《期末复习重难点突破》数学七上(人教)专题04 几何图形易错考点强化练（十六大类）含答案与解析

试卷第=page1414页，共=sectionpages1515页专题04几何图形易错考点强化练（十六大类） 学校：__________班级：__________姓名：__________学号：__________考点目录一、直线、射线、线段定义的理解与辨析。 1二、直线交点个数问题：最少一个，最多公式。 2三、几何体的展开图：找准长宽高 3四、从不同方向看几何体。 5五、两点确定一直线与两点之间线段最短的应用。 7六、线段的和差关系—加减乘除都可以，看准线段两端点。 9七、重难题型：线段中点之双中模型。 11八、重难题型：线段的n等分点。 14九、压轴必会：线段的动点精选。 17十、两点之间线段最短的理解与灵活运用。 19十一、钟面角与方向角的计算。 21十二、超级易错：角度的四则混合运算。 22十三、经典难点：角平分线的双中模型。 23十四、经典难点：角的n等分与分类讨论思想。 27十五、压轴必会：角的动边，仿照动点，转化为行程类问题。 30十六、余角和补角的理解与应用。 38一、直线、射线、线段定义的理解与辨析。1．下列几何图形与相应语言描述不相符的有（

）

A．如图1所示，直线a和直线b相交于点AB．如图2所示，延长线段BA到点CC．如图3所示，射线BC不经过点AD．如图4所示，射线CD和线段AB会有交点2．下列说法错误的是（

）A．线段AB的长度表示AB两点之间的距离B．过一点能作无数条直线C．射线AB和射线BA表示不同射线D．平角是一条直线3．下列说法中，正确的个数是（

）①线段AB和线段BA是同一条线段；

②射线AB与射线BA是同一条射线；③直线AB与直线BA是同一条直线；

④射线AB的长是5cmA．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、直线交点个数问题：最少一个，最多公式。4．平面上10条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则m+n=．5．如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则（1）五条直线相交最多有个交点；（2）n条直线相交最多有个交点（n≥2，且n为正整数）.6．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（）A．40个 B．45个 C．50个 D．55个三、几何体的展开图：找准长宽高7．如图是一个正方体的展开图，折叠后相对两个面上的数字之和相等，求x2

8．一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．(1)该盒子的底面的周长为______；（用含a的代数式表示）(2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式2x+1，3x，−2，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x9．如图是一个长方体纸盒的平面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．(1)填空：a=______，b=______，c=______；(2)在（1）的条件下，先化简，再求值：5a四、从不同方向看几何体。10．如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．(1)图中有______块小正方体；(2)该几何体的从正面看如图所示，请在下面网格中分别画出从左面看和从上面看的图形．11．如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的．

(1)填空：这个几何体由______个小正方体组成；(2)画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图；(3)在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加______个小正方体．12．用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题：

(1)填空：a=_________，b=_________；(2)这个几何体最多由_________个小立方体搭成；(3)当d=f=1，e=2时，画出这个几何体从左面看得到的形状图．五、两点确定一直线与两点之间线段最短的应用。13．下列现象：其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象是（

）①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．A．①③ B．①② C．②④ D．③④14．如图，已知同一平面内的四个点A、B、C、D，根据下列语句画出图形：(1)画直线AD；(2)连接AB并反向延长AB；(3)连接AC，在线段AC上找一点P，使他到点B、点D的距离的和PB+PD最小．15．如图，平面上有A，B，C，D四个点，请根据下列语句画出图形：

(1)画直线BC；(2)连接AB，并延长线段AB至点E，使点B为AE中点；(3)在直线BC上找一点P，使点P到A，D两点的距离之和最小.六、线段的和差关系—加减乘除都可以，看准线段两端点。16．线段MN=16cm，点A在线段MN上，且MA=13NA，B为线段NA的中点，则线段A．8cm B．10cm C．12cm17．如图，点M是线段AB的中点，点C在线段AM上，点N是线段AC的中点，若AC=4，MN=3，求线段CM和AB的长．18．如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，AB=15，(1)图中共有条线段．(2)求线段AM的长；(3)在线段BC上取一点N，使得CN：NB=5：七、重难题型：线段中点之双中模型。19．如图，线段AD=16，长度为2的线段BC在线段AD上运动，分别取线段AC、BD的中点M、N，则MN=．=7．故答案为：7．20．如图，已知点C为线段AB上一点，AC=10cm，且CB=35AC，D，E分别为线段

21．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、

(1)若AC=12cm，CB=8cm(2)若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=m，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案．(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC−BC=n，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想22．（1）如图1，已知线段AB的长为6cm，点P是线段AB上的任一点，且C、D分别是PA、PB的中点，求线段CD（2）若点P在线段AB或线段BA的延长线上，如图2、3所示，且C、D分别是PA、PB的中点，则线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等了吗？请分别就图2和图3的情况进行说明．23．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和A．10+522022 B．10+522023八、重难题型：线段的n等分点。24．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点，B点表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a−b，若a>b，则可化简为AB=a−b如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为−11，10．(1)A，B两点的距离为____________．(2)若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．(3)点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t>0）．A，B两点经过多少秒相距5个单位长度？25．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=6，AC=2，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN=______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN=______．②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=③若M，N分别是AC，BC的nn≥2等分点，即AM=1nAC，九、压轴必会：线段的动点精选。26．如图，P是线段AB上一点，AB=18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2①若2cm<AP<14cm，当动点C，D运动了2②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP:PB；(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD=3AC，求27．线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒．(1)当t＝6时，AC＝．(2)用含t的式子表示线段AC的长；当0≤t≤5时，AC＝；当5＜t≤10时，AC＝．(3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长，28．如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C，D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP(1)当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；(2)当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；(3)若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP长；十、两点之间线段最短的理解与灵活运用。29．如图，已知四点A、B、C、D，请按要求作图并解答．

(1)按要求作图：①作射线AB；②连接BD；③在射线AB上截取AM，使AM=DB；④在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小；(2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点B在线段DP的延长线上；③射线AB和射线AM是两条射线；④点M在射线AB的延长线上；其中正确的结论是_________．十一、钟面角与方向角的计算。30．钟面上，下列时刻分针与时针构成的角是直角的是（

）A．3点整 B．12点15分 C．6点45分 D．1点20分31．如图，点B在点O的北偏东58°24'方向上，∠BOC=119°，则点C在点O的（

A．西偏北60°36'方向上 B．北偏西C．西偏北29°54'方向上 D．北偏32．钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是．33．如图，一渔船在海上点E开始绕点O航行，开始时点E在点O的北偏东43°40'，然后绕点O航行到C，测得∠COE=2∠AOE，继续绕行，最后到达D点且(1)求∠BOC的度数；(2)说明该渔船最后到达的D点在点O的什么方向？十二、超级易错：角度的四则混合运算。34．计算：32°45'48″+21°25'135．计算：153°2936．计算：(1)把15°48(2)33°16十三、经典难点：角平分线的双中模型。37．（1）如图1，已知点C、D为线段AB上两点，且AB=4AD=5BC，点M和点N分别是线段AC和BD的中点．若线段AB=20cm，则线段AD=_______cm，BC=_______cm，MN=_______cm（2）已知OC、OD为从∠AOB顶点出发的两条射线，∠AOB=5∠BOC且∠AOB=120°，射线OM和射线ON分别平分∠AOC、∠BOD．①如图2，若OC、OD均为∠AOB内的两条射线，且∠AOB=4∠AOD，求∠MON的度数．②如图3，若OC为∠AOB外的一条射线，且∠MON=20°，则∠AOD=_______°．38．如图1，线段AB=16cm，CD=1cm，E、F分别是AC、【问题发现】（1）若AC=7cm，则EF=___________cm【拓展探究】（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，求出EF的长度；如果变化，请说明理由．【问题解决】（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD．若∠AOB=120°，∠COD=16°，求∠EOF的度数．

39．【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠OOD=90°．（不用求解）

【问题改编】点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC．(1)如图2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；(2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由．十四、经典难点：角的n等分与分类讨论思想。40．定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为（A．94x或3x或92x B．94x或3x或9x C．94x或9241．如图，设锐角∠AOB的度数为α，若一条射线平分∠AOB，则图中所有锐角的和为2α．若四条射线五等分∠AOB，则图中所有锐角的和为(

)A．7α B．6α C．5α D．4a42．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，∠AOB=2∠BOC，则OB是∠AOC的一条三分线．（1）如图1，若∠AOC=57°，则∠BOC=；（2）如图2，若∠AOB=120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，且∠BOC<∠AOC．①则∠COD=；②若以点O为中心，将∠COD顺时针旋转n°（0<n<90）得到∠C'OD'，当OA恰好是∠十五、压轴必会：角的动边，仿照动点，转化为行程类问题。43．已知，OC是过点O的一条射线，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC．(1)如图①，如果射线OC在∠AOB的内部，∠AOB=80°，则∠DOE=______°；(2)如图②，如果射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，∠AOB=x°，则∠DOE=______°；(3)如果射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转，∠AOB=x°，请借助图③探究∠DOE的度数．44．【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线MN上，∠ABO=90°，∠AOB=60°，∠COD=90°，∠DCO=45°．三角板∠AOB的顶点与另一个三角板∠COD的顶点重合在点O处，三角板的边OC，OB与直线MN重合，三角板其它的边都在直线【实践探究】：（1）如图2，若三角板AOB不动，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板COD的边OC恰好分∠AOB．①此时t=_____秒；②此时∠AOD=_____°=______'；【解决问题】：（2）如图2，在（1）的条件下，边OC恰好平分∠AOB时，同一时刻三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边OA与边OD第一次重合？（如图3）请说明理由；【拓展研究】：（3）如图3，在（2）的条件下，当边OA与边OD第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边OB恰好平分∠COD？请说明理由．45．已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)如图1，当∠AOC=40°，求∠DOE的度数；(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；(3)当∠AOC=36°时，∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒0≤t<36，旋转过程中OE始终平分∠BOC，请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系．46．将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．(1)如图，若∠BON=60°，求∠AOM的度数；(2)若∠AOM=2∠COM，求∠AON的度数；(3)将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当∠BON=120°时，求∠COM的度数．47．已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．

(1)如图1，当OB，OC重合时，求∠AOE−∠BOF的值；(2)如图2，当∠COD从图1所示的位置开始绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转ts(0<t<10)．在旋转过程中，∠AOE−∠BOF的值是否会因(3)在（2）的条件下，求当∠COD旋转多少秒时，∠COF=12°．十六、余角和补角的理解与应用。48．如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=62°．(1)写出一对互余的角．(2)求∠DOG的度数．49．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在O处，射线OC平分∠MOB．(1)如图（1），若∠AOM=40°，则∠CON=______；(2)将图（1）中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图（2）的位置，一边OM在直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．①试探究∠AOM−∠BON的结果是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由；②当∠AOC=3∠BON时，求∠BON的度数．50．如果∠α和∠β互补，且∠α>∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°−∠β；②∠α−90°；③12∠α+∠β；④12

专题04几何图形易错考点强化练（十六大类）学校：__________班级：__________姓名：__________学号：__________考点目录一、直线、射线、线段定义的理解与辨析。 1二、直线交点个数问题：最少一个，最多公式。 2三、几何体的展开图：找准长宽高 3四、从不同方向看几何体。 5五、两点确定一直线与两点之间线段最短的应用。 7六、线段的和差关系—加减乘除都可以，看准线段两端点。 9七、重难题型：线段中点之双中模型。 11八、重难题型：线段的n等分点。 14九、压轴必会：线段的动点精选。 17十、两点之间线段最短的理解与灵活运用。 19十一、钟面角与方向角的计算。 21十二、超级易错：角度的四则混合运算。 22十三、经典难点：角平分线的双中模型。 23十四、经典难点：角的n等分与分类讨论思想。 27十五、压轴必会：角的动边，仿照动点，转化为行程类问题。 30十六、余角和补角的理解与应用。 38一、直线、射线、线段定义的理解与辨析。1．下列几何图形与相应语言描述不相符的有（

）

A．如图1所示，直线a和直线b相交于点AB．如图2所示，延长线段BA到点CC．如图3所示，射线BC不经过点AD．如图4所示，射线CD和线段AB会有交点【答案】B【详解】解：A、如图1所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误；B、如图2所示，延长线段BA到点C，则点C左侧就应该没有线了，故几何图形与相应语言描述不相符，符合题意，选项正确；C、如图3所示，射线BC不经过点A，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误；D、如图4所示，射线CD和线段AB会有交点，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误；故选：B2．下列说法错误的是（

）A．线段AB的长度表示AB两点之间的距离B．过一点能作无数条直线C．射线AB和射线BA表示不同射线D．平角是一条直线【答案】D【详解】解：A.线段AB的长度表示AB两点之间的距离，说法正确，不符合题意；B.过一点能作无数条直线，说法正确，不符合题意；C.射线AB和射线BA表示不同射线，说法正确，不符合题意；D.平角是两条互为反向延长的射线组成的，说法错误，符合题意；故选D．3．下列说法中，正确的个数是（

）①线段AB和线段BA是同一条线段；

②射线AB与射线BA是同一条射线；③直线AB与直线BA是同一条直线；

④射线AB的长是5cmA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：对于①，根据线段的定义可知，线段AB和线段BA是同一条线段，故①正确；对于②，射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，所以射线AB和射线BA不是同一条射线，故②错误；对于③，根据直线的表示方法可知，直线AB和直线BA是同一条直线，故③正确；对于④，由射线的定义可知，射线是不能度量的，故④错误，综上可知，①③正确．故选：B．二、直线交点个数问题：最少一个，最多公式。4．平面上10条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则m+n=．【答案】46【详解】解：根据题意可得：10条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即n=1；任意两直线相交都产生一个交点时，交点最多，∴此时交点为：10×10−1÷2=45，即则m+n=45+1=46．故答案为：46．5．如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则（1）五条直线相交最多有个交点；（2）n条直线相交最多有个交点（n≥2，且n为正整数）.【答案】10n【详解】解：三条直线交点最多为1+2=3个，四条直线交点最多为3+3=6个，五条直线交点最多为6+4=10个，六条直线交点最多为10+5=15个；……n条直线交点最多为1+2+3+…+(n−1)=n故答案为：10；nn−16．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（）A．40个 B．45个 C．50个 D．55个【答案】B【详解】解：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有1+2个交点；③四条直线相交最多有1+2+3个交点；……由此可得10条直线相交交点个数最多为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个），故选：B．三、几何体的展开图：找准长宽高7．如图是一个正方体的展开图，折叠后相对两个面上的数字之和相等，求x2

【答案】0【详解】解：根据题意可得−1+y−3=3+2，3x−2−2=3+2，解得y=9，x=3，所以x28．一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．(1)该盒子的底面的周长为______；（用含a的代数式表示）(2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式2x+1，3x，−2，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x【答案】(1)10a(2)x=−4【详解】（1）解：由题可知，无盖的长方体高为a，底面的宽为3a−a=2a，∴底面的长为5a−2a=3a，∴底面的周长为23a+2a故答案为：10a；（2）解：∵①，②，③，④四个面上分别标有整式2x+1，3x，−2∴2x+1解得：x=−4．9．如图是一个长方体纸盒的平面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．(1)填空：a=______，b=______，c=______；(2)在（1）的条件下，先化简，再求值：5a【答案】(1)1；−3；2(2)12【详解】（1）解：由题意a与−1是相对面上的数，3与b是相对面上的数，−2与c是相对面上的数，∴a=1,b=−3,c=2；（2）原式=5a当a=1，b=−3，c=2时，原式=4×1×−3四、从不同方向看几何体。10．如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．(1)图中有______块小正方体；(2)该几何体的从正面看如图所示，请在下面网格中分别画出从左面看和从上面看的图形．【答案】(1)11；(2)见解析．【详解】（1）找到所有正方体的个数，让它们相加即可；图中有11个小正方体，故答案为：11；（2）如图所示：主视图有4列，每列小正方形数目分别为2，2，2，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，2；俯视图有4列，每列小正方形数目分别为2，2，1，1．11．如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的．

(1)填空：这个几何体由______个小正方体组成；(2)画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图；(3)在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加______个小正方体．【答案】(1)6(2)见解析(3)4【详解】（1）解：由图可得：这个几何体由6个小正方体组成，故答案为：6；（2）解：画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图如图所示：

；（3）解：根据题意得：保持主视图和俯视图不变，在第一层第二列第一行和第三行各加一个，第一层第三列第一行和第三行各加一个，∵1+1+1+1=4（个），∴最多还可以添加4个小正方体，故答案为：4．12．用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题：

(1)填空：a=_________，b=_________；(2)这个几何体最多由_________个小立方体搭成；(3)当d=f=1，e=2时，画出这个几何体从左面看得到的形状图．【答案】(1)3；1(2)11(3)见解析【详解】（1）解：由该组合体的主视图、俯视图可知，a=3，故答案为：3；1；（2）解：根据该组合体的从正面、上面看到的形状图相应位置所摆放的小立方体的个数可知，需要最多小立方体时，d=e=f=2，此时需要的个数为：2+2+2+3+1+1=11（个），答：这个几何体最多由11个小立方体搭成；（3）解：当d=f=1，e=2时，这个几何体从左面看得到的形状图如下：

五、两点确定一直线与两点之间线段最短的应用。13．下列现象：其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象是（

）①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．A．①③ B．①② C．②④ D．③④【答案】A【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线；②A从地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，是利用两点之间，线段最短；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短．故选A．14．如图，已知同一平面内的四个点A、B、C、D，根据下列语句画出图形：(1)画直线AD；(2)连接AB并反向延长AB；(3)连接AC，在线段AC上找一点P，使他到点B、点D的距离的和PB+PD最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【详解】（1）解：如图，AD即为所求作的直线；（2）解：如图，线段AB即为所求；（3）解：如图，点P即为所求．15．如图，平面上有A，B，C，D四个点，请根据下列语句画出图形：

(1)画直线BC；(2)连接AB，并延长线段AB至点E，使点B为AE中点；(3)在直线BC上找一点P，使点P到A，D两点的距离之和最小.【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解【详解】（1）解：直线BC如图所示：

（2）解：如图所示：

（3）解：如图所示：

六、线段的和差关系—加减乘除都可以，看准线段两端点。16．线段MN=16cm，点A在线段MN上，且MA=13NA，B为线段NA的中点，则线段A．8cm B．10cm C．12cm【答案】B【详解】解：∵线段MN=16cm，点A在线段MN上，且MA=∴MA+NA=∴NA=12∵B为线段NA的中点，∴AB=NB=∴MB=MA+AB=10故选：B17．如图，点M是线段AB的中点，点C在线段AM上，点N是线段AC的中点，若AC=4，MN=3，求线段CM和AB的长．【答案】CM=1【详解】解：∵AC=4,N是线段AC的中点，∴NC=1∵MN=3，∴CM=MN−NC=3−2=1．∴AM=AC+CM=4+1=5，∵M是线段AB的中点，∴AB=2AM=2×5=10．18．如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，AB=15，(1)图中共有条线段．(2)求线段AM的长；(3)在线段BC上取一点N，使得CN：NB=5：【答案】(1)10(2)2(3)7【详解】（1）解：图中线段为线段AM、AC、AN、AB、MC、MN、MB、CN、CN、NB，共10条线段，故答案为：10．（2）解：∵点C在线段AB上，AB=15∴AC=AB−BC=15−11=4，∵点M是AC的中点，∴AM=（3）解：∵点M是AC的中点，∴MC=∵点N在线段BC上，BC=11，所以CN+NB=BC=11，∵CN：所以CN=所以MN=MC+CN=2+5=7．七、重难题型：线段中点之双中模型。19．如图，线段AD=16，长度为2的线段BC在线段AD上运动，分别取线段AC、BD的中点M、N，则MN=．【答案】7【详解】解：∵AD=16，BC=2，∴AC+BD=AC+BC+CD=AD+BC=18，∵线段AC、BD的中点为M、N，∴AM=12AC∴MN=AD−AM+DN=AD−1=16−1=16−9=7．故答案为：7．20．如图，已知点C为线段AB上一点，AC=10cm，且CB=35AC，D，E分别为线段

【答案】3【详解】解：∵AC=10cm，CB=∴CB=35×10=6∵D，E分别为线段AC，AB的中点，∴DC=12AC=∴DE=DC+CB−BE=5+6−8=321．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、

(1)若AC=12cm，CB=8cm(2)若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=m，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案．(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC−BC=n，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想【答案】(1)10(2)m(3)n2【详解】（1）解：∵M、N分别是AC、∴MC=1∴MN=MC+CN=∴线段MN的长为10cm（2）解∶∵M、N分别是AC,BC的中点，∴MC=1∵AC+CB=m，∴MN=MC+CN=1（3）解∶MN=1如图:

∵M、N分别是AC,BC的中点，∴MC=1∵AC−BC=n，∴MN=MC−CN=122．（1）如图1，已知线段AB的长为6cm，点P是线段AB上的任一点，且C、D分别是PA、PB的中点，求线段CD（2）若点P在线段AB或线段BA的延长线上，如图2、3所示，且C、D分别是PA、PB的中点，则线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等了吗？请分别就图2和图3的情况进行说明．【答案】（1）3cm【详解】解：（1）∵C、D分别是PA、PB的中点，∴PC=12PA∴CD=PC+PD=1∵AB=6cm∴CD=1（2）线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等，理由：①当点P在线段AB的延长线上时，∵C、D分别是PA、PB的中点，∴PC=12PA∴CD=PC−PD=1∵AB=6cm∴CD=1②当点P在线段BA的延长线上时，∵C、D分别是PA、PB的中点，∴PC=12PA∴CD=PD−PC=1∵AB=6cm∴CD=1综上，线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等，均等于3cm23．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和A．10+522022 B．10+522023【答案】C【详解】解：∵MN=10，M1、N∴M1∵M2、N∴M2∵M3、N∴M3……由此可得：Mn∴M1故选C．八、重难题型：线段的n等分点。24．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点，B点表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a−b，若a>b，则可化简为AB=a−b如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为−11，10．(1)A，B两点的距离为____________．(2)若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．(3)点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t>0）．A，B两点经过多少秒相距5个单位长度？【答案】(1)21(2)−4或3(3)A，B两点经过163秒或26【详解】（1）解：AB=−11−10故答案为：21；（2）解：∵P为线段AB的三等分点，∴PA=13AB=7∴P点对应的数为−11+7=−4或−11+14=3；（3）分类讨论：①当点A，B相遇之前，由题意有：t+5+2t=21，解得：t=16②当点A，B相遇之后，由题意有：t+2t−5=21，解得：t=26综上可知A，B两点经过163秒或2625．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=6，AC=2，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN=______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN=______．②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM=13AC，BN=③若M，N分别是AC，BC的nn≥2等分点，即AM=1nAC，【答案】(1)3(2)①12a；②23a；【详解】（1）解：∵AB=6，AC=2，∴BC=AB−AC=4，∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC=1，CN=12∴MN=CM+CN=3；故答案为：3；（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC，CN=12∴MN=12AC+12BC=12∵AB=a，∴MN=12a故答案为：12a②∵AM=13AC，BN=13∴CM=23AC，CN=23∴MN=CM+CN=23AC+23BC=23∵AB=a，∴MN=23a③∵AM=1nAC，BN=1n∴CM=n−1nAC，CN=n−1n∴MN=CM+CN=n−1nAC+n−1nBC=n−1n∵AB=a，∴MN=n−1na故答案为：n−1na九、压轴必会：线段的动点精选。26．如图，P是线段AB上一点，AB=18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2①若2cm<AP<14cm，当动点C，D运动了2②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP:PB；(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD=3AC，求【答案】(1)①12cm；②(2)9【详解】（1）解：①由题意得：BD=2×2=4(cm)，∴AC+PD=AB−PC−BD=18−2−4=12(cm②点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t，则：AP=2PC=2t，BP=2BD=4t，∴AP:PB=2t:4t=1:2．（2）解：设运动时间为ts，则PC=tcm，∴BD=3PC，∵PD=3AC．∴PB=PD+BD=3PC+3AC=3(PC+AC)=3AP∴AP=127．线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒．(1)当t＝6时，AC＝．(2)用含t的式子表示线段AC的长；当0≤t≤5时，AC＝；当5＜t≤10时，AC＝．(3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长，【答案】(1)8(2)2t，20−2t；(3)MN的长度不变，长度为5【详解】（1）当t=6时，动点C运动了2×6=12个单位，∵AB=10，∴BC=2．∴AC=10−2=8．故答案为：8；（2）当0⩽t⩽5时，AC=2t；当5<t⩽10时，BC=2t−10∴AC=AB−BC=10−(2t−10)=20−2t．故答案为：2t，20−2t；（3）当0⩽t⩽5时，MN=MC+NC=1当5<t⩽10时，MN=MC+NC=1故MN的长度不变，长度为5．28．如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C，D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP(1)当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；(2)当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；(3)若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP长；【答案】(1)4cm(2)4cm(3)4cm【详解】（1）解：依题意知，当t=1时，PC=1×1=1(cm∴BD=2PC

∵PD=2AC，∴BD+PD=2(PC+AC)即PB=2AP，∴AB=AP+PB=3AP又AB=12cm∴AP=1（2）解：当t=2时，PC=1×2=2(cm∴BD=2PC又PD=2AC，∴BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP，∴AB=AP+PB=3AP又AB=12cm∴AP=（3）解：当运动时间为t时，PC=t(cm∴BD=2PC又PD=2AC，∴BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP∴AB=AP+PB=3AP又AB=12cm∴AP=十、两点之间线段最短的理解与灵活运用。29．如图，已知四点A、B、C、D，请按要求作图并解答．

(1)按要求作图：①作射线AB；②连接BD；③在射线AB上截取AM，使AM=DB；④在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小；(2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点B在线段DP的延长线上；③射线AB和射线AM是两条射线；④点M在射线AB的延长线上；其中正确的结论是_________．【答案】(1)见解析(2)②③【详解】（1）解：①射线AB即为所求；②线段BD即为所求；③线段AM即为所求；④点P即所求．

（2）解：①图中的线段有AB、AM、BM、AP、AC、PC、BD、PB、DP，共9条，则①错误；②由AC与BD的交点，则点P是点B在线段DP的延长线上，即②正确；③图中射线AM、BM，共2条，则③正确；图中共有6条线段的说法是正确的；④由射线AB本来就无限延伸，故不需要延长，则④错误．故答案为②③．十一、钟面角与方向角的计算。30．钟面上，下列时刻分针与时针构成的角是直角的是（

）A．3点整 B．12点15分 C．6点45分 D．1点20分【答案】A【详解】解：A、30°×3=90°，故A符合题意；B、30°×3−C、30°×9−6−D、30°×4−31．如图，点B在点O的北偏东58°24'方向上，∠BOC=119°，则点C在点O的（

A．西偏北60°36'方向上 B．北偏西C．西偏北29°54'方向上 D．北偏【答案】B【详解】解：119°−58°24则点C在点O的北偏西60°36故选：B．32．钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是．【答案】77.5°/77.5度【详解】解：如图，我们把时针指向2，分针指向12作为起始位置，当分针指向25时，转了25×6°=150°，此时时针转动了150°×1则时针和3之间还有30°−12.5°=17.5°，故时针和分针之间夹角为30°×2+17.5°=77.5°．故答案为：77.5°．33．如图，一渔船在海上点E开始绕点O航行，开始时点E在点O的北偏东43°40'，然后绕点O航行到C，测得∠COE=2∠AOE，继续绕行，最后到达D点且(1)求∠BOC的度数；(2)说明该渔船最后到达的D点在点O的什么方向？【答案】(1)∠BOC=49°(2)点D在点O的北偏西73°3【详解】（1）∵开始时E点在O点的北偏东43°4∴∠EOA=90−43°40'∴∠COE=2∠AOE=92°40',，∴∠COB=∠COE−∠BOE=92°40'−43°40'=49°．（2）解：∵∠COD=1∴∠BOD=∠COB+∠COD=49°+24°30'=73°30'，∴D点在O点的北偏西73°30十二、超级易错：角度的四则混合运算。34．计算：32°45'48″+21°25'1【答案】54°11'2″【详解】解：①32°45故答案为：54°11②27°1424×114.4×1∴27°14故答案为：27.24°；③当时钟指向时间为15：30时，时针走过3.5小时，分钟走过时针与0点的夹角为30°×3.5=105°，分针与0点的夹角为6°×30=180°，∴钟表上的时针与分针的夹角为180°−105°=75°，故答案为：75．35．计算：153°29【答案】180°1【详解】解：153°29=179°6=180°1036．计算：(1)把15°48(2)33°16【答案】(1)15.81°(2)58°【详解】（1）34848.所以15°48（2）33°16十三、经典难点：角平分线的双中模型。37．（1）如图1，已知点C、D为线段AB上两点，且AB=4AD=5BC，点M和点N分别是线段AC和BD的中点．若线段AB=20cm，则线段AD=_______cm，BC=_______cm，MN=_______cm（2）已知OC、OD为从∠AOB顶点出发的两条射线，∠AOB=5∠BOC且∠AOB=120°，射线OM和射线ON分别平分∠AOC、∠BOD．①如图2，若OC、OD均为∠AOB内的两条射线，且∠AOB=4∠AOD，求∠MON的度数．②如图3，若OC为∠AOB外的一条射线，且∠MON=20°，则∠AOD=_______°．【答案】（1）5，4，4.5；（2）①27°；②64或16【详解】（1）∵AB=20cm，AB=4AD=5BC∴AD=5cm，BC=4cm，BD=AB−AD=20−5=15cm∵点M和点N分别是线段AC和BD的中点．∴BN=12BD=∴MN=（2）①∵∠AOB=5∠BOC=∴∠BOC=24°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠COM=48°，∵∠AOB=4∠AOD=120°，∴∠AOD=30°，∴∠BOD=90°，∠DOM=18°，∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=∠BOD=45°，∴∠MON=45°−18°=27°．②当OD在∠AOB内部时，∵∠AOC=120°+24°=144°，射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠COM=72°，则∠BOM=72°−24°=48°，∵∠MON=20°，∴∠BON=28°，∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=∠BON=28°，∴∠DOM=8°，∴∠AOD=72°−8°=64°，当OD在∠AOB外部时，∠DON=∠BON=20°+48°=68°∵∠AOM=∠COM=72°，∴∠AON=72°−20°=52°，∴∠AOD=68°−52°=16°．38．如图1，线段AB=16cm，CD=1cm，E、F分别是AC、【问题发现】（1）若AC=7cm，则EF=___________cm【拓展探究】（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，求出EF的长度；如果变化，请说明理由．【问题解决】（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD．若∠AOB=120°，∠COD=16°，求∠EOF的度数．

【答案】（1）8.5；（2）EF的长度不变，EF=8.5cm；（3）【详解】解：（1）∵AB=16cm，CD=1cm，∴BD=AB−AC−CD=16−7−1=8∵E、F分别是AC、BD的中点，∴CE=12AC=3.5∴EF=CE+CD+DF=3.5+1+4=8.5cm故答案为：8.5；（2）EF的长度不变，理由如下：∵AB=16cm，CD=1∴AC+BD=AB−CD=16−1=15cm∵E、F分别是AC、BD的中点，∴CE=12AC∵EF=CE+CD+DF，∴EF=1∴当线段CD在线段AB上运动时，EF的长度不变，EF=8.5cm（3）∵∠AOB=120°，∠COD=16°，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB−∠COD=120°−16°=104°，∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠COE=12∠AOC∵∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF，∴∠EOF=139．【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠OOD=90°．（不用求解）

【问题改编】点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC．(1)如图2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度数；(2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由．【答案】(1)∠DOE=25°；(2)∠DOE=1【详解】（1）∵∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∵∠AOC=50°，∴∠BOD=40°．∴∠COB=∠COD+∠BOD=90°+40°=130°．∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−65°=25°．（2）设∠AOC=α，则∠BOC=180°−α．∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=1∵∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−180°−α∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=α−90°+90°−1∴将图2中的∠COD按图3所示的位置放置时，∠AOC与∠DOE度数间的等量关系为∠DOE=1十四、经典难点：角的n等分与分类讨论思想。40．定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为（A．94x或3x或92x B．94x或3x或9x C．94x或92【答案】C【详解】解：如图：射线OP是∠MON∠MOP=2∠NOP的三等分线，射线OQ是∠MOP则∠QOP=2x，∠NOP=1∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+3如图：射线OP是∠MON∠MOP=2∠NOP的三等分线，射线OQ是∠MOP则∠QOP=12x∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+1如图：射线OP是∠MON∠NOP=2∠MOP的三等分线，射线OQ是∠MOP则∠QOP=12x∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+1如图：射线OP是∠MON∠NOP=2∠MOP的三等分线，射线OQ是∠MOP则∠QOP=2x，∠NOP=2∠MOP=2×x+2x∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+6x=9x；综上，∠MON为94x或92故选：C．41．如图，设锐角∠AOB的度数为α，若一条射线平分∠AOB，则图中所有锐角的和为2α．若四条射线五等分∠AOB，则图中所有锐角的和为(

)A．7α B．6α C．5α D．4a【答案】A【详解】∵四条射线五等分∠AOB，∴每个小角的度数为15图中所有锐角的和为∠AOC+∠COD+∠DOE+∠EOF+∠BOF∠AOE+∠COF+∠BOD5×=7α，故选：A．42．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，∠AOB=2∠BOC，则OB是∠AOC的一条三分线．（1）如图1，若∠AOC=57°，则∠BOC=；（2）如图2，若∠AOB=120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，且∠BOC<∠AOC．①则∠COD=；②若以点O为中心，将∠COD顺时针旋转n°（0<n<90）得到∠C'OD'，当OA恰好是∠【答案】19°/19度40°/40度1603或【详解】（1）解：∵∠AOC=57°，则OB是∠AOC的一条三分线．∵∠AOB=2∠BOC∴∠BOC=1故答案为：19°（2）①∵OC，OD是∠AOB的两条三分线，∠AOB=120°，∴∠COD==1故答案为：40°；②∵∠AOB=120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，∴∠BOC=∠COD=∠AOD=30°，由旋转得：∠C'O分两种情况：当OA是∠C'OD'∴∠DOC∴∠COC'=当OA是∠C'OD'∴∠DOD'=40°+故答案为：1603或200十五、压轴必会：角的动边，仿照动点，转化为行程类问题。43．已知，OC是过点O的一条射线，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC．(1)如图①，如果射线OC在∠AOB的内部，∠AOB=80°，则∠DOE=______°；(2)如图②，如果射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，∠AOB=x°，则∠DOE=______°；(3)如果射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转，∠AOB=x°，请借助图③探究∠DOE的度数．【答案】(1)40(2)x(3)x2°【详解】（1）解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，∴∠COD=∠AOD=12∠AOC∴∠DOE=∠COD+∠COE=1故答案为：40；（2）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，∴∠COD=∠AOD=12∠AOC∴∠DOE=∠COD+∠COE=1∴∠DOE=x故答案为：x2（3）分两种情况：①如图，当OC在OA右侧：∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，∴∠COD=∠AOD=12∠AOC∴∠DOE=∠COD−∠COE=1∴∠DOE=x②如图，当OC在OA左侧：∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，∴∠COD=∠AOD=12∠AOC∴∠DOE=∠COD+∠COE=1∴∠DOE=1综上所述，∠DOE的度数为x2°或44．【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线MN上，∠ABO=90°，∠AOB=60°，∠COD=90°，∠DCO=45°．三角板∠AOB的顶点与另一个三角板∠COD的顶点重合在点O处，三角板的边OC，OB与直线MN重合，三角板其它的边都在直线【实践探究】：（1）如图2，若三角板AOB不动，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板COD的边OC恰好分∠AOB．①此时t=_____秒；②此时∠AOD=_____°=______'；【解决问题】：（2）如图2，在（1）的条件下，边OC恰好平分∠AOB时，同一时刻三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边OA与边OD第一次重合？（如图3）请说明理由；【拓展研究】：（3）如图3，在（2）的条件下，当边OA与边OD第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边OB恰好平分∠COD？请说明理由．【答案】（1）①5；②60°，360；（2）15秒，理由见解析；（3）经过154或1152秒，边OB恰好平分【详解】（1）①解：∵边OC恰好分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC=1依题意得，6°⋅t=30°，解得，t=5，故答案为：5；②解：由题意知，∠AOD=∠COD−∠AOC=60°=360故答案为：60°，360；（2）解：再经过15秒边OA与边OD第一次重合，理由如下：设再经过x秒边OA与边OD第一次重合，则OA转过的角度为10°⋅x，OD转过的角度为6°⋅x，∠AOD=0°，依题意得，10°⋅x−60°=6°⋅x，解得，x=15，∴再经过15秒边OA与边OD第一次重合；（3）解：经过154或1152秒，边OB恰好平分由题意知，△AOB旋转一周用时360°10°=36秒，△COD旋转一周用时∴36秒后△AOB停止旋转，△COD继续旋转，由（2）可知，边OA与边OD第一次重合时，∠BOD=∠AOB=60°，设经过y秒后，边OB恰好平分∠COD，由题意知，分△AOB停止旋转前，△AOB停止旋转后两种情况下，边OB恰好平分∠COD，当△AOB停止旋转前，则OB转过的角度为10°⋅y，OD转过的角度为6°⋅y，OB恰好平分∠COD时，∠BOD=1依题意得，6°⋅y+60°−10°⋅y=45°，解得，y=15当△AOB停止旋转，则OB转过的角度为360°，OD转过的角度为6°⋅y，∠BOD=12∠COD=45°依题意得，360°−6°⋅y=15°，解得，y=115综上所述，经过154或1152秒，边OB恰好平分45．已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)如图1，当∠AOC=40°，求∠DOE的度数；(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；(3)当∠AOC=36°时，∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒0≤t<36，旋转过程中OE始终平分∠BOC，请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系．【答案】(1)∠DOE=20°(2)∠EOF=45°(3)∠AOC=2∠DOE0≤t≤6，【详解】（1）解：∵∠AOC=40°，∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−40°=