2024-2025学年高中数学课时分层作业10离散型随机变量及其分布列含解析北师大版选修2-3

PAGE1-课时分层作业(十)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是()D[ξ取值不能重复，可解除选项A；由性质(1)pi>0，可解除选项B；由性质(2)eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1，可解除选项C，故选D.]2．某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m＋2n＝1.2，则m－eq\f(n,2)的值为()ξ0123P0.1mn0.1A.－0.2 B．0.2C．0.1 D．－0.1B[由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－eq\f(n,2)＝0.2.]3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n＝()A．3 B．4C．10 D．不确定C[∵X等可能取1,2,3，…，n，∴X的每个值的概率均为eq\f(1,n).由题意知P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.]4．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，P(Y<6)的值为()A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2A[Y<6，即2X－1<6，∴X<3.5.X＝1,2,3，P＝eq\f(3,10).]5．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)，n＝1,2,3,4，其中a是常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))的值为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,4)C．eq\f(4,5)D．eq\f(5,6)D[eq\f(a,1×2)＋eq\f(a,2×3)＋eq\f(a,3×4)＋eq\f(a,4×5)＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)))))＝eq\f(4,5)a＝1.∴a＝eq\f(5,4).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)))＝eq\f(5,6).]二、填空题6．若随机变量X听从两点分布，则P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.0.8[由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，∴P(Y＝－2)＝0.8.]7．袋中有4只红球和3只黑球，从中任取4只球，取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.eq\f(13,35)[可能的情形为：4红，3红1黑，2红2黑，1红3黑，对应的得分依次是4分，6分，8分，10分．P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＋eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)＋eq\f(12,35)＝eq\f(13,35).]8．如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.eq\f(4,5)[由已知得，X的取值为7,8,9,10，故P(X≥8)与P(X＝7)是对立事务，所以P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(4,5).]三、解答题9．盒中装有一打(12个)乒乓球，其中9个新的，3个旧的(用过的球即为旧的)，从盒中任取3个运用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列．[解]ξ的全部可能取值为3,4,5,6.P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,220)；P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220)；P(ξ＝5)＝eq\f(C\o\al(2,9)C\o\al(1,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,55)；P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,9),C\o\al(3,12))＝eq\f(21,55).所以ξ的分布列为：ξ3456Peq\f(1,220)eq\f(27,220)eq\f(27,55)eq\f(21,55)10.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事务A，试列举A包含的基本领件；(2)设X＝m2，求X的分布列．[解](1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本领件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的全部不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以X＝m2的全部不同取值为0,1,4,9，且有P(X＝0)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(X＝9)＝eq\f(1,6).故X的分布列为X＝i0149P(X＝i)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)[实力提升练]1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，随意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的全部可能取值个数为()A．25 B．10C．7 D．6C[X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.]2．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)A[依据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本领件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P(X＝2)＝eq\f(1,36)，P(X＝3)＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18)，P(X＝4)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，所以P(X≤4)＝eq\f(1,36)＋eq\f(1,18)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,6).]3．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.eq\f(2,3)[∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).]4．随机变量Y的分布列如下：Y＝yi123456P(Y＝yi)0.1x0.350.10.150.2则(1)x＝________；(2)P(Y＞3)＝________；(3)P(1＜Y≤4)＝________.(1)0.1(2)0.45(3)0.55[(1)由eq\i\su(i＝1,6,p)i＝1，∴x＝0.1.(2)P(Y＞3)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＋P(Y＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.(3)P(1＜Y≤4)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55.]5．某电视台实行选拔大奖赛，在选手综合素养测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X.(1)求该选手得分不少于6分的概率；(2)求X的分布列.[解](1)P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，P(X＝12)＝eq\f(1,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，该选手得分不少于6分的概率为P＝P(X＝6)＋P(X＝12)＝eq\