=3,所以数列{an}的通项公式为an=3×2n-1.考点考法探究

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考点考法探究【规律提炼】由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要立足两数列的概念,设出相应的基本量,充分使用通项公式、求和公式、数列的性质,确定基本量.解综合题的关键在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件,确定解题策略.考点考法探究自测题

设Sn是等差数列{an}的前n项和,a3=7,

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(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn的最值.从①S6=51;②an=an-1-3(n≥2);③S5=a3·a5中任选一个,补充在上面的问题中并作答.

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考点考法探究例2设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,n∈N*.(1)求证:数列{an}为等比数列;数列的证明问题证明:当n=1时,S1=2a1-2,解得a1=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1,即an=2an-1.综上,数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,且an=2n.考点考法探究

考点考法探究(3)判断数列{3n-an}中是否存在三项按原顺序依次成等差数列,并证明你的结论.解:数列{3n-an}中不存在三项按原顺序依次成等差数列.证明如下:假设{3n-an}中存在第m,n,k(m<n<k)项成等差数列,则2(3n-an)=3m-am+3k-ak,即2(3n-2n)=3m-2m+3k-2k.因为m<n<k,且m,n,k∈N*,所以n+1≤k,又y=3x-2x在(0,+∞)上单调递增,所以2(3n-2n)=3m-2m+3k-2k≥3m-2m+3n+1-2n+1,所以-3n≥3m-2m,易知-3n<0,3m-2m>0,故矛盾,所以数列{3n-an}中不存在三项按原顺序依次成等差数列.考点考法探究

考点考法探究自测题已知数列{an}是各项均为正整数的等比数列,且a1=1,8a2,3a4,a6成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;解:设数列{an}的公比为q,因为8a2,3a4,a6成等差数列,所以8a2+a6=6a4,又a1=1,所以8q+q5=6q3,因为q≠0,所以q4-6q2+8=0,所以q2=4或q2=2,又数列{an}的各项均为正整数,所以q=2,所以an=2n-1.考点考法探究

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数列的求和问题

第一列第二列第三列第四列…第一行a(1,1)a(1,2)a(1,3)a(1,4)…第二行a(2,1)a(2,2)a(2,3)a(2,4)…第三行a(3,1)a(3,2)a(3,3)a(3,4)…第四行a(4,1)a(4,2)a(4,3)a(4,4)…︙︙︙︙︙︙

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第一列第二列第三列第四列…第一行a(1,1)a(1,2)a(1,3)a(1,4)…第二行a(2,1)a(2,2)a(2,3)a(2,4)…第三行a(3,1)a(3,2)a(3,3)a(3,4)…第四行a(4,1)a(4,2)a(4,3)a(4,4)…︙︙︙︙︙︙

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第一列第二列第三列第四列…第一行a(1,1)a(1,2)a(1,3)a(1,4)…第二行a(2,1)a(2,2)a(2,3)a(2,4)…第三行a(3,1)a(3,2)a(3,3)a(3,4)…第四行a(4,1)a(4,2)a(4,3)a(4,4)…︙︙︙︙︙︙考点考法探究例4设{an}是一个首项为2,公比为q(q≠1)的等比数列,且3a1,2a2,a3成等差数列.(1)求{an}的通项公式;解:因为3a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=3a1+a3,又{an}是一个首项为2,公比为q(q≠1)的等比数列,所以4×2q=3×2+2q2,解得q=3或q=1(舍去),则an=2×3n-1,n∈N*.考点考法探究

考点考法探究【规律提炼】数列求和主要有公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法与并项求和法等,每一种方法都有它的特点与解法,学习过程中应该认真领会与掌握.考点考法探究自测题

已知函数f(x)=logkx(k为常数,k>0且k≠1).(1)在下列条件中选择一个作为已知条件,使数列{an}是等比数列,并说明理由.①数列{f(an)}是首项为2,公比为2的等比数列;②数列{f(an)}是首项为4,公差为2的等差数列;③数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.

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数列的综合问题

考点考法探究(2)设bn=a2n-1·a2n,求数列{bn}的前n项和Sn.

考点考法探究例6一个掷硬币走跳棋的游戏:在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站,设棋子跳到第n站的概率为Pn,n=1,2,3,…,100,一枚棋子从第1站开始,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若硬币的正面向上,则棋子向前跳一站,若硬币的反面向上,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第99站(失败)或者第100站(获胜),游戏结束.(1)求P1,P2,P3的值;(2)求证:数列{Pn+1-Pn}(n=1,2,3,…,98)为等比数列;(3)求玩该游戏获胜的概率.

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考点考法探究考点考法探究【规律提炼】1.子数列的相关问题是高考中的常考问题,主要有以下两类:(1)子数列是从一个数列中任意抽取几个数,并按照他们在原数列中的排列顺序进行排列所组成的新的数列.此类问题的处理关键是认清原数列和子数列的关系.(2)数列的奇偶项问题的处理方法类似分段函数的处理方法,即分别对奇数项和偶数项进行处理.例如,对数列的奇数项与偶数项的通项公式不同的数列{an}求前n项和Sn时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再求S2k-1=S2k-a2k.考点考法探究2.数列与统计概率的交汇问题也是高考中的常考问题,常常利用不完全归纳法或从递推关系式入手,寻找数列的规律,转化、构造为熟悉的等差、等比数列来解决问题.考点考法探究自测题

已知数列{bn}为等差数列,b3=12,b5=20,数列{an}为正项等比数列,且a3=b2,a5=b8.(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;

考点考法探究(2)将数列{an}中的第3项、第6项、第9项、…、第3n项、…删去,剩余的项按从小到大的顺序排成新的数列{cn},求数列{cn}的前2021项和.

教师备用例题[备选理由]例1考查了等差数列的通项公式和等比中项,考查了用裂项相消法求数列的前n项和,还考查了化简运算能力.例2考查了利用累加法求数列的通项公式,考查了等比数列前n项的和以及等差数列的证明,计算量较大.例3考查了数列的求和问题,重点考查了分类讨论思想的应用,意在培养学生的分析能力和推理能力.例4考查等差数列的证明与通项公式,考查用错位相减法求数列的前n项和,意在培养学生的运算能力.例5考查数列与统计概率的交汇问题,意在培养学生综合运用知识的能力.教师备用例题例1

[配例1使用]已知数列{an}是递增的等差数列,a3=7,且a4是a1与27的等比中项.(1)求an;

教师备用例题